APPAREIL DES VOUTES BIAISES

305. Nous ne nous arrêterons pas à l'ancienne solution connue sous le nom de biais passée qui s'appliquait à des arches de faible longueur, et qui leur donnait pour intrados une surface réglée particulière, dite corne de vache. Cette solution n'est plus employée.

Lorsque le biais est très- faible, de o» à lo" par exemple, on peut n'en tenir aucun compte, et appareiller la voûte comme si elle était

(I) Voir dans les Annales des ponts et chaussées, 185G, un article de M. Le Blanc, sur les conditions d'équilibre des arches biaises. — M. Le Blanc a construit depuis, sur la ligne de Rennes à itedon^ plusieurs ponts biais pour lesquels il n'a pas eu recours aux armatures en fer; on n'y constate aucune tendance au renversement ou à Técartement des angles aigus des culée.<; cette tendance devrait pourtant se manifester, quelque soin qu'on ait apporté à la coni^truction des voûtes, si la théorie do la poussée au vide était exacte dans le sens où onl'cntendcommuncment. Ce n'est donc pas sans raison que M. Le Blanc a pu dire qu'tV n*y a pas de poussée au viWtf, niant ainsi formellement le principe contestable qui sert d'axiome à cette théorie. Nous ajouterons qu'on trouve près de Nancy, à ta rencontre du chemin de fer de Paris à Strasbourg et du canal de la Marne aa Rhin, un pont d'un biais très-prononcé, construit par arceaux Hait en pierre de taille, reliés par île petites voûtes transversales en béton, et sans Intervention d'armatnres. M. Zeiller est l'auteur de cet ouvrage très-hardi, que la théorie ordinaire de la poussée au vide condamnerait d'une manière absolue.

SCO

droite. Les voussoirs dessinent sur l'intrados les joints continus sui* vaut les génératrices rectilignes du cylindre, et les joints discontinus smvant les arcs de section droite. Des voussoirs spéciaux forment les tètes.

Pour un biais quelconque, on peut toujours ramener Tappareil à Fig. SG3. celui des voûtes droites, soit en ajoutant à

la projection ABGD de la voûte deux triangles AD6, GBH, qui augmentent la longueur du berceau, soit en conservant les plans de tète AD, BG, mais en augmentant la portée de la voûte, par l'addition des triangles ABK, GDI à l'espace qu'elle recouvre. Gette dernière solution ne pourrait convenir aux voûtes d'une certaine longueur, si l'on cherchait à l'appliquer à cette longueur entière. Mais elle devient parfaitement admissible, si l'on

décompose la longueur donnée en un certain nombre de parties égales, et si l'on substitue dans chaque intervalle la voûte droite MNPQ à la portion correspondante RQSN de la voûte biaise. On appareillera comme voûtes droites ces arceaux échelonnés.

La simplicité des appareils qui conservent à la voûte biaise son intrados a fait renoncer à cet artifice de construction, auquel on pouvait reprocher d'augmenter démesurément la surface du parement vu des pierres.

Fig. Jfi;.

lV-

APPAREIL ORTHOGONAL (l).

306. Une voûte dont la projection horizontale est le parallélogramme ABGD est coupée par une série de plans infiniment voisins,

(1) Voy. Annales de» pont» et chauetée»^ 1839» article de M. Lefort.

mn, m^n^ , m^n^,.. . , parallèles aux plans des tètes. Nous nous propo* PU. 265. serons de déterminer le tracé d'un appareil tel,

que, considéré dans un anneau quelconque m^n^njn^ , cet appareil soit celui d'une voûte droite. Il faut et il suiBt pour cela : i* que les Joints discontinus dessinent sur l'intrados des courbes parallëlçs à la courbe de tête ; 20 que les éléments des joints continus coupent à angle droit les joints discontinus ; 5* que les faces des voussoirs entre deux plans m^n^^ mjfi^y consécutifs, soient normales à l'intrados. Donc, x"" les joints continus dessinés sur l'intrados ne sont autre chose que les trajectoires orthogonales des courbes parallèles aux têtes ;

9* Les joints discontinus sont des arcs de ces dernières courbes ; 3* Les faces des voussoirs sont des surfaces réglées engendrées par une droite qui se meut normalement à l'intrados en suivant le pourtour de la douelle de chaque voussoir (i). Le parement vu des voussoirs de tête fait seul exception à ce mode de génération.

