Si la courbe donnée est une ellipse ayant pour équation

Téquation de la polaire correspondante à un point (X^ Y,) sera

Si le point (X^ YJ est pris sur la courbe elle-même, la polaire correspondante est la tangente à la courbe en ce point.

ANTIPOLAIRE.

Fis. 44.

64. Rappelons enfin la propriété suivante. Si 0 est le centre d'une

courbe du second ordre, P un point quelconque, et MN la polaire de ce point par rapport à la courbe, la droite PO coupe ^^^, la courbe et la polaire en deux points Set R vérifiant l'égalité :

POxROriiÔS'.

Si la courbe du second ordre n'a pas de centre, le point S est le milieu de la distance PR, comptée sur le diamètre mené par le point P.

Ces propositions sont de simples corollaires des théorèmes que nous venons de rappeler.

65. On appelle antipolaire d'un point P par rapport à une courbe da second ordre, la droite M'N', symétrique de la polaire MN du point P, par rapport au centre de la courbe^ le point P est V antipâle de la droite H'NV

APPUGATIOIf DE LA THÉORIE DES POLAIRES RÉCIPROQUES A LA RECHERCHE DU NOYAU CENTRAL d'uNE SECTION DONNÉE.

66. Nous supposons la section donnée,GH, limitée à un contour convexe. Soit 0 le centre de gravité, OX, OY la direction des axesprinci- Fig. 45, paux d'inertie de la section. L'équation

Ti de l'ellipse d'ineitle AR sera

JT~1 X a et 6 sont liés aux rayons de gîration " principaux par les relations

Psa = X* et p,6=:X«,

X étant une longueur arbitraire, que nous prendrons égale à v^pi^ ,ou à V^6»

ion RECHERCHE

Soient X,, Y^, les coordonnées du point de passage G de la résolu tante P. La pression locale sera donnée par Téquation

"^gir-S--)-

et la droite lieu des points pour lesquels la pression est nulle aura pour équation

Remplaçons dans cette équation py, p^par leurs valeurs t- t — t

puis disposons de l'arbitraire X, comme nous l'avons dit tout à

l'heui'e, de manière à avoir t = ^i ce qui donne aussi — = 6. L'ê*

quation deviendra

Or cette équation représente, dans t ellipse particulière qui correê^ pond d X*=a&, la polaire du point dont les coordonnées sont — X^ et — Tp ou Tantipolûre du point d'application de la force P.

La droite le long de laquelle R = o, correspondante au point de passage G de la force P, est donc Tantipolaire MN de ce point G par rapport à l'ellipse d'inertie.

DU NOYAU CExNTRALE.

Pour trouver le contour cherché G'H', on fera rouler une droite

MN sur le contour GH de la section sans l'y laisser pénétrer, et on construira le lieu décrit par le point G, antipôle de la droite MN. Gela revient à construire d'abord le point G^, pôle de la droite MN, et à construire ensuite le lieu du point G, symétrique de G^ par rapport au point 0. Le Keu du point Gj est la polaire réciproque du contour 6H; le lieu du point G, qui est le contour cherché, est par conséquent f antipolaire réciproque du contour de la section donnée*

Si le coDtour GH est symétrique par rapport aux axes OX,OY, le lieu des points G, coïncidera avec son symétrique. G'est ce qui arrive pour le losange, le rectangle, le cercle ou l'ellipse. •

Aind se trouvent justifiées les règles posées au § 51 pour le tracé 4a contour G'H'*