SOLIDES D'ÉGALE RÉSISTANCE

139. Dans tous les problèmes des chapitres précédents, nous avons admis que la pièce avait partout la même section transversale, ei que le moment d'inertie 1 était une des données de la question. La théorie générale ne suppose pas nécessairement cette uniformité; il sufiit pour qu'on puisse l'appliquer que la section, si elle est variable d'un point à l'autre, soit variable d*une manière continue (i);

(1) On peut aussi appliquer^ à titre d'approximation^ les formule? de la flexion des prismes droits aux pièces dont la section varie brusquement en certains points de leur longueur, à la condition d'efTacer ces variations brusques par la substitution d'un profil continu fictif au profil réel, et de n'appliquer les formules de lépartition des cHorts locaux qu'à des sections sufilsammont distantes des points où la conlinuitJ est ainsi interrompue {Cf. § 1 10, in fine).

SOLIDE» DÉGALE Rf!SISTANCE. 257

Nous allons traiter dans ce chapitre des problèmes dans lesquels la section est Tinoonnue S déterminer; on demande, par exemple, les dimenabos à attribuer en chaqne point à la section d'une poutre sollicitée par des forces donnéelbfï pour que la plus grande charge par unité de surface soit flArtoiift' égale à uoe limite R fixée d'avance. Un solide satisfaisaal à celle coifllition porte le nom de solide et égale résistance. G^b^pretsion n'est pas parfaitement justifiée pour les poutres droite^imcltéespar desforces normales; carl'égalerésistance semble iDdiqiM|^rà4^ charge de la matière doit être la même en tous les points ^hééUMie; or, l'axe neutre d'un prisme sollicité par des forces normales ne peut #(|e soumis aux mômes efforts que les fibres qui en sont plus ou màils éloignées. Néanmoins, l'expression de solide d'égale résistance étant consacrée par Tusage, nous n'essayeroqs pas d'en trouver une plus fidèle. 11 suffit d'ailleurs d'être prévenu du sens restreint qu'on y attribue.

Un solide qui a/ôfîlfÈ' soumis en ÎDus ses points à la limite supérieure des efforts qu'il peut supporter serait évidemment dans les mplleores ^n^tions d'écooomieet de résistance ; la résistance veut qpe C|tte limite ne soit dépassée nulle part (i) ; l'économie demande soit atteinte partout; car s'il y a insuffisance d'effort en un ^int, on peut affirmer qu'une partie de la matière placée aupoionpurait être retranchée sans péril pour la solidité du fme, et atlec avantage au point de vue de l'économie. ^G^st cette considération qui a conduit les constructeurs à remplacer pour les profils transversaux les formes quadrangulaires par des formes à double T, où la matière est mieux répartie, puisqu'on l'enlève' ^a région .voisine de la fibre neutre, où elle serait peu utile, ^ur la reporter vers les extrémités de la section où elle participe aux grandes charges.

Nous tndterons quelques problèmes sur les formes d'égale résis tancet en commençant par supposer les sections rectangulaires.

(1) V. JmuUes des minet ^ 4* série, t. XX, p. 462. Article de M. Couche, Analyse des nouveUtB expériences faitei en Angleterre sur la résistance de la fonte et du fer;

POUTRE D*ËGAtB;B<SI§^.CE

- 1. Une poutre AB est posée sur deux ^puis, A et B, et cbar- ' Fig. m. ^' gée (Je poîgn égal«|^t répartis, i

î ^ jl, Taiwan depunitésœpoidspiirunité

w — À* dejftjgueur. La distance AB = / est

mtre doit avoir une dont la dimâbàotniMlKMtale est représentée par a, et la dimension verticale par b. On demande de déternûper ces dimensions ea tous pointa de îa portée, de telle manière que les points les plité chargés sntùsenC

une pression ou une tension constanti

unité de surface. -i^

Nous emploierons la formule j^y.

e à B unités de pwds par

M est ici égal à

Pour avoir la pression aux points les plus chargés, il faut

= -; on a de plus

d'où résulte l'équation

-pi.

Cette équation lie les deux indéterminées a et b k l'^l^isse x. Toute section rectangulùre variable dont les dimensions aâtisferclk àcette équation, assureraau solide l'égale ré^stance, telle qua nous l'entendons ici.

Le problème est indéterminé. Pour en achever la solution, on "penj s'imposer une condition nouvelle .

I* Soit d'abord a constant; l'équation nous donnera entre 6 et x une équation à laquelle le profil longitudinal de la pièce doit satis- Taire.

Si, par exemple, on veut que le dessons de la pièce soit une drAie ^' ***• horizontale, b sera Tordonnée de la

courbe formant le profil de la face supé-

jL ! ^B rienre ; ce profil est une ellipse qui a

pour grand axe AB, ou /, et dont le

demi petit axe est égal à la valeur de b pour a? = - > *

Si l'on veut au contraire que la droite AB soit l'axe neutre lui- *

même, il faudra prendre ifc-A pour

*j^~ -^* ordonnées du profil; appelant v la

L^ — } moitié de i, on aura l'équation du

profil, en remplaçant b par *àv dans Féquation générale, ce qui donne :

équation représente une ellipse, dont le grand axe est égal à AB ,

et dont le demi petit axe est égal à la valeur de v pour x=-<t

c'est-à-dire à

iV^R- t

Cette ellipse (fig. li^G) a pour ordonnées les moitiés des ordonnées de l'ellipse précédente (6g. 147).

ProposoD&-nous de cbercfaer IMécbe prise par la poutre d'égale résistance sous l'a^etfoçrafe la charge qu'dle supporte.

Pour la trouver, ndus remarquerons JfRt Ton a

El EldH/ RI

Donc

et si l'on attribue à v sa plus grande valeur - , R sera la limite de

charge donnée ; on trouvera donc les valeurs de y en intégrant l'équation

dans laquelle b doit être remplacé par une fonction connue de x. L'équation du profil nous donne

et l'équation diiTérentielle de la fibre neutre déformée est par conséquent

dx* ■" E ^ V 3p -^ ^S=â?*

; . Pour intégrer cette équation, mettons le polynôme sur lequel porte le radical sous la forme

nous aurons à intégrer la différentielle

dx '^(î'^j \ S