RAIDEUR DU RESSORT LONGITUDINAL

Eu

' 13. De l'équation P = -r- /, où P et / sont les seules variables, on

déduit

RÉSISTilNGE VIVE.. 19

dP EÛ d/ "■ L •

Nous avons déjà remarqué dans un cas tout, à f^t analogue que

rfP la dérivée -tt est la mesure de la raideur du système. On voit qu'au

point de vue des déformations longitudinales, une tige a une raideur d* autant plus grande qu'elle a une plus grande section, une moindre longueur et que son coefficient d'élasticité est plus grand.

TRAVAIL DE l'aUONGEMENT d'UNE TIGE.

1&. Supposons que Ton cherche le travail T nécessaire pour accroître la longueur L de la tige d'une quantité \ très-petite par rapport à L. Soit, à un moment quelconque, x rallongement de la lige; la tension P correspondante sera donnée par la formule

et le travail élémentaire (/T correspondant à l'accroissement de longueur dx sera Vdx^ ou bien

Pour avoir le travail total, il n'y a qu'à faire l'intégrale de cette expression entre les limites o et X, ce qui donnera

Ce résultat peut se mettre sous la forme :

Le travail consommé par la déformation de la tige est donc équiva-

Eco X - >^ lent au travail d'une force 1 , dont le point d'application

parcourrait un chemin égal à \ dans sa propre direction. On peut remarquer quet cette force est la moyenne dés valeurs de la tension P pendant l'allongement.

20 COSTRâGTION LATERALE.

La formule T = - -p X' n'est vraie que pour les petites valeurs

du rapport |r ; si Y(fn attribuait à X la valeur qui correspond à la rupture de la tige par extension, la formule ne donnerait plus qu'une approximation grossière.

La même formule représente le travail nécessaire pour produire par compression un raccourcissement \ sur une tige qui ne subit pas de flexion latérale (i).

Poncelet a donné le nom de résistance vive d'un prisme élastique tt à la somme des quantités de travail que la résistance élastique a de ce prisme oppose à l'action d'un choc, ou d'un effort variable « ou brusque dirigé dans le sens de son axe. » Nous examinerons tout à l'heure un cas simple dans lequel cette résistance se manifeste.

PHÉNOMÈiNES ACCESSOIRES.

15. Lorsqu'on soumet une tige à un effort de traction, la tige s'allonge, et c'est là le phénomène principal; mais en même temps la tige se contracte latéralement : cet effet, peu sensible sur les tiges douées d'une grande raideur et subissant une faible déformation, devient au contraire très-apparent pour les matières très-déformables, par exemple, pour le caoutchouc.

Le phénomène, soumis d'abord au calcul par Poisson, est maintenant regardé comme un résultat nécessaire de la théorie mathématique de l'élasticité. Il a été étudié expérimentalement par M. Cagniard de La Tour, puis par M. Wertheim, enfin en dernier lieu par M. Cornu, à l'aide d'une méthode fondée sur l'emploi des anneaux colorés. On peut admettre aujourd'hui comme démontré que le coefficient de contraction latérale est proportionnel au coefiTicient d'extension longitudinale, et que le premier coefficient est environ le quart du second.

(1) W existe un théorème plus général, dû à Ctapeyron, qui permet d'exprimer la iomme des travaux de toutes les forces élastiques développées par la déformaiioo d'un solide homogène et d'élasticité constante. (Lamé, Leçon VU.)

FLEXION LATÉRALE. 2i

La contraction latérale des prismes est d'ailleurs généralement trèà-petite, et il est rare que les ingénieurs aient Foccasion de s'en préoccuper. Nous verrons cependant qu'il est nécessaire d'y avoir recours pour expliquer certains phénomènes.

A la compression, on observe un renflement latéral au lieu d'une contraction. Mais un effet d'un autre genre peut aua^ se produire; c'est la flexion latérale de la pièce prismatique. Une pièce symétrique par rapport à sa ligne moyenne, et soumise à une force qui la comprime par ses extrémités, se trouve , lorsque la force a une valeur suflisamment grande, dans un état d'équilibre instable; la moindre inégalité de répartition de la force sur la section de la pièce, le moindre effort transversal, suffisent pour la faire fléchir d'un côté particulier. Nous étudierons plus tard les conditions de résistance à ce point de vue. En attendant, il ne faut pas oublier que les pièces droites chargées par leurs abouts sont quelquefois exposées à prendre latéralement une certaine flexion, et qu'alors, si la charge qu'elles ont à supporter ne diminue pas, il y a danger de rupture.

MOUVEMENT OSCILLATOIRE d'uN POIDS SUSPENDU A l'eXTRÉMITÉ

d'one tige élastique.

10. Jusqu'ici nous n'avons considéré que des actions statiques, ou ce que quelques auteurs appellent improprement des forces mortes. Les solides sont souvent appelés à développer une résistance à des chocs produits par des corps en mouvement; la résistance qu'ils opposent à ces actions dynamiques comprend deux parties principales : Tune est due simplement à l'élasticité du solide, comme s'il s'agissait d'une action statigue; c'est celle qui contribue à produire ce que Poncclet appelle la résistance vive; l'autre est due à la masse du solide choqué , qui emprunte au corps choquant une certaine portion de sa quantité de mouvement. Dans certains cas, cette seconde partie peut être négligée par rapport à la première, et alors les problèmes ne présentent pas plus de difliculté que les questions d'équilibre statique. Lorsqu'il n'en est pas ainsi, les pro-