LA DISTRIBUTION DES SURCHARGES

192 . Nous avons reconnu que les hypothèses à faire sur la distribution des surcharges, pour déterminer les valeurs limites des moments fléchissants, sont deux à deux complémentaires, c'est-à-dire qu'à une hypothèse dans laquelle plusieurs travées sont chargées et les autres vides, correspond une hypothèse dans laquelle les premières travées restent vides, et les autres reçoivent la surcharge. Appelons p^ le poids par unité de longueur de la travée vide, pi' le poids par unité de longueur de la surcharge. Dans Tune des deux hypothèses complémentaires, la travée sera supposée avoir le poids p\ et dans l'autre le poids/? = y+y. Si Ton ajoute les deux moments fléchissants obtenus pour un point quelconque dans chacune de ces deux hypothèses, on obtiendra le moment auquel conduirait le calcul pour une charge totale égale à /> -f />', ou à ajo' -f p'\ également répartie dans toute la longueur de la poutre.

Si donc on a calculé les moments fléchissants pour une hypothèse particulière, on pourra obtenir les moments correspondants à l'hypo-

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dièse complémentaire, en retranchant les moments obtenus des moments correspondants à la charge p +p\ également répartie dans x>ute la longueur de la poutre.

Or, 2 n est le nombre d'hypothèses utiles pour une poutre non symétrique de n travées ; elles se groupent deux à deux en hypothèses complémentaires. On pourra, en appliquant la remarque précédente, calculer seulement les moments pour n hypothèses distinctes, et calculer ensuite les moments qui correspondent à l'hypothèse auxiliaire où la charge est partout égale k p-\-p\ Des soustractions donneront les moments pour les hypothèses complémentaires. Le nombre d'hypothèses distinctes est donc réduit à ti -f i.

Si la poutre est symétrique, le nombre d'hypothèses utiles est réduit à n + !• L'introduction de l'hypothèse auxiliaire p-\-p' permet de réduire encore ce nombre ; mais il y a lieu distinguer le cas de n impair, et le cas de n pair.

i* Si n est impair, le nombre n-j- 1 est pair, et les n+ i hypothèses sont complémentaires Tune de l'autre. Elles peuvent donc se réduire à moitié, pourvu qu'on ajoute l'hypothèse auxiliaire p+p'i

ce qui fait en tout — i-^ + i ou hypothèses distinctes.

2* Si n est pair, le nombre n + i est impair, et de ces w + i hypothèses il y en a une qui est symétrique de son hypothèse complémentaire ;. celle-ci ne peut donc pas être supprimée, car elle l'est déjà par la réduction due à la symétrie, de sorte que Ton ne peut réduire

à moitié que les n autres hypothèses ; il en reste donc — f- i dis-

tinctes, plus l'hypothèse auxiliaire p + /?', ce qui fait en tout - + a

hypothèses, ou —7-^.

Ces deux formules rentrent l'une dans l'autre en prenant pour le

nombre cherché le plus grand entier contenu dans , ou dans

En résumé, on trouve pour le nombre d'hypothèses à faire sur la distribution des surcharges les résultats suivants :

Poutres quelconques de n travées.

Nombre total d*hypothèses distinctes. .... â** — 1 »

Nombre d'hypothèses utiles 2n, (n>2).

Nombre réduit d'hypothèses utiles, en introduisant rhypothèse auxiliaire p + p'* • . . n + 1 « (n > S)*

Poutres symétriques de n travées.

Nombre total d'hypothèses distinctes 8*-* + 2 v * /— i.

Nombre d'hypothèses utiles n + i i (n > 2) ,

Nombre réduit d'hypothèses utiles en introduisant l'hypothèse auxiliaire p + p\ . , . « + E (rj, (n > 9).

Par exemple, une poutre de i o travées peut donner lieu à i oaS hypothèses distinctes, si elle est non symétrique, et à 627 si elle est symétrique. Ces nombreuses hypothèses peuvent être ramenées à 1 1 utiles dans le premier cas, et à 7 dans le second.

CONSTRUCTIOn OE l'ÉPURE DES MOMENTS FLÉCHISSANTS ET DES EFFORTS