EMPLOI DUN POLYGONE

Kg. «57.

288. On pourra représenter de cette façon les poids qui agisaefll sur la demi-voûte par des droites finies, verticales, passant par te centres de gravité de chaque surface partielle* On cherchera alm la résultante de tous ces poids. Le théorème des momeots pennet de calculer la position de cette résultante ; mais on peut la trooiv exclusivement au moyen de constructions graphiques.

Soient Tf, T,, T,, T^ les positions de quatre forces données, ^'il s'agit de composer.

Considérons la force T^ comme appliquée en un point déterminé H, de sa direction, et ^pliquons en ce point une force quel*

conque U, faisant un certain angle avec T^. Le parallélogramme construit sur les forces Tj et U donnera la résultante V, de ces deux forces : prolongeons la direction de cette résultante jusqu'au point H,, où elle rencontre la direction de la force T, ; composons V^ et T,t ce qui nous donnera la direction et l'intensité de la résultante V, ; transportons de même le point d'application de la force V, en H, sur la direction de T, ; composons V, et T,, ce qui nous donnera V„ que nous composerons en H^ avec T^ pour avoir V^, Cette construction peut être prolongée aussi loin qu'on voudra; on parviendra toujours à déterminer une force V^ iclle, que le système formé par toutes les forces T,, T,, T,, T^, par la force M et la force — V^, soit en équilibre. Car — V^ est égale et contraire à la résultante V^ de toutes les autres forces. Donc la résultante des forces U et — V^ est égale et contraire à la résultante des forces T^, T,, T3, T^, et si l'on prolonge les directions de U et V^, ces deux droites se couperont en un point 0^, qui appartiendra à la direction de la résultante cherchée.

On prouverait de même que le point de rencontre, 0,, de U et V, ap-

FUNICUUIRE. 587

paztieiit à la résultaDte des forces T, et T,, et que le point 0, où se rencontreot les directions de U etV,, est un point de la résultante des forces T„ T,, T,. Cette construction revient à considérer l'équilibre d'un polygone funiculaire UH, H, H, H, (—V,) sollicité par des forces T„ T„ T,, T^, et par deux forces U et — V^, appliquées suiiant * les directions des côtés extrêmes. La construction du polygone auxiliaire de Varignon simplifiera le tracé du polygone funiculaire,

289. Une fois tous ces travaux préparatoires effectués, on mènera par la point R une horizontale indéfinie RX, qui sera la direcp^ jB, ' tion attribuée k la poussée k

la clef; on vient de déterminer en grandeur et en position la résultante OZ des forces extérieures appliquées à la demi-voAte. Les deux droites RX, OZ, se coupent en un point K; on joindra KS, et prenant sur EZ une longueur KL, égale à OZ, on achèvera le rectangle KLMN, dont KM est la diagonale. Le cAt6 KN représentera la poussée à la clef, et la diagonale RM, la réaction sur le plan des naissances. On achèvera ensuite la construction, en composant la force RN avec la force H,T,, appliquée au premier élément; puis la résultante avec la force H,T,, appliquée au second, ce qui revient à composer la poussée KN avec la résultante des forces T, et T,, dont le point d'application 0, est connu par le tracé du polygone funiculùre. On passera ensuite au troisième élément P, Q, Q, E, et, pour avoir la réaction dans le plan EQ„ U suffira de même de composer la poussée RN avec la résultante des forces T, , T,, T, , laquelle est appliquée au point 0,.

Lorsque le polygone des pressions est ùnsi tracé dans la voûte, on pent vérifier si les trois conditions de l'équilibre stable sont satisfûtes; il faut, comme nous l'avons vn, que la courbe soit entièrement contenue dans l'épiusseur de la voûte proprement dite, c'està-dire qu'elle ne sorte pas de ta surface ABCDE ; U faut de plus que