II

Détermination des abscisses n et j dans toute la poutre.

208. Leséquations(5)et(ll)peuYentF'appliquer à tous les appuis intermédiaires. Valsant successivement dans ces équation?, ik=J, * = 2....ilf = «4-l, on obtiendra le tooleau suivant de 2«— 2 équations : dans les équatioits (6). nou« avona supprimé les neleorsp, qui sont égaox entre eux. De plus nous avons fait Mt=0 et »n=/«, puisque m extrémités libres de la poutre, posées sur les appuis, sont des pointa de nan-flexion,

f Équations (5).

^('i — ï'l) = MlVi,

(/,— i/,X/i— i;,) = w,i;j, ('s — «',)(/j— r,) = ir^t,^, «

Équations (11).

^-2y,-ttj4-

Le nombre des inconnuep, u et v, est de deux par chaque travée intermédiaire, et d'un seulement pour les travées de rive, dans Icsqufîlles on a tii = o et Vn = fn; II y a donc «n tout 2{n — 2) 4-2, ou 2w — 2 inconnues, nombre égal au nombre des équations (l2).

L.esdeux premières équations du tableau font connaître u, et v^ en fonction det'i; les deux suivantes donnent de même u^ et v^ en fonction de u^ et de v^, et, par suite, en fonction de V|. ft ainsi de suite Jusqu'aux deux dernières équations : l'une fait connaître Un en fonction de v^. L'autre doit se rqduirc à une identité, et fournit une équation qui fait connaître v^. Biais ces équations »oiit du second degré. Les valeàrs algébriques de u^4.| et r^^.| en fonction de Uk et de v^ sont donc compliquées de radicaux carrés» et le degré de l'équation finale monte de plus en plus, à mesure que le nombre n des travées est plus grand. Le problème ainsi envisagé n'est pas susceptible d'une solution algébrique générale. Il faut bien remarquer au^si que la méthode que nous avons Indiquée suppose expressément que les points d'inflexion G et D Font des points réels de la travée AD, de sorte qu'elle serait en défaut si les valeurs fournies pour uj^ et v^ étaient imaginaires, ou négatives, ou supérieures à la longueur /^ de la travée.

Une fois les u et les t; détermines pour chaque travée, on pourra connaître les moments et les elTorts tranchants sur chaqae appui par les équations (3), et tracer les paraboles des moments dans chaque travée au moyen de Téquation (1], où les coefficients sont déterminés.

Recherche de la section en chaque point de la portée, La valeur du moment d'inertie est donnée en chaque point par l'équation

Mt; ou bieq I = — , M étant pris en valeur absolue. R

La poutre étant supposée un double T de hauteur H constante^ a étant la largeur et h

Tépaisseur variable fes tables, on aura approximativement

et par suite

RHa*

L'épais^ur b^ en toute rigueur, devrait s'annuler aoi points d'inflexion pour ietqnels M:«0. B|d pratique, cette détermination n'est pas admissible ; car elle suppotèraft l'uniforinlté «baplue de la distribution des chargea, qm n*eat qu'une hypothèse trétrarement réalllée. Une inc^alité dans la distrlbutloi^dai lureliarges, en déplaçant les points d'inflexion, exigerait aux points C et D des sections capables d'une certaine résistance. On devra donc se contenter de réduire en ces points les épaisseurs 6, sans descendre aa-deasons d'une limite pratique convenable.

L.e8 équationa (9) font connailre les valeurs de tang cpi^ sur chaque appui. Ces valeurs, substituées dans (8), permettent de tracer les arcs paraboliques dont l'ensemble constitue la nouvelle forme de la fibre moyenne.

209. Appliquons cette théorie à la poutre à deux travées égales et également chargées.

A, A', A" étant les trois appuis également espacés^ on 4lra

i/j = Oj t'j = AD,

de sorte qu'en appelant / la longueur commune deikileux travées, on aura pour Téquatlon (5)

/(/ — t;i) = /tij, ou ti,4-t;i = /,

et pour l'équation (11],

équation qui se réduit à

tij— 2iit/+t;î=0; et, remplaçant u^ par /— V|, il vient en définitive

DE M. RENOUST DES ORGERIES. 379

La même théorie s'applique à la poutre d'égale résistance encastrée sur deux appuis A et B.

^ ç I) B ^*^ ^ ^^ moment d'encastrement sur les appuis A

•- • • • et B; soient C et D les points d'inflexion; on aura, en

▼ertu de l'équation (5), appliquée successivement aux Fig. 189. deux appuis,

ii=-^acxad=-Çbcxbd.

La symétrie exige qne AC=BD.

L'équation (9) doit donner tang<p = 0 au point A, et^ par conséquent,

Or et eofln