RECHERCHE DE LA DÉFORMATION D*ONE PIÈCE COURBE

239. Les équations générales de la déformation sont an nombre de deux :

Le moment M est po«itif quand il tend à augmenter la courbure; la force P est positive qpand elle tend à raccourcir la flbre moyenne.

La première équation fait connaître les cliangements de courbure de la flbre moyenne produits par le moment fléchissant M; la seconde donne les raccourcissements produits par la compression P.

Les fonctions M et P contiennent, outre les forces données directement, les composantes et les moments de la réaction de l'un des appuis de la pièce. Les réactions des deux appuis sont généralement inconnues. On peut les décomposer en deux composantes, Tune Terticale et l'autre horizontale; chaque réaction sera déterminée par ses deux composantes, de sorte que le problème renferme quatre inconnues. Mais la statique établit entre ces quatre inconnues les trois équations de réquillbre extérieur, savoir: les deux équations des composantes et l'équation des moments, de sorte qu'oa peut en général exprimer trois inconnues en fonction de la quatrième. Les fonctions M et P renferment, en définitive, une force qui ne sera connue qu'à la fln du calcul.

Nous supposerons M et P exprimés en fonction de s, ou de tonte antre variable liée avec l'arc *.

Si la pièce était soumise à une variation de température, il faudrait modifier en conséquence la seconde équation^ et, au lieu de poser

ds — ds' = — — .

Eo> •

écrire l'éqoation

en appelant a le coefficient de dilatation et t la difTérenre de température. Dans tous les cas nous supposerons que M et le coefficient de ds dans le second membre de cette dernière équation sont des fonctions connues, F(«) e^. f{s), de l'arc s, ces fonctions contenant d'ailleurs explicitement la composante inconnue de l'une des réactions des appuis.

Pour simplifier la notation^ nous ferons usage de la caractéristique 6, empruntée au calcul des Tariations, pour exprimer d'une manière brève la différence entre les deux valeurs successives d'une même quantité quand la pièce passe de l'état naturel à l'état déformé. Soit u une quantité quelconque relative & l'état naturel de la pièce, u' la valeur que

prend cette quantité dans l'état déformé. Nous poserons, d'après cette notation,

tt' — u = 8m ;

Bu représentera une quantité finie, mais généralement très-petite, et dont on pourra négliger les puissances. La caractéristique S peut s'appliquer aux dilTérentielles comme aux quantité finies. On aura, par exemple,

Wtt = du' — du = d{u' — m) r= d8tf ,

équation qui montre qu'on peut permuter les deux caractéristiques d et 6. L'opération représentée par la nouyelle caractéristique est une sorte de dl£férentiation analogue à celle que Leibnitx appelait diffàrentiatio de curvâ in curvam; seulement nos 6 sont des quantités finies que nous proposons de calculer, tandis que les $ du calcul des variations sont des quantités auxiliaires InGniment petites, que la suite du calcul doit forcément éliminer, et dont la solution définitive du problème ne conserve plus aucune trace. Au lieu*des équations

ds — ds' =

Pds iiQ'

noQS poserons donc, en employant notre nouvelle notation, et en faisant

( Bds = --fls)ds.

De cette seconde équation on tire

àds = rfS* = — Mds,

puis, en intégrant , (2)

Bs=^S^f{s)ds,

l'intégrale étant prise depuis l'extrémité A de la pièce jusqu'au point M défini par une valeur particulière de l'arc s.

Soit 0 l'angle que fait la tangente BIT à la courbe au point M avec l'axe OX ; nous

Fig. 2i3.

aurons

e-Hdo

et, par suite, donc

P "^ ds'

p ds

Nous pouvons appliquer ici par approximalion les règles de la différentiation ; cela revient en effet à négliger des termea infiniment plus petits que ceux que l'on conserve; il viendra alors