R-^ + ME
et on trouvera la forme prise par la fibre moyenne à l'aide de la formule
SOUMISES A DES FORCES OBLIQUES. 2ia
fonnule identique à celle que Ton a établie pour le cas des forces normales.
L'eObrt tranchant A est toujours égal h la somme algébrique des composantes normales , et la résistance moyenne par unité de sur-
A face dans la section PQ est égale à -. Les forces P n'influent ff
sur la distribution de FelToit tranchant, ni sur le glissement longitudinal des fibres.
Les composantes longitudinales n'entrant ni dans le moment M, lii dans TefTort tranchant A, on peut dire encore que TeiTort tranchant est la dérivée du moment fléchifgant par rapport à l'abscisse.
La fibre qui conserve sa longueur n'est plus la fibre moyenne; c'est la fibre pour laquelle R = o» ou celle qui est donnée paBÉQkmatiQa
__PI^__PK« • ^
^ - Mû •" ' TT»
K étant le rayon de giration de la section.
APPLIGATIOffS
116. Soit AB une pièce droite inclinée, comme par kômple Tarba* w«« **». ^^^ létrier d'une toiture. Nous supposons
qa'aux poinUlA et B, la poutre soî^ coupée de telle sorte qu elle pose par une surface horizontale sur les murs C et D qui lui serventa^' appui.
Oa pourra donc admettre qu'il n'y a ai^ne tendance au glissement, et que les réactions des appuis sont yerticales. Appelons a la projection horizontale AE de la poutre, a l'angle BAE qu'eUe fait avec l'horizon, et / la longueur AB.
Soit p le poids réparti uniformément sur la pièce ^ar chaque unité de longueur prise sur la projection horizontale AE. Le poids
total de la pièce sera pa ; il se partagera également entre les deux
appuis, qui supporteront chacun — .
Prenons la fibre moyenne AB pour axe des or, et le point A pour ori|;ine. Considérons un point quelconque M, à une distance AH= a;. Les poids répartis de A en If donnent une charge totale égale à pXkH=pXxcosaLi d'où résultent les équations :
P = ^ sin « — px cos a X sin a (compression), A = ^ ces a— pae cos « X cos « (effort tranchant),
M = ^ X a? cos « — px cos a X — 5 — (moment fléchissant).
CfcerrtoMjÉÉ forme de la fibre moyenne, en intégrant lljjkraàtion
ce qui conduit aux équationa
ft f^y * \ pacosa - 1 -,
Faisons x = 4^ans la deroiëre équation, et nous devrons avoir
Eing, + £2ig5i5^-JLpi*co8««=o.
et;
. pg C08 g y , pi* cos* •
On peut remplacer /cos a par a, et*/ par ; il viendra
% cos ex
ur^- V^ , ixi' i pg»
^^ laEIcosa^îiEIcos»^ 24EIcosa*
Tout est alors déterminé dans l'équation de la fibre neutre.
D'L'N ARBALËTRIEI^br ^IS
La Hëchc / de la poutre, prise posïtiVedaeut, et rapportée à l'axe AX, sera donnée par la formule
On calculera enfin les ellorts auxquels la matière est soumise par la formule
117. Pour la discus^(m,âe cette formule, on pourra construire (%. 116} destignes dont les ordonnées représentdlF les valeurs de et -|-. La section étant supputée partout la même, Q et I sont des
constantes; on prendra pour v les valeurs qui correspondent aux points : 1|^ plus fatigués de la section, c'est-â-ffire aux points les plus éloigmS 'âé la fibre neutre ; ce qui donnera pour v deux valeurs constantes. Tune podlÎ¥e, l'autre ni^gative. 1) y aura donc deux courbes à construire pour représenter les valeurs qu'on doit attribuer à ^ , l'une
pour la face rfl^[flfféttre , l'autre pour la face inférieure de l'arbalétrier; chacune de ces courbes sera une parabole, comme on. le voit par l'expression analytique de M. On ajoutera ensuite algébriquement
Mu ^T =
ce qui cotfduira au tracé de deux nouveaux arcs paraboliques, dont on cberchera les pins grandes ordonnées prises en valeur absolue ; les abscisses corr^ondanfcs indiqueront les sections où la maUëre supporte les plus grandes charges.
Épure des valeurs m^es de R pour UDe section rectangulaire RST.
fig.ti«. FGH, Ugne droite,
passant au milieu G de la portée AB. Les ordon- * nées de cette ligne représentent les valeurs
de - • û
ÂIB, parabole des vab
leurs de -:=- , pour v égal à^Jîmîte positive, H —
AIE, la même parabole repliée au-dessous de la droite AB, et représentant par 4r^rdonnées négatives les valeurs de — , pour t;
égal à sa limite négative, •
FLINH périeure de l'arbalétrier)
Uv
, parabole des valeur* •& br + -r POur t) = + - (face sumÀ
de l'arbalétrier). ^ff' :Mr S^'
HLTN'F, parabole des valcMB de ^ ^^^ po^r «i^pig J (faœ
inférieure de l'arbalétrier). ^^V^^ :> .^^
Ces deux paraboles sont sfitmfffiltujie de l'aittre par rapport an point G. ' J^- ^ ^
Les abscisses des points où la fonction ^r + -y- atteint son maxi-
mum, peuvent se déterminer sur Tépure ; mais on peut aussi les chercher directement en observant qu*eiles sont données par la relation [^
î'3x Qdx
OU bien % \
— pcosasina , V /pa ^ , \ .
— i- — g h t(^C08« — pxCOS'aj = 0.
Supprimant le facteur p cos a, et remplaçant t; par A- ^ il vient en
définitive
--xco8a = ± — sm«.
