DES CHARGES
179. Quand on éludie le projet d'une poutre métallique posée sur plu» de deux appuis, chaque travée peut être successivement supposée vide ou surchargée^ dans le premier cas, elle porte uniquement son poids propre; dans le second, au poids propre s'ajoute une surcharge que l'on suppose également répartie dans la longueur de la travée.
Il est facile de déterminer le nombre total des hypothèses que l'on peut faire sur la distribution des surcharges pour un nombre n de travées.
Si d'abord on suppose qu'une travée seulement reçoive la surcharge, on doit compter n hypothèses distinctes, chaque travée pouvant être successivement celle à laquelle la surcharge est attribuée. Si l'on suppose ensuite deux travées chargées, le nombre d'hypothèses correspondantes est égal au nombre de manières distinctes qu'il y a de prendre deux objets sur une collection de n objets, c'està-dire au nombre des combinaisons de n objets deux à deux, ou enGu à
— ^—^ — '-; de même, pour trois travées chargées, le nombre cl'hyjjo-
thèses est égal au nombre — ^ ^-^— = — ' des combinaisons de n
objets pris trois à trois, et ainsi de suite jusqu'à ce qu'on suppose ks
n travées chargées, ce qui ne peut se faire que d'une seule manière. Le nombre total des hypothèses distinctes est donc égal à la somme
^ . n(n~i) . nin^i){n-%) .
ou à s" — 1 ; l'unité qu'on retranche de 2" correspond à l'hypothèse dans laquelle toutes les travées seraient vides, hypothèse écartée à priori,
180. Lorsque la poutre est symétrique par rapport au milieu de sa longueur totale, un certain nombre d'hypothèses se groupent deux à deux symétriquement, et l'une n'est que la reproduction de l'autre. Il y a ^lors une réduction du nombre des hypothèses réellement distinctes au point de vue du constructeur.
Voici comment on peut déterminer ce nombre réduit.
Soit N = îj* — 1 le nombre total d'hypothèses à faire sur les n travées d'une poutre symétrique, lorsqu'on ne tient pas compte de la symétrie. Ces N hypothèses se partagent en deux classes. La première comprend N' hypothèses non symétriques^ et la seconde N" hypothèses symétriques. Chaque hypothèse de la première classe a, en vertu de la symétrie de la poutre, une hypothèse symétrique distincte d!elle-mème; par suite les N' hypothèses de la première
classe ne donnent que - N' hypothèses réellement distinctes quand
on tient compte de la symétrie. Au contraire, la seconde classe ne subit aucune réduction par suite de la symétrie de la poutre ; car chaque hypothèse étant symétrique d'elle-même, ne se groupe avec aucune autre qui soit comptée séparément dans le nombre N".
Si donc nous représentons par N, le nombre des hypothèses distinctes lorsqu'on tient compte de la symétrie y nous aurons à la fois:
et
d'où l'on tire, en éliminant N' ,
3a4 INFLUENCE DE Lk SYMÉTRIE.
N est coDnu ; il suffit donc de déterminer N". Deux cas doiteot être distingués ici^ suivant que n est impair ou pur.
i* Si n est impair, la poutre a une travée centrale,de chaque côté
de laquelle sont —^ — travées.
Soit |& le nombre de travées chargées* Pour que la distribution soit
symétrique, il faudra, si |x est pair, qu'il y ait ^ travées chargées
de chaque côté de la travée centrale ; le nombre d'hypothèses symétriques est donc égal» dans ce cas particulier, au nombre descombinai-
sons de objets pris ^ à ^. Si (a est impair, il fiiudra que la
travée centrale soit chargée, et qu'en outre il y ait ^- travées
chargées dans chaque moitié de la poutre ; le nombre d'hypothèses symétriques est donc alors égal au nombre descombinaisons de
objets pris ^ à ^ >
Ainsi, pour une valeur paire de jx, le nombre d'hypothèses symétriques est donné par la formule
— 1 n — 3 n — 5 ^^ n — pi-h f
"!"• î Ix2x3x..-Xj
et pour une valeur impaire de [x, il est donné par la formule
t"' "HT" 1 x2x3x... xi--s—
NOMBRE D*HYPOTIIÊSES DISTINCTES. 335
Pour obtenir le nombre total N" d'hypotbèses symétriques, on fera
successivement pi^ 2, 4* ^v ^ — 1 d^ns I& première formule, et [JL = 1, 3, 5,.- n dans la seconde, et Ton ajoutera les résultats. On remarquera que la seconde formule donnera, pour
les mêmes résultats que la première pour
En définitiye^on aura :
= 4 + \2 * — ljx2 = 2 * —4.
Donc enfin
j 2* Si n est pair, il n'y a pas de travée centrale,* mais il y a -
, travées symétriques par rapport à l'appui du milieu de la poutre. Dans ce cas, toute hypothèse comprenant un nombre impair de travées chargées est nécessairement non symétrique. On doit donc chercher les diverses parties dont la somme forme le nombre N", en attribuant seulement à [jl des valeurs paires. Le nombre d'hypothë*
