DES TERRES

La théorie que nous allons exposer est celle de Coulomb (i), complétée par Poncelet (a) et résumée par Bélanger dans ses cours et dans ses derniers ouvrages (5).

3'2(5. Cherchons d'abord à déterminer expérimentalement ces deux coefficients ^ et y. Pour cela nous traiterons les problèmes suivants, qui sont empruntés aux leçons de Navier sur la résistance des matériaux.

Nous supposerons qu'un massif de terre soit profilé suivant le Pjp 2-^ contour BAC ; la face AB appartient à un

plan horizontal indéfini. La face AC est un plan dont l'inclinaison est inconnue. On demande de déterminer la limite jusqu'à laquelle cette inclinaison peut être raidie sans compromettre l'équilibre du massif.

La hauteur verticale CD est donnée , et égale à h ; n est le poids de l'unité de volume de terre; / et Y sont les deux coefficients du frottement et de la cohésion; a est r angle inconnu de la face AC avec la verticale AD. Par l'horizontale projetée en*C, menons un plan quelconque CB, fsdsant. avec la verticale CD un angle ^; ce plan sépare, dans le massif de terre, un prisme triangulaire dont la base est ABC, et dont le poids P par unité de longueur est égal à

(1) P=|M*(igp-tg«).

Ce prisme est en équilibre sous Faction de son poids et des réactions développées dans le plan CB ; décomposons le poids P en deux composantes, l'une, N, normale, l'autre, F, parallèle à CB; la limite du frottement dans le plan CB sera le produit /N , et la cohé-

(1) Académie des sciences, Mémoires des savants étrangers, 177^

(?) Mémoriat de Vofficier du génie, I8f0.

(3) Dynamique des systèmes matériels (appendice), 18C6.

sion dans ce même plan sera égale à la surface CB multipliée par le coefficient y ; on la représentera par l'expression -*— §• ^ condition d'équilibre est donc :

ou bien, en remplaçant F par Pcos^, N par Psin^, et enfin P par sa valeur donnée par l'équation (i),

i n/i«(tgp-tg«) cosp = î/nA*(tg p-tga)5in p+ ^.

. Cette inégalité donne, en isolant le terme en tg a dans le premier

membre, et en divisant par - IIA*,

(cos p -/8in p) tg « = tg p (C08 p - /sin p) - g j^.

Le facteur cos p— /sin p est nécessairement positif. En effet /est la tangente de l'angle 7 du frottement; cos^ — /"sin^ a le même signe de cos p cos (p — sin p sin y ou que cos (P + y) , c'est-à-dire le signe +, si la somme p + ? ^^ moindre que go"". Or on ne peut donner à la variable p de valeurs supérieures au complément de l'angle 7 ; car pour des valeurs au-dessous de cette limite, l'équilibre du prisme sur le plan CB serait assuré par le frottement seul, et le glissement ne serait plus possible.

On peut donc diviser l'inégalité par cos p— /sin p sans en changer le sens, et il vient

(2) *««>*«?-£ C08'P(i-/tgP)'

Cette relation nous montre qu'une quantité constante^ tg a, doit être égale ou supérieure à une certaine fonction de la variable ?♦ pour toutes les valeurs de p comprises entre a et 90* — f . La plus

D'UN PRISMi: DE TERRE. 589

petite valeur admissible pour a est donc celle qui rend tg a égal au uiaximum du second membre pris par rapport à la variable p. Cherchons ce maximum. Pour cela, posons ( i )

l-/tgp = «»

ou bien

La fonction à rendre maximum devient alors

4 — x 1 /« + (i^g|* f ap X

en appelant a la quantité constante — . Opérons les réductions, il viendra la fonction

Le maximum de cette expression correspond au minimum de la

somme (i + ^f)^ H — -^-^ des ternies variables, et, comme lepro-

duit des deux parties de cette dernière somme est constant et égal à ( I + «/) X ( 1 + /*) , le minimum correspond à la valeur de x pour laquelle les deux parties sont égales, c'est-à-dire à la valeur

Vi + q/-

Substituant cette valeur de x dans la relation (s), il vient pour le minimum de tg a

(1} M. Bresse, Ritistance des matériaux, 2* édition, p. 406*

Si le plan AC a cette inclinaison, on dira que le massif AGB esta la limite de stabilité correspondante à sa hauteur h.

Cette valeur tg a est une fonction de h. Il existe une certaine valeur de h pour laquelle a = o , alors la terre peut se tenir à pic ; pour une valeur moindre de h, tg a serait négatif; mais ce résultat n'est pas ad- Fig. 27r.. missible, car si la terre était profilée suivant l'an-

gle aigu BAC, un prisme CAB pourrait se détacher sans glisser sur la face CB, et la cohésion qui le retiendrait serait une sorte de cohésion normale à la surface CB, et non une cohésion tangcntielle^ comme le suppose l'analyse du proc blême. Les lois de cette cohésion sont différentes

de celles que nous avons prévues, et les formules ne sont plus applicables.

Pour A = 00, Téquation (3) devient simplement tga=: -7. L'inclinaison-limite est alors celle du talus naturel. La cohésion, qui est proportionnelle à la longueur CB, disparaît devant le frottement, qui est proportionnel à la surface CBA. La cohésion peut donc êtxe négligée devant le frottement lorsque la hauteur h devient suffisamment grande.

L'angle a peut varier entre o et gô* — cp; il est nul pour la valeur particulière de h qui annule le second membre de l'équation (3), c'est-à-dire pour

Telle est la plus grande hauteur sur laquelle les terres puