DE LÀ DÉFORMATION. ' 43S

(^> '-p = 5ii = ^('^-

RésolTODS cette équation par rapport à 6c?6; il Tient •

W6 = d» = FMrf* + - W* = ( F(*) - - f{s)\ dt,

équation qui, intégrée entre les points A et M , nous donne

(4) 36 = ^FWrf*-^^A*)d*+P.

Nous ajoutons une constante h Qui représente l'angle dont tourne la section extrême autour de son point d'appui A par suite do la déformation. On peut donner une autre forme à Téquation (4). Reprenons l'équation précédente

dfi rfÔ8 = ¥is)ds -f -T- «dî, •

as

et intégrons sans remplacer Ms par sa yaleur déduite de la seconde équation (1); il viendra

88 = V F(s)ds + ^ ^ Wy.

Le second terme peut être intégré par parties :

ou bien, en feisant commencer les intégrales au point A, et en observant que as est nul en ce point,

(*» . , dB ^ fM^ rfe

(S) «• = P + !)lFWrf.+ ^,&-\^w-.

Toutes les intégrales indiquées pourront être prises le long de la fibre moyenne dans

son état naturel. On voit que la formule (5) se prête à une simplification lorsque Tare AB

d^ 1 db

est circulaire. On a alors, en eiTet, — - = - = constante. Donc d -;- = 0 , et le second

a* p ds

membre de l'équation (5) se réduit à

{bbis) W = p4-\ F(*)d*-.h-.

Dans cette équation (5), entre une nouvelle constante ^, qui, Jointe à la composante inconnue, porte à deux le nombre des quantités qui restent à déterminer. 240. Cherchons les variations &r et 6y des coordonnées des points de la fibre moyenne. Nous avons à la fois

W { etarcteng^ = e, car tange=^.

Différentions par 6 ces deux équations. Il vient

^'^ • \ dxMy—dyBdx = d^*^,

cette dernière étant multipliée par c/f*. Résolvons les équations (7) par rapport & ^dx et My, Nous aurons

dx Wx= -— Bds^dy^,

My^-^^ds + dx^.

Intégrons à partir du point A. Les premiers termes du second membre s'intègrent par parties :

dx fM dx C^

8»=-T-6* — \ Bsd \ rfwSe,

ds JA ds Ja

6y = ^ 6« - \^sd ^ + S^dxm.

ds .lA ds .\

dx du

On n'ajoute pas de constantes, puisque --r-^s et -p^ ^s s'annulent tous deux au

ds as

point A.

Le facteur Bs est connu par l'équation (2), $0 est donné par l'équation (5), et les équations (9) indiquent pour chaque point les composantes, 6a; et 6y, du déplacement subi par ce point ; tx ei By sont exprimés en fonction de la composante de la réactiou et de la constante p. On déterminera ces deux inconnues en exprimant que pour « =#1, longueur primitive de l'arc AB^ le $x et le 6y sont nuls à la fois, car l'appui B est supposé fixe. Cela fournira deux équations qui feront connaître ces inconnues.

Si la pièce était encastrée en A, on aurait une Inconnue de plus^ à savoir, le moment d'encastrement en ce point. Mais la constante p serait alors nulle^ de sorte que le problème n'aurait pas un plus grand nombre d'inconnues.

Si elle était encastiée en A et en B, on aurait une inconnue de plus, le couple d'en« castrement en B; mais on aurait en même temps une relation de plus^ car 69 devrait être nul au point B.

Posons pour abréger

Les équations (9) prendront la forme très-simple

Les fonctions U et V vont se retrouver dans la détermination de certaines quantités qu'il peut être utile de connaître.