ENVELOPPE CYLINDRIQUE

Soit ABA'B' la fibre taoyenne de Tenveloppe ) nous suj^oseroDS

que le cylindre ait» perpendiculairemeùt au plan de la figurefi une longeur égale à Funité. Menons par le centre 0 de l'ellipse les axes A'A, Bff.

.Soit p la pression nette qui s'exerot intérieurement au vase» c'est-àrdire Fezces de la pression intérieure sur la pression extérieure.

-à^-'r Golipoiis le vase par le plao AA'; les résultantes des forces élastiques développées dans chacune des deux sections A et^A' font équilibre à la résultante des pressions exercées sur tout le périmètre intérieur de PeHipse ; ^r cette Fésûltante est aussi la résultante des pressions exercées aqr le diamètre AA', qui pris aVec^ Y sec A'BA, lusfaève de fermer le^^ootopr A'BA ; il f:ésulte de là, et de fat syniétrie d&'-la figuoe par mppôrt au plan AA\ que la somme des fi^^rces élastiques dévelbppées dans la section A est égale à pa, si l'on désigne ptf die demi grand axe OA. La résultante, d^dUeurs, ne pftsse pas D'éé^iiairement an point A lui-même ; appelons k la distance du point A à son point d'application G. Nous compterons' la distance k positivement de A vers 0, négativement en sens contiaire. On voU que les actions moléculaires développées au sommet A de l'ellipse se réduisent en définitive à une force appliquée en A, perpendiculairement à AA\ et à un couple, dont le moment est égal au |1i*oduit de cette force par la distance AC.

Considérons une section transversale M, et cherchons le moment fléchissant qui s'exerce dans cette section.

Soient a:, y les coordonnées du point M. La somme des moments des pressions exercées de A en M est égale à la somme des moments des pressions exercées sur les deux droites PM, PA qui forment avec Tare AM un contour fermé; il y a de plus à tenir compte du moment, par rapport à M, de la réaction mutuelle des deux parties de Tenveloppe qui se réunissent au point A. Le moment de la force iw, appliquée en G, est positif, puisque cette force tend à augmenter la courbure de Tare au point M -, les moments des pressions élémen-

A PROFIl^ FAIBLEMENT ELLIPTIQUE. 465

laires réparties le long de MA, ou réparties le long des droites MP,

' PA, tendent à redresser l'arc tl sont négatifs. Nous aurons donc

OU bien

M=:paxPC — ipxMP' — ^px PA'

M =pa X (a^x^ k) - |p[y« + (a— ac)*].

Si l'on fait dans cette équation ilTiem

M = — pak^

de sorte que pak est la valeur changée de signe du moment fléchis* sant au point A ; appelons ce moment Mo , et nous aurons

lf = M. + pa(a-:r)^lp(a~rr)«-|pif« = Mo4-5P(a«-««-y«),

On peut chasser y de cette équation au moyen de l'équation de Tellipse ,

où b désigné le demi petit axe OB.

On en déduit

Substituant et réduisant, il viendra

Dans cette équation, on ne connaît pas encore Mo; pour !e déterminer considérons Tare AB comme une pièce courbe, soumise en chacun de ses points au moment fléchissant M.

U$ ENVELOPPE GYLINDRIOUB

La loi de déformation de l'arc sera exprimée par Téquation

.-.=st+^

où E désigne le coefficient d'élasticité, I le moment d'inertie, ds l'élément de l'arc, p une constante [§ 2i4i éq. (3)]. Prenons l'intégrale entre les points A et B, et observons qu'en ces points extrêmes, la déviation angulaire des normales est nulle à cause de la double symétrie de la figure ; on en conclut

p = 0 et Ç'"'M(I* = 0.

Cette équation achève de déterminer le moment inconnu &Io. Nous avons donc l'équation

La première intégrale représente la longueur S de l'arc AB, qu'on peut supposer connue.

La seconde se décompose en deux termes, dont le premier est

le second.

il>(a«-6«)xS;

— ôP

peut s'obtenir approximativement lorsque l'excentricité de Tellipse

est très-petite. En effet, / x^ds est la somme des moments d'inertie

de l'arc AB par rapport i l'axe des y. Si cet arc AB appartenait à une circonférence de rayon égal à a, on aurait

Lorsque les demi-axes a et b sont peu différents l'un de l'autre.