THÉORÈMES SUR LA FLEXION DES POUTRES DROITES
J 03, — Quand une poutre droite est sollicitée par des forces normales^ t effort tranchant en un point donné est égal à la dérivée du marnent fléchissant en ce point par rapport à [abscisse.
ife-?
l'EFFORT TRANCHANT
Nous allons d&nontrer d'uoe mnière générale cette propAifioD,
que jusqu'à pr4pralLfiOus aifona seulement vérifiée dans diws cas
particuliers.
Considérons une poutre NN'; couponsla par deux plans transversaux PQ, PQ', définis par leurs abscisses, x^ oi^ et supposons la distance PF, ou td — x, infiniment petite*
Soit M le moment des forces élastiques développées sur la section PQ dans le tronçon PF ; il est égal» en grandeur et en signe, au moment fléchissant des forces extérieures appliquées au tronçon NPQ.
Soit de même M' le moment des forces élastiques développées dans la section FQ', et dans ce même tronçon PF ; il est égal en valeur absolue, mais de signe contraire, au moment fléchissant des forces extérieures appliquées au tronçon FQ^N.
Soit A la résistance à Tefiort tranchant dans la section PQ prise sur l'élément de poutre PP' ; elle est égale en grandeur et en signe à l'efiort tranchant dû aux forces appliquées au tronçon PQN.
Soit A' la résistance à l'effort tranchant dans la section FC^, et sur l'élément PF ; elle est égale en valeur absolue, mais de signe contraire, à l'effort tranchant dû aux forces appliquées à la partie FQ'N.
Appelons enfin F la résultante des forces extérieures qui agissent sur la poutre dans T intervalle PP' ; cette force pourra être considérée comme appliquée en un point I de cet intervalle, si l'intervalle PF est suffisamment petit. Soit x'' l'abscisse du point L
L'élément de poutre PQQ'F est en équilibre sous l'action de la force extérieure F, des forces moléculaires A, A', et des deux couples de forces élastiques M et M'. Les conditions d'équilibre se réduisent à deux, celles des forces et celles des moments.
L'équation des forces montre que
A=F' + A', ou que A' — A = — F,
4i . EST LÀ DÉRIVÉE DU MOMENT FLÉCHISSANT. 19i
^Btl'éqnation des momêûts, pris par rapport à un point de la section FQ', noQ9 donne : '
Ces équa^ons ont lieu quelle que soit la lougmlP PF de l'élément considéré. Supposons-la infiniment petite; Il peut arriver deux cas, suivant ou'eii faisant décroître indéf^ment la distance -^^¥^ la force F reste fiq|i^ap devient infiniment petite. i^.lp^d^ lorsque fF^,4^ti^ petit, la force F est aussi iâ^-\
' *'ï\ )^\ ^ *' .-^^'^ *"\ . F '*"■' '^'Hj^^
nJent petite, de telle sorte que le rapport r^^ i^di&un nombre Jm»
on peut assimiler la force F à un poids également réparti de P en F« à raison de p unités de poids par unité de longueur. On aura donc dans ce cas, F = p x PP'. £•
Remplaçons donc af — a? par dx^ MP -^ll'par rfM, A' — Apap dk, et F par pdx. Observons de plus que af — a/' est mdwhie que a/ — jp ou que dxy de sorte que le produit ¥ (a/ — af') s* réduit à un infiniment petit du second ordHè, plus petit que pclx*. Supprimant ce terme dans notre seconde équation, nous aurons en définitive
dA. = — pdx, (2M = Adr.
De cette dernière équation, on tire^= A, ce qui. démontre le
théorème.
On a de plus
dA et enfm
dx
Si p est une cpnstante, Tintégration de ces équations donnera pour A une équation linéaire, A = — jox + G , et pour M l'équation d'une parabole,
W* . L'EFFORT TBANCHAHT.
M = — ^ pi* + CX'i- C- ï
résultats déjà obtenus dans les exemples gue o<hi|| aVons ezaif^Dés. Si p, au lieu <ï6tr<i constant, est une tmêÈou&'x, l'iittégratioD donnera les esprRsions .analytique» de A effle M> ^ " ■
2° Supposons qu'au point P, la poutre f^t à suKr l'action d'une force fmio et isolée. Alors F n'est plus iafinioient petite, et la différence A' — A est finie et égale/v— F. La fonction A n*Mt ëoBC ;^pli^ continue pour la valeur de i çôrrèlpondante à la secti(j|M^. "IJqpr celte secUoç, iï y a, en réalité, deux i^brts iranchants, l'àik-âi^ un peu avant, l'autre un peu après la fwpe F. Mais on a toujoum
,1» pdcn^re équation nou^ apprend que A — F est égal à A' ; substituatitimns la seconde, it vient
Cette expression montre encore que l'effort tranchant est la dérivée du moment fléchissant par rapport à l'abscisse; seulement, pour les valeurs positives de dx, il faut introduire dans la formule celui des deux efforts trancliants qui correspond aux points situés un peu !i droite de la force F. La relation
est donc générale, k la condition de tenir compte de la discontinuité de la fonction A, due à l'action des forces isolées.