ÉPURE DE l'appareil ORTHOGONAL.

307. Pour que la projection d'un anple droit sur un plan soit un angle droit, il faut et il suffit que l'un des côtés de l'angle soit parallèle au plan. Dans l'appareil orthogonal, les courbes de tête et

(1) Rigoureusement, il faudrait dire que les surfaces des Joints continus doivent être engendrées par une droite parallèle aux plans de tête, et perpendiculaire à la courbe de joint continu; car c'est ainsi qu'on définirait les plans de joints des voussoirs de la voûte droite infiniment mince substituée aux divers éléments de la voûte biaise. Mais on verra plus loin que la surface ainsi obtenue est tangente, tout le long d'un joint continu, à la surface engendrée par une droite mobile qui suit ce joint en restant normale à rintrados. On peut donc sans inconvénient substituer la seeonde surface à la première.

les sections parallèles à ces courbes sont rencontrées à angle droit par les courbes des joints continus. Il y a donc intérêt à prendre pour plan vertical de projection un plan parallèle aux tètes, car la projection sur ce plan des joints continus coupera à angle droit le^ projections des courbes parallèles aux tètes, ou des joins discontinus.

Soit c*\i!d! (pi. III) la projection verticale de la courbe de tète; cà est la trace horizontale ^u plan qui contient la tète; aCy bd sont, dans le plan horizontal, les génératrices des naissances.

On obtiendra la projection verticale e'\il^f d'une courbe quelconque parallèle à la tète, intersection du cylindre d*intrados par un plan vertical ef parallèle à crf, en faisant glisser de la quantité ce\ parallèlement à la ligne de terre, la courbe c'ix'cf . Les projections verticales des joints continus sont donc les trajectoires orthogonales des positions successives de la courbe cycT, donnée de grandeur et d'orientation, quand elle glisse le long de la ligne de terre xy.

La courbe d^d est en général une ellipse dont les axes sont connus; soit a le demi-axe suivant xy. et b le demi-axe perpendiculaire à cette direction; appelons m l'abscisse variable du centre ff de l'ellipse, x l'abscisse d'un point quelconque de l'ellipse, ces abscisses étant comptées à partir d'un point fixe pris sur la ligne de terre xy\ soit enfin y l'ordonnée du point de l'ellipse qui correi^pond à l'abscisse x\ l'équation générale de l'ellipse dans une quelconque de ses positions sera

Différentiant cette équation sans faire varier ;w, et éliminant ensuite m entre l'équation précédente et l'équation difl'érentielle qui s'en déduit, il vient pour équation commune à toutes les ellipses

6« W dx» "^ V ""

L'équation différentielle des trajectoires orthogonales s'obtient en

ORTHOGONAL. 553

remarquant qu'au point d'intersection d'une ellipse et d'une trajectoire, les deux courbes ont le même x et le même y, mais que le coefficient différentiel de l'une est égal à l'inverse du coefficient différentiel de l'autre changé de signe. Il suffit donc de changer

^ en — -T- dans l'équation précédente pour avoir l'équation cherchée :

L'intégration s'opère aisément et donne pour équation générale des trajectoires orthogonales

2x = C+ .yï^=]^*+l6 lognép. If^^.

, Dans cette équation, G est une constante arbitraire.

