Soient

R = OA le rayon moyen de la voùte^ c Tépaisseur nniforme CD.

Considérons Taniieau engendre' par la rotation autour de OZ de l'élément GDD'C Cet anneau est soumis aux forces suivantes : 1* Son poids. — Soit P le poids de Tanneau rapporté à l*nnité de longueur mesurée sur la circonférence décrite autour de OZ par le centre de isravité G de la section transversale CDD'C; Il étant le poids spécifique des matériaux et(«> la section CDD'C, on aura

P = Ilo).

2* Les réactions exercées par les anneaux supérieurs sur le joint CD; on peut supposer la résultante appliquée au milieu A du joint, et décomposer cette force en deux composantes , l'une horizontale N, et l'autre verticale V; ces forces seront rapportées à l'unité de longueur mesurée âur la circonférence décrite par le point A. 3" Les réactions exercées par les anneaux in- I férieurs sur le joint C'D\ réactions dont la ré-

sultante passe en 6 au milieu de ce joint, et s'y décompose de incmc en ilciix f(»rccs, V et N', qui diffèrent de V et de N de quantité? infiniment petites.

Désignons par p le rayon a A, par p' le rayon gG, et par p" le rayon ^B, des parallèles décrits par les trois points A, G, B; on aura, pour l'équilibre des composantes verticales,

V X 27rp -h P X 2itp'= V'X 27:p";

ou bien, en rcmpla(;aiit P par IIo), en supp/imant le facteur 2^:^ et en observant que Vp"— Vp est la diirorentielle du produit Vp,

(/ ( Vp) = riwp' = ITwp ;

nous confondons p' avec p, qui e:i diffère d'une quantité insensible.

f>oijr roqnillliro des composantes horizontales, coupons l'anneau par un plan conduit par l'axe. OZ, et .soit K la pression moyenne développée dans les deux sections ta par les composantes N rt N'. 11 viendra

ou bien

2Kw=N'x2p"-Nx2p, Ku)= f/(Np).

Knfln, considérons la portion d'anneau comprise entre deux plans méridiens faisant entre eux un angle infiniment petit ci?, et écrivons l'équation des moments des forces appliquées h cet élément, en prenant pour axe des moments la tangente au parallèle décrit par le point B.

Ces forces sont les poussées Npd?, Vprf^, N'p"^/'r, V'p'V/9, le poids PpV/?, entin les pressions K(o exercées sur les deux sections latérales. H est facile de reconnaitre que le poids Vp'th aina un moment infiniment petit iUi quatrième ordre, car PoV/ç es déjà un infiniment petit du troisième ordre, qu'il faudra encore multiplier par la dis-

tance infiniment petite de la droite GP aa point B. De même, les preaaions latérales Kfa>» qui sont du second ordre^ et qui doivent être projetées sur le plan de la figure seront multipliées par le cosinus d'un angle infiniment peu dlfléreot de l'angle droit' c'est-i-dire par un facteur infiniment petit; ensuite^ il faudra les multiplier par la distance de leur projection au point B, qui est encore infiniment petite. Donc tontes ces forces donnent des moments négligeables, et il ne reste plus dans T^uatlon des moments que les forces dues aux réactions mutuelles dans les Joints; on obtient ainsi l'équation

Nprf? X wB = Vpcfç X Bîw, ou encore

(3) V=:NX;5^=Ntange,

ce qui revient à dire que la réaction totale est normale au joint. Les trois équations (1) (3), et (3) résolvent le problème. Remplaçons-y

p par R sin 6, fa> par Kec/6.

Elles prennent la forme

c/(Vsine) = neRsinOde, c/(Nsin6j=:Kec/e, V = Ntange.

La première donne, en intégrant.

V sin 6 = DRe (co86o — cosO), on V

\ sine /'

% étant l*angle correspondant au Joint supérieur on s'arrête la voûte. La troisième fait connaître N :

fcosfin — cos6) cosO N=Vcote = nRe' ^ . ,' ^ ;

6in>6 et la seconde définit K :

c/(Nsin6)rf(Vco8

g^=nR Ip"""» -.^'^"""1 =nR (c.6- "" Vr')-

^/6L sine J \ sln«0 /

On remarquera que N = 0 pour e = Oq et pour e = 90^. La composante verticale V

est nulle pour ^ = %; si la voûte est fermée, elle est nulle pour 0= O; car la vraie

I — cosO valeur do — —r — est léro pour 0 = 0. sine *^

K varie entre IIR cosO^ pour 0 = 6^, lorsque % n'est pas nul, et — nRcosOo pour les naissances.

Dans cette hypothèse, l'anneau Inférieur résiste donc à l'extension produite par la poussée des anneaux supérieurs; ce qui justifierait l'emploi des frettes métalliques pour maintenir la partie inférieure de la voûte.