Lorsqu'une poutre portant des charges réparties également ou inégalement, est sollicitée en outre par des forces isolées, si l'on appelle p le poids, constant ou variable, qui s'y applique par unité de longueur en un point défini par son abscisse ,r, on devra, pour le trace des efforts tranchants, se servir de l'équation
EST Là Dérivée du moment fléchissant. 193
dX
dans tous les interyalles compris entre deux forces isolées consécntîves ; puis, au passage de Tun de ces intervalles au suivant, on emploiera la formule
qui donnera la rariation briisque subie par la fonction k.'nn moment où la variable x atteint et Repasse l'abscisie du point d'application de la force isolée F. Le contour représentatif des valeurs de A sera donc entièrement défini par ces équations, à une constante près, qu'il faudra déterminer dans chaque cas particulier.
Pour en déduire les valeurs des moments fléchissants, on se servira de l'équation
dM = KdXf
laquelle est vraie en mettant pour A ses valeurs successives, continues ou discontinues. La courbe des valeurs de Ma donc pour ordonnées des longueurs proportionnelles aux aires,SA(ir,du contour représentatif des efforts tranchants ; aux points où A change brusquement de valeur, la courbe des M a un point anguleux, mais ses ordonnées varient toujours d'une manière continue.
Nous avons constaté un tracé de cette nature en étudiant le problème de la poutre droite posée sur trois appuis de niveair(§ g4).
L'équation -^ :s^ A défifiit le signe de A, puisque nous avons fait
une convention sur le signe de M. On iMt que l'effort tranchant doit être considéré comme positif quand Ujlbd à faire glisser de bas en haut le tronçon ^tué àgaucbe du plàn^sécant sur le tronçon de droite. Si Ton faisait u||S convention contraire, il faudrait changer de signe
de A dans la formule -7- = A«
dx
lOA. Ce théorème permet de résoudre la question suivante : Étant
194 LEFFORT TRANCHANT
donnée une pièce droite^ de section constante et de longueur /, posée sur deux appuis de niveau^ trouver les charges à lui appliquer pour faire prendre à la fibre moyenne une forme déterminée.
On suppose donnée l'équation y = f {x) de la courbe que doit reproduire la fibre moyenne par suite de la déformation ; l'ordonnée y est supposée très-petite pour toute valeur de l'abscissse comprise entre a? = oet2:==/;il faut en outre que les tangentes à la courbe domsôe, menées entre ces deux limites, fassent un angle très-petit avec Taxe des x^ de telle sorte que la longueur de la courbe soit sensiblement égale à /; qu'enfin pour a? = o, et pour a? = ï, la courbe donnée ait ime courbure nulle, et passe par les points d'appuis.
Appelons p la charge par unité de longueur à répartir en un point X ; nous aurons en multipliant y par £1, produit connu puisque la matière et la section de la poutre sont supposées données :
Ely = El/lx) 5= F(x), fonction connue; Donc
El g = F'(x) > ^ = F"(x)=-p.
Cette dernière équation donne la loi de la répartition cherchée. Pour que le problème soit possible dans les conditions de l'énoncé, il faut que o soit'^artout positif.
Le poids par unité de longueur étant ainsi déterminé en chaqw ^ point, on en déduit l'effort tranchant A, en observant que
A*X— \ pdx.
X étant la réaction de l'appuTebïTespondant à X = o. ^
Or cette réaction est déterminée en fonction des poids par l'équation des moments par rapport à l'autre appui,
X/ = \ p[l — x)dx = / \ pdx — \ pTtJr.
EST LA DÉRIVÉE DU MOMEiNT FLÉCHISSANT. 19 j
Substituant cette valeur de X, il vient
A = \ pdx — j\ pxdx — \ pdx^
équadoa.ûft Hi ne reste plus rien d'arbitraire.
Mais 'M = \ \flx; le choix des limites annule M pour x = o. 11
faut de plus que M soit nul pour x=: L On doit donc avoir, pour satisfaire à toutes les conditions,
Or cette équation est satisfaite. Posons en effet
\ pdx=^q.
JO
L'intégrale double \ dx\ pdx revient à l'intégrale simple \ qdx.
Jo JO Jo
Intégrons par parties, nous aurons
et, entre les limites o et /,
\ qdx = lQ— \ xdq,