Toutes les courbes X'[aW représentées par cette dernière équation se composent de deux branches symétriques par rapport à la verticale qui leur est tangente à toutes deux en leur point le plus élevé, jx'. Elles ont un rebroussement en ce point, et ont pour asymptote commune la ligne de terre xtj. Elles sont toutes égales entre elles. L'équation donne Tune ou l'autre branche de la courbe suivant qu'on prend le radical positivement ou négativement.

Lorsque a = b, la tête de la voûte est une demi-circonférence; dans ce cas, la trajectoire orthogonale est une des développantes de la chaînette; c'est la courbe appelée tractrice^ dans laquelle la longueur de la tangente à la courbe, comprise entre le point de contact et la droite fixe xy, est constante. Cette longueur est en effet représentée, dans une courbe quelconque, par la fonction

y s/dx* H- dy« dy '

et l'équation différentielle des trajectoires orthogonales montre que

APl>AREIL

cette fonction se réduit à

quantité constante et égale à a lorsque a = b.

Après avoir tracé par points une de ces courbes, en faisant abstraction de la constante arbitraire, laquelle influe sur leur position et non sur leur grandeur, on pourra en découper un patron, et se servir de ce patron pour tracer sur Tépure toutes les projections verticales des joints continus.

La table qui suit donne les valeurs absolues du rapport -^

pour certaines valeurs particulières du rapport y, abstraction faite

de la constante.

Pour tracer la courbe en vraie grandeur à Taide de cette table, il

A* suflit de prendre b pour unité des hauteurs, et — pour unité des

bases.

. ax ± — =0,000

308. Les projections verticales une fois obtenues, on peut en déduire par des constructions graphiques les projections horizontales. Il suffit pour cela de déterminer les intersections du cylindre d'intrados avec les cylindres projetants conduits par les courbes tracées sur le plan vertical. Les projections horizontales sont aussi la reproduction d'une seule et même courbe, 'kif^^of^ qui a un centre, et par suite une inflexion, au point (x où elle rencontre la projection de la génératrice culminante de l'intrados, et qui a pour asymptotes les deux projections des naissances.

11 est nécessaire aussi de construire le développement du cylindre

ORTHOGONAL. 555

d'intrados et d'y tracer les joints continus ; les courbes de tètes se transforment en courbes sinusoïdales, rfMG, ôM,A, et les transformées des joints continus, AMn, sont les trajectoires orthogonales des positions successives de ces courbes lorsqu'elles glissent parallèlement aux génératrices droites du cylindre. Elles ont un centre et une inflexion sur la ligne médiane du développement de l'intrados, et sont asymptotes aux deux arêtes droites extrêmes de l'intrados développé.

Les joints discontinus se projettent horizontalement suivant des droites parallèles à la projection des têtes; verticalement, suivant des arcs appartenant aux diverses positions successives de la courbe ^[x'/' ; ils se transforment sur le développement en arcs de courbes

sinusoïdales.

309. Pour faire l'épure de l'appareil orthogonal, on commencera

par tracer la courbe de tête, et par construire le patron des projections verticales des joints continus. On en déduira le patron des

projections horizontales des mêmes joints, et ensuite, le patron des transformées de ces mêmes joints sur le développement. Alors on opérera la division des têtes en parties correspondantes aux différents voussoirs. Ce partage exige un certain tâtonnement, pour que les points de division sur les têtes se trouvent deux à deux, autant que possible, sur une même ligne de joint continu. Quand on est parvenu à assurer approximativement cette corrélation des deux partages, on trace les joints continus sur le plan vertical, sur le plan horizontal et sur le développement, en altérant un peu le tracé là où cela est nécessaire pour retomber rigoureusement sur les points de division préalablement fixés. Les joints discontinus seront ensuite tracés dans lestroisparties de l'épure, en se servant des courbes de tête pour patrons de ce nouveau tracé. Le tracé du développement de l'intrados donne la mesure exacte des dimensions des voussoirs, et fournit les panneaux de douelle de chacun d'eux.