Si la voûte est fermée, la valenr de K au sonunet s'obtient en faisant e=0 etOo^O

dans la formule ; la vraie valeur que l'on obtient est 7 DR. On a, en effet, en faisant 60 = 0.

/ i__co9e\ /

;=i:R cose TTT — =TtRI cosO —

Ie« limites de 6 sont alors :

K = - fIR pour le sommet,

K =— nR pour le plan des naissances.

APPLICATION A LA VOUTE TERRESTRE (l).

321. Proposons-nous de calculer la pression R par unité de surface dans une voûte sphérique ayant une épaisseur uniforme e, trèspetite, et dont tous les points sont également attirés par le centre de la surface.

On peut assimiler cette voûte à une enveloppe sphérique soumise à une pression qui s'exercerait de dehors en dedans, et qui serait égale à l'attraction du centre de la sphère sur les éléments de la voûte (§ 2o8). Appelons/? l'attraction rapportée à l'unité de surface prise sur la surface sphérique moyenne dont nous représenterons le rayon par a. Nous aurons Téquation

Nous appliquerons cette formule à la voûte terrestre, supposée rigoureusement sphérique, et détachée de son noyau intérieur. Nous admettrons, pour simplifier le problème, que la pesanteur s'exerce d'une manière égale en tous les points de sa surface. La température s' accroissant à Tintérieur de la terre d'un degré centigrade pour 3o mètres de profondeur, on ne peut attribuer à la croûte solide du glol)e terrestre une épaisseur supérieure k l\h kilomètres, car il en résulte déjà pour les points situés à l'intérieur de Técorce une température de plus de i5oo degrés, suffisante pour maintenir à l'état liquide les matériaux dont elle est composée. Le rayon moyen de la voûte peut en définitive être pris égal à 6,54i,ooo mètres.

La densité moyenne du globe terrestre a été trouvée égale à 5,62 :

(1) Cette question a été traitée avec beaucoup plus de détails par Lamé dans loa §$ 88 et 80 de la Théorie mathématique de Vé/asticité,

mais la densité des corps à la surface de la terre étant beaucoup moindre, il est probable que la densité des couches successives croit de la surface au centre; cependant, sur l'étendue des 45 premiers kilomètres, les variations de la densité moyenne ne sont sans doute pas très-rapides, et nous pouvons prendre le nombre s pour densité moyenne de Técorce.

L'attraction exercée par la terre sur un point situé dans l'épaisseur du globe est proportionnelle à la distance de ce point au centre lorsqu'on suppose la densité constante. Mais le calcul direct montre que la diminution d'attraction est insensible pour des points appartenant à l'écorce solide, parce que le rapport des rayons de la surface interne et de la surface externe est très-peu différent de Tunité.

Nous calculerons donc Tattraclion p par unité de surface, en prenant le poids d'une colonne de 45iOoo mètres de hauteur, d'un mètre carré de base, pesant 2000 kilogrammes par mètre cube; il en résulte que p est égal à 90,000,000 de kilogrammes.

Donc R = 6,341,000,000 kilogrammes par mètre carré, ce qui équivaut à 634, 100 kilogrammes par centimètre carré (1).

Une telle pression est trois cents fois plus forte que celle qui suffit pour produire l'écrasement du basalte le plus résistant. La croûte terrestre n'est donc en équilibre qu'à la condition de reposer sur le noyau liquide formant la masse centrale du globe : elle est comme une voûte posée sur cintre. Si par un retrait de la masse liquide, ou par une diminution de la pression intérieure que cette

(I) Le résultat n*esl pas sensiblement modifié quand on adopte une autre épaisseurs, pourvo qu'elle soit toujours très-petite par rapport au rayon ci, condition sans laquelle (in ne pourrait plus appliquer la formule. On aura, en ellet, en laissant e arbitraire,

p = <? X 2000 ; et par suite

ce qui donne— kilogrammes {.ar centimètre carré. Les petites variations de TépaiEscure modifient très-peu la pression moyenne R. Ainsi e = 40000 mètres donnerait

masse exerce sur rintrados de la vo&te, la croûte se trouvait abandonnée à elle-même, une rupture s'y produirait, et le tassemeut du cintre serait immédiatement suivi d'une dislocation, puis d'un tassement égal dans la voûte. Sous l'influence des énormes pressons qu elle subit, l'enveloppe solide du noyau incandescent se comporte, au moins dans son ensemble, comme une enveloppe sans raideur, et par suite le noyau liquide, soumis comme TOcéan aux actions attractives du soleil et delalune, doit aussi communiquer incessamment ses propres déformations à l'enveloppe flexible dont il est entouré (i).