COORDONNÉES PARTICULIÈRES

Fig. 191 .

211. Cne courbe plane MN est définie de grandeur et de position,

à deux constantes près, par une relation entre son rayon de courbure, p =AG, en un point A ' quelconque, et l'angle 0 de la normale AH avec un axe OY, que l'on supposera vertical, par exemple.

Traçons dans le plan de la courbe MN deux axes rectangulaires OX, OY ; je dis que l'on peut déduire de l'équation donnée p = /* (9), l'équation de la courbe MN en coordonnées rectangles X, y.

Appelons, en effet, ds l'arc infiniment petit AA', pris sur la courbe ; nous aurons ds = pc^. Mais dx = t^cosO^,

et dy = ds sin 0 ; donc

dx = pcosOdO,

. dyspsinOdO;

d'où résulte, en intégrant,

x = Xo + JpcosOdO,

y = yo + 5 p sine de.

y^^ Ces intégrations introduisent deux constantes x^^ y^, qu'on pourra

oiterminer dans chaque cas particulier, connaissant un point de la % courbft et la valeur correspondante de l'angle 0. *'■' ^ 11 serait d'ailleurs facilede faire voir, par la simple géométrie, que

relation p = / (8) définit complètement la forme et la position de la ,-, courbe MN, pourvu qu'on donne un de ses points, et la direction de •-» lâ^ngente en ce point. ^

S, au contraire, on voulait passer ocs coordonnées rectangles x

et y aux coordonnées p et 0, on appliquerait les formules connues

du calcul différentiel :

tee = ^

^^ dx'

['-mi