AUTRE EXPOSITION DE LA THÉORIE
6U, un axe mené par le point 6 dans le plan de la section, perpenfficolairenient au plan de symétrie ;
GV, un troisième axe, mené par le point 6 perpendiculairement aux deux premiers.
CoDsidéroDs en M un élément de section ayant pour aire dudv ; la force moléculaire développée sur cet élément, et rapportée à Tunité de surface, peut être décomposée parallèlement aux trois axes ; appelons R la composante parallèle à GX, T« la composante parallèle à Taxe GO, et Tp la composante parallèle à GV. La force R représentera l'efFort de compression ou d'extension subi par la fibre qui passe au point M ; les forces T«, T, seront les efforts de glissement parallèles aux axes GD, GV, auxquels la même fibre est appelée à résister.
Écrivons les six équations d'équilibre in tronçon de poutre Hmité au plan AB ; appelons A l'effort tranchant, H le moment fléchissant, il viendra,pour les équations
des composantes parallèles à GX, ^J Rdudv = 0 ,
— parallèles à GU , S5 Tududv = 0 ,
— parallèles a GV, l\ T^udv = A ,
et pour les équations des moments
autour de GX , JJ (T.tt— T„r) x dudo = 0 ,
— deGV, 5JRudMd» = 0,
— deGU, JJ Rvdtido = M«
Les doubles sommes sont étendues à tous les éléments de la section AB.
De ces six équations, il y en a trois qui contiennent la force R, et les trois autres contiennent les forces tangentielles T« et T.. Laissons provisoirement ces trois dernières de côté. 11 viendra pour déterminer la fonction inconnue R les trois relations
JJ Rdudv = 0 , JJ Rududv = 0 J5 ÏLvdudv =t M.
iSO AUTRE EXPOSlTIOIf
Nous ferons une hypothèse sur la forme de la fonction B ; elle consistera à poser
R = au + ft» + c;
a, 6, c étant des fonctions de .t, indépendantes de » et de ti* Subs;titwxi cette expressioc, on a les trois équations
a II ududv + 6 $$ vdtudv + c ^^ dudv =s 0, JJ u^dud» + b II uvdudo+ c H ttâudo^ 0, Il uvdudv + ô JJ v^dudv + c JJ vdudo = M.
Si les forces extérieures avaient .des composantes parallèles à la pièce, il suffirait de remplacer dans la première équation le zéro du second membre par la somme de ces composantes.
Le point 6 étant le centre de gravité de la section, on a identiquement
Il ududv SA 0» J5 ^^^ = ^'
De plus, la section est supposée symétrique par rapport au plan VGX ; la droite GY est donc un des axes principaux de Tellipse d'inertie, €t par suite
{{ ttodudv = 0.
Les équations se réduisent donc à
c JJ dudo := 0,
à II U^éltdl9=^%i,
b^iMudv^yL
D'où Ton déduit
DE LA THIÎORIE. iSl
car ^^v^dtàdv est le momeut d'inertie, I, de la section par rapport à la
droite GU.
On Toit en mfime temps qne si la section n'était pas symétrique par rapport au plan moyen YGX, les coefficients a et 6 êe détermineraient par les équations
a II u^dudv + ^ $$ itvdudv = 0, a JJ uvdudv + 6 JJ v*dudv = M,
ce qui donnerût
M S^ uvdvdv
(JJ uvdudv)* — JJ u'^dudc x SJ v^dudv* M II uvdudv
(5S urdudr)" — {S5 u'dadt?) (SStJ^dadu)'
Le coefficient â( ne serait pas nul, et la déformation de la pièce ne
s'opérerait pas parallèlement à son plan moyen.
M Dans rfaypothèse où nous nous plaçons, a est nul, et b égal à y.
Mo Donc R sss -^ , formule à laquelle on est déjà parvenu. Notre
Donvelle analyse a Favantage de mettre en évidence l'importance de la symétrie de la pièce par rapport à son plan moyen.
Nous pouvons passer facilement de là à la recherche de la déformation.
Soit dx la longueur d'un élément 66' pris sur la fibre neutre (fig. 7s^. Cet flément ne change pas de longueur par suite de la déformation. Un élément parallèle Mlif, défini par la distance v =611, ioqmeit par soile de la déformation une longueur daf^ et se rae-
courcit par eoaséquenC de la quantité dx — âafx la compression correspondante de l'élément est
dx
Donc
Ejdx^dx') Mo dx ■■* 1 •
POL'TIÎK DROITE
Les deux sections MG, M'G', primilivement parallèles, viennent Fig. 72. converger en un point 0, qui est le centre de courbui^e de la fibre moyenne, et les triangles sem-
MM' OM blables OMM', OGG', donnent la proportion qg? = ÔG'
appelant p le rayon de courbure OG, on a 0M = p — t?,
MM' == dx\ GG' = cte, et 5=^ = ^ , ou bien
ax p
dx — d£ V ^ Ev Mv • p El ,,
= -. Donc — = -i-, et enfin — = M.
cte p p I p
