RÉPARTITION DES PRESSIONS DANS L'INTÉRIEUR DE LA CROUTE TEBRESTKE
I" Hypothèse sur la variation de densité des couches successives qui composent
le globe.
322. Nous développerons seulement l'hypothèse due àLegendre, et adoptée par Laplaoe dans le tome V de la Mécanique céleste.
Un point matériel extérieur à une couche sphérique homogène est attiré par cette couche comme si toute la masse était concentrée en son centre de figure. Un point inti'rieur à la couche n'est pas attiré. De cette loi très-simpte résulte qu'une sphère massive de rayon R, formée de couches concentriques de rayon x et de densité p, exerce sur un point extérieur de masse égale à l'unité, placé à la distance a du centre, une attraction égale k
dx
et sur un point de masse 1^ pris dans l'intérieur de la sphère à la distance r du centre, une attraction
(1) AT.fyJpx^dx
Le coefficient /représente l'aitraction de deux points de masse égale à l'unité, placri à Tunité de distance run do l'autre. Le nombre (p est l'accélcratlun due i l'attraction du globe, pour an point matériel placé à la distance r du centre, toutes les fois que
(I) Une théorie récente admet que le globe terrestre est entièrement refroidi delà surface au centre, et nie Texistence actuelle du noyau en fusion. On peut consulter sur ce sujet une conférence sur les volcans, par M. C Vogt, professeur à l'Université de Genève (Association fran<;ai£e pour le développement des sciences, congrès de Lyon, 21 août 1873).
r < R. L'équalion de l'hydrostatique (Uydr., $ 16, ( âge 25), lie à celte accélération 9 la variation dp des pressions subies par les dilTérentes coucbes successiTCs; on a en effet
(2) (ip= — p:^dt\
en mettant le signe — devant le second membre, parce que la pression p croit à mesure que le rayon r diminue.
L'hypothèse de Legendre et de Laplace consiste à établir entre p et p la relation
(3) ^=2Kp.
K étant une constante; ou bien, sous forme intégrale,
p' étant la densité de la matière formant Tintérleur du globe, soumise à une pression nulle.
De l'équation (2) on tire
et substituant à dp Ih valeur tirée de Téquation (3),
»Kprfp «/p
9 — — — Àh. — .
pdr dr
D*où résulte, pour déterminer p en fonction de r, l'équation
2ic/ Posonp, pour abréger -~ = n* quantité constante; il viendra
(5) >**</p= — n*{/r\ ^x^dx;
Il convient alors de changer de variable et de poser
[0 Pi = »'?.
On en déduit
L'équation (S) se transforme donc en celle-ci, (7 ) r f/p, — p4 dr + n* dr \ pa:* djc = 0,
ou bien
'-^* — Pj -1- n* Y 9^*dx = 0.
DifTérentions cette dernière équation, c'est-à-dire changeons-y r en r + dr, et cherehons la variation correspondante de pi. Il vient, en divisant par dr,
ou bien
ou encore, en supprimant le facteur r,
L'intégrale de cette équation est, avec deux constantes arbitraires A et B,
Pi = A sin nr-\-B cos nr,
t\, par suite,
A sin f2r+ B cos nr
La densité p ne peut être inflnie pour r = 0; donc B = 0, et il vient simplement
A sin nr
La densité moyenne du globe, po, s'obtiendra en divisant la somme des masses par le volume total, ce qui donne
4;t\ prVr \ A sin nrxf'rfr
La densité moyenne po est connue par Teipérience de Cavendlsh, qui lui attribuait la valeur 5,48. On a adopté généralement la valeur un peu plus forte 5,50.
Cette hypothèse a depuis été modiflée par M. Roche, qui exprime -J-- par la somme de
deux termes, proportionnels l'on à p, l'autre au carré de p. Cette nouvelle hypothèse conduit à une variation de densité entre une couche quelconque et le centre du globe, proportionnelle au carré du rayon de la couche. Soit p' la densité au centre du globe; la densité à la distance r sera donnée par la formule
et on aura
pour la densité au centre 10,5,
pour la densité à la surface 2,1,
la densité moyenne étant supposée de. . . . 5,5.
Cette théorie JustiAerait le poids spécifique de 2000 kilog. par mètre cube^ que nous avons adopté pour la croûte solide extérieure.
2* Répartition des pressions dans Vintérieur de la croûte, en tenant compte du poids
des couches dont elle se compose,
323. Nous coDtinaerons à supposer les couches sphériques, et sollicitées seulement par l'attraction du globe, sans tenir compte de l'aplatissemenr^ ni du mouvement de rotation et des forces centrifuges qu'il faudrait introduire pour compléter le problème.
Les formules du § 253 sont alors applicables, sauf que chaque couche sphérique subit l'action extérieure de son poids outre les pressions des couches Toisines.
Soit q le poids spécifique des matériaux composant la croûte» supposé constant dans l'épaisseur des 45 kilomètres. Nous aurons toujours pour une couche en particulier les ^nations
(3) Wr= — ffkfr-..
Mais l'équation (1) doTiendra^ en tenant compte du poids, ( 1 ) R X 2iwrfr =P X Ttr* — (/> + dp) (r + dr)*—q x lirhir =s — izdipr*) — itqr^r,
ou bien
1 d(pr») qr
2 rdr 2 Des équations (2) et (3) on tire
(4 ) R = -7T— , A étant une constante ;
«t l'on a, par conséquent, pour déterminer p en fonction de r, l'équation
2rdr "^ 2 ■^r«+*»'" *
ou bien
Intégrant, il Tient
ou
C qr , 2A
Appelons r^ et r^ le rayon interne et le rayon externe de la croûte, po ^^ Pi l0> pressions correspondantes ; il viendra^ pour déterminer A^ les équations