310. Les faces de joint des voussoirs sont engendrées, avons-nous dit, par une droite mobile qui se déplace normalement à l'intrados en suivant les lignes de joints continus et de joints discontinus.

Il serait plus conforme à l'esprit du problème d'employer pour gêné-

ratrice des surfaces de joints continus une droite parallèle aux plans de tête et normale aux joints continus. Au point {m^w!) de l'intrados menons un plan tangent; ce plan sera parallèle aux génératrices du cylindre et contiendra de plus la tangente {mp^ m'p') à la courbe {ef^ é)^\f) qui passe par ce point sur la surface. II aura donc pour traces les droites/?/ sur le plan horizontal, et Iz* sur le plan vertical. La normale à l'intrados a pour projections mw, m'w', droites respectivement perpendiculaires aux traces du plan tangent, et elle a pour trace horizontale le point q. La droite normale à la courbe (e/i «'(*,'/*), menée dans le plan de cette courbe, a pour projections mp^ w!n\ et sa trace est le point r. Par le point (m,m') enfin, menons une tangente à la courbe de joint continu. Elle aura pour projection verticale la droite 7v!q\ et pour projection horizontale la droite mv, qui joint le point m à l'intersection v des traces horizontales du plan tangent/?/?' et du plan projetant m'q'q. Ces trois droites ont w!q' pour projection verticale commune ; elles sont donc dans un même plan, et par suite la surface engendrée par la normale au cylindre est tangente en m à la surface engendrée par la normale à l'ellipse menée parallèlement au plan de tête. La substitution de Tune de ces surfaces à l'autre est donc sans inconvénient au point de vue de la résistance. Les surfaces engendrées par une normale à l'intrados dont le pied suit les joints continus coupent les plans de tête suivant des courbes qui limitent le parement vu des Voussoirs de tête. Nous appellerons ces courbes joints de tête ou de parement. On les construira pour découper les panneaux de taille do ces voussoirs. Généralement elles auront une courbure assez faible pour qu'on puisse y substituer des lignes droites.

De la démonstration qui précède résulte que, dans t appareil

orthogonal^ le joint de parement rencontre la courbe de tête à angle droit. On peut le démontrer directement : le plan tangent P à la surface de joint continu,en un point M pris sur la tête, contient à la fois la tangente T menée à la trajectoire orthogonale, et la normale N élevée par le

ORTHOGONAL. io7

point M sur le plan tangent à l'intrados. Ces deux droites sont, par leur définition même^perpendiculaires à la courbe de tête au point M, et par suite le plan qui les contient est normal à cette courbe. Or le plan P contient aussi la tangente T au joint de parement J, qui est j^acé sur la surface de joint continu ; donc la courbe de tête est perpendiculaire au joint de parement qui passe par son pied dans ce plan.

311. L'épure de l'appareil orthogonal fournit les panneaux de douelle de chaque voussoir, et les panneaux de tête. On donnera facilement à l'aide d'une cerce la courbure de l'intrados aux panneaux de douelle; mais pour tailler les voussoirs de tête, il est nécessaire de déterminer, soit graphiquement, soit par le calcul, les angles formés par les joints de parement et les joints continus qui y font suite.

Le calcul de ces angles se fait très-simplement, en observant que j,,^ ,ç- le joint de tête MJ et le joint con-

tinu MJ' (fig. 266) tombant normalement sur la courbe de tête, l'angle qu'ils forment mesure l'angle dièdre compris entre le plan de tête et le u''^^:;f^ — '^"b^ ^^ plan langent à l'intrados au point M.

Menons par le point M (fig. 267) la générairice Ma de Fintrados; par le même point, une droite Mo horizontale dans le plan de tête, et enfin une droite Me tangente à la courbe de tête. iNous formons ainsi un angle trièdre, ayant pour sommet le point M,et pour faces les angles plans aMô, ôMc, cSla; l'angle àtILb est constant et égal au complément de l'angle du biais, que nous désignerons par p ; l'angle ôMc est l'angle formé par la tangente à la courbe de tête avec T horizontale; c'est un angle variable d'un point à l'autre de la courbe de tête,et donné par la formule générale

le pétant tiré de l'équation de l'ellipse AMB« rapportée à son

558 APPAREIL ORTHOGONAL.

centre 0 et à ses axes OB, OY. L'angle dièdre Mé est droit : car il est formé par la rencontre du plan vertical 6Mc, qui n'est autre que le plan de tèle, avec le plan aMd qui contient deux horizontales Ha et Mb. La question est donc ramenée à trouver l'angle dièdre Me, opposé à la face aUb^ connaissant la face a}llb=QO'' — p^ et la face AMc=<j;, et sachant que le dièdre compris entre ces deux faces est droit. La trigonométrie sphérique fait coonaltre l'angle dièdre Mc=(i> au moyen de la formule

cet p " sin4»

Dans toute la région comprise entre la clef et la naissance du côté de Tangle aigu de la culée, l'angle (o donné par cette formule est l'angle aigu du plan tangent à l'intrados avec le plan de tête ; dans la portion comprise entre la clef et la naissance du côté de l'angle £dgu, l'angle cherché est obtus, et l'on doit prendre tgiù négativement dans la formule ; ce qui revient à prendre ^ positivement, et à substituer aux valeurs trouvées pour w, comprises entre o* et 90% les valeurs supplémentaires 180* — w.

Dans une voflte droite P=o, et la formule donne constamment ci> = ()o''; le plan tangent à T intrados est partout perpendiculaire au plan de tête.

Dans une voûte biaise, ,8 n'est pas nul ; w est égal à go* pour tj; = o, c'est-à-dire à la clef. Puis w décroît à mesure que ^ augmente, et a pour limite l'angle 90" — fi, complément du biais, pour 41 = 90% c'est-à-dire aux points de la courbe de tête où la tangente est verticale. Le plan tangent à l'intrados fait do!)c avec le plan de tête un angle égal à 90* — P du côté de l'angle aigu des culées, et à 90*+^ du côté de l'angle obtus. Ce sont les limites extrêmes de cet angle.

L* appareil orthogonal est une solution entièrement rationnelle du problème des voûtes biaises, et s'il n'est pas universellement adopté par les constructeurs, c'est qu'il présente quelques difficultés de détail, savoir : la difficulté du tracé, qui se complique d'altérations et de balancements pour établir une correspondance entre les divisions des deux têtes ; la variété des voussoirs, qui sont tous différents les uns

APPAREIL HÉLICOÏDAL. o59

des autres, et dont la taille exige des panneaux spéciaux ; enfin le rapprochement des joints continus vers les naissances, d'où résulte la nécessité d'interrompre une ou plusieurs lignes de joint, pour substituer, par exemple, à trois cours de voussoirs deux cours,ou même un seul.

APPAREIL ORTHOGONAL GONTERGENT*

312. Cet appareil s'emploie pour raccorder une voûte biûse avec Pip. îes^ une voûte droite de même berceau. 11

consiste à prendre pour lignes de joints continus les trajectoires orthogonales, >7?/^^l=^-j non pas des sections faites parallèlement aux tètes, mais des sections faites dans l'intrados par des plans conduits par une verticale fixe 0, prise à une certaine distance de la voûte. On donne à ces divers plans toutes les orientations intermédiaires entre celle de la tète biaise et celle de la section droite. L'épure de la division de l'intrados se fait par tâtonnement au moyen du développement du cylindre d'intrados.

On peut aussi passer d'un appareil biais à un autre, ou à un appareil droit, en interrompant d'une manière brusque les deux appareils contigus par une chaîne de voussoirs particuliers, formant une harpe de raccordement; ces voussoirs présentent dans leur forme une brisure, et chaque partie est taillée à la demande de l'appareil auquel elle fait suite.