XY

-^, ou par p.

La résistance moyenne à Teffort tranchant est donnée pour cha*

SP que section par une expression de la forme -^ ; elle sera donc multipliée par

L'angle très-petit,^, qui mesure la déviation de la fibre neutre est donné par l'équation

El(|-tg?)=jM<to.

Cet angle est donc homogène à

i86 SIMILITUDE

'ijj^F tiîKfl^ià^^ultipIié dans la seconde pontre j>ar leAÉffltbre ^^^^

Enfin, leà J^cbes. y sont données par l'équation

EI(y-aîtg<p) = J^Mdx«;

elles sont donc multipliées par

M X a' Ea*e

KV'

Quand on a étudié la déformation et la répartition des pressions dans la première poutre, on peut en déduire par de simples multiplications les résultats relatifs à la seconde.

Nous donnerons deux exemples de l'emploi de cette méthode.

i^ Cherchons à quelles conditions les coefficients a, p, y, e, doiyent satisfaire pour que les deux poutres, supposées formées de la même matière, subissent les mêmes pressions aux points homologues.

Il faut et il suffit pour cela que R et R' soient respectivement les

mêmes, et par conséquent que les multiplicateurs ^ et g- soient égaux à l'unité. On aura donc

Si ces conditions sont rempUes, les flèches prises par les deux poutres seront entre elles dans le rapport exprimé par le nombre a.

On a, en effet, pour le rapport des flèches le nombne r-| , puisque E

est supposé égal à E'; or

donc

2* Une poutre de sec^ redaagulaire, ABGD, chargée de poids, Fig. 103. repose sur le côté CD; on bd donne quartier sans A rien changer aux chaiigéa- iju'eilé snpuprlêfc'est^- , /: iSté on la couche sur le côté AD ; on demande les modUications qui en résultent dans la distributira des pressions et dans les flèches -^^rises par la ^poutre. •.<-.^. ' ' ; .-^

Les longueniç^attittesmèmesdansles deux poutres, ainsi que l€i$ Çoirdes ér ijue les coefficients d'élasticité.

a = 4, esai^wet E = E'/

Donc '

La dimension horizontale CD de la première poutre devient égale

AD à AD dans la seconde; le rapport ^ est donc égal au rapport ^^

Ou

CD des côtés du rectangle. Le rapport y est au contraire j^r ; donc

Y = g. n en résulte que les chaînes R, qui correspondent à la

.«do., «mt ni^lUpHéc par le rapport ^ , ou par lo facteor ?;

Que les charges R', qui correspondent à Teffort tranchant sont multipliées par ^ , c'est-à-dire par Tunité;

Que les flèches sont multipliées par |^,, ou par -,, ou enfm par ^^

DÉFINITION DE LÀ RAIDEUR d'uNE POUTRE.

100. La flèche /, prise par une poutre sous Faction d'une force unique P ou d'une charge également répartie pa^ est donnée par les formules

^-^ El ^384 ^^ El ^384'

18d SIMILITUDE DES POUTRES DROITES.

suivant qu elle •est simplement JStoée où encastrée à ses deux bouts, ou bien

si elle est encaatrée par im*libut.

Là raideur est raesui-ée pa^. le rapport, -7 ou W, de la force à la

flèche qu'elle produit. ' ' .v

On voit que, toutes choses égales d*aiileurs, la raideur est propar-

El ♦^

tionnelle au' produit -j. Or I est proportionnel au produit AV, A

désignant la dimension verticale de la section et c la dimension horizontale; I s'exprime par ce produit multiplié par un iacteur numérique qui dépend de la forme de la section. La raideur d'une poutre est donc proportionnelle au rapport

ou a h

-X (rt)'-

Si E et c restent les mêmes, elle est proportionnelle au cube (lu rapport de -, qui mcsuie pour ainsi dire le surhaissement de la

poutre en élévation.

De là, rutililô ([u'il y a à augmenter la hauteur de la poutre proportionnellement h sa portée. Le rapport - ne descend guère audessous de — , et il atteint cfuelquefois --•

PIÈCES LÉGÈREMENT C0Un«ÉES.

101. Tous les problèmes que nous avons traités supposent que la pièce considérée est droite dans son état naturel. xMais cette hypo-

THÉORÈMES SUR LES POUTÛià DftOiTES. ISii

tbfiqPesmfiBs indisperfsabMÎI te sait que Îq principe général de la sàj^q^kosition des effets des forces consiste eiMII'jÇtt'un nouveau grraj^ de forces appliqué à une pièce déjà ifj^é*, y produit un èflët partiel qui s'ajoute algébriquement aux effets déjà produits. Si la pièce a natureiledtent une légère courbure, les forces qu'on y appliquera feront subir de même aux ordonnées de la pièce des variations égales à celles qu'elles produiraient sur lafoutre supposée rectiligne , et les mêmes équations subsisteront pour ces deux pièces, pourvu que Ton compte les abscisses sur ^ la fibre neutre dtiis son état naturel, ou sur un axe rectilignç parallèle à sa direction 9^11^!!^^ et les ordonnées parallèlement aux forces i partir de la^Sra^Utre non fléchie. a>«^^

•Â' RBIIABQUB GÉNÉRALE*

102. Dans les problèmes relatifs à la flexion des poutres droites, on suppose en généfkl que la déformation reste assez pey|j^ pour n'altérer sensiblement ni les forées, ni ]es coordonnées de leurs points d application. *f

C'est pour cela qu'on pi'ênd les moments des forces comme si la pièce était dans son état naturel, tandis qu'en toute rigueur, il faudrait les prendre dans l'état de flexion, puisque l'équilibre élastif[ue suppose cet état réalisé. Comme on ne peut prétendre à une solution tout à fait rigoureuse, on suit cette méthode approximative, qui a l'avantage de rendre les calculs beaucoup plus faciles.

. > is verrons un peu plus loin (§ io4) un exemple dans lequel on lie j)eut se contenter de cette approximation.