LE THÉORÈME DES TROIS MOMENTS

159. Le théorème des trois moments peut s'énoncer comme il suit :

Si l'on considère trois appuis consécutifs A, B, G, et qu'on appelle Fig. 162. /, ^, les portées AB, BG comprises entre

^ ^ le premier appui et le second, entre le

^ * ^ second et le troisième;

M, M', M" les valeurs des moments fléchissants sur les appuis A, B, G-,

Enfin p, p' les charges par unité de longueur supposées réparties également dans les deux travées AB, BG; Les moments M, M', M'' sont liés par la relation linéaire

Ce théorème donne autant d'équations qu'il en faut pour déterminer dans chaque cas particulier les valeurs des moments fléchissants sur les appuis, d'après l'hypothèse faite sur la distribution des charges entre les diverses travées. On remarquera que les longueurs / et f entrent seules dans les coefficients des moments inconnus M, M', W.

LEMME DE CLAPEYRON. '^î>">

Avant de démontrer le théorème, il est utile de poser un lemme préliminaire plus général, qui peut être regardé comme la base de la première méthode de Glapeyron.

Nous suivrons la marche qui nous a déjà servi à résoudre le problème de la flexion d'une poutre droite sur trois appuis (§ 94). 160. Considérons une travée quelconque AB, comprise entre deux ^ ^ Fig. 163. appuis A et B; nous supposons que les forces

i extérieures et les réactions des appuis sont

J ^ verticales. Après avoir coupé la poutre sur

Al ig l'appui A, on rétablira l'équilibre en appli-

quant à la poutre dans la section A un couple égal au moment fléchissant M qui existait avant la coupure. Appelons A la portion de la réaction de l'appui A qui s'exerce sur la travée AB, enfin représentons par une lettre, ix,|la somme des moments des forces extérieures données qui s'exercent sur la poutre du point A à un certain point C, défini par son abscisse j?, cette abscisse étant mesurée sur l'axe neutre de la poutre AB à partir du point A pris pour origine; (jl est donc une fonction connue de x.

Le moment fléchissant de la poutre au point C sera donné par l'équation

Soit <p l'angle que fait en A avec l'horizon l'axe neutre déformé ; nous aurons, en intégrant une première fois l'équation qui précède,

El (^ - tang o^ = Ma; + JVx + i Ax\

L'intégrale T [ulx est une nouvelle fonction de x que nous représenterons par p ; et nous aurons par suite, en intégrant une seconde fois ,

EI(y — X tang9) = | Mx« + C* pdx + ^ Ax».

Dans ces équations, faisons x = I, et appelons N, Q, S, les valeurs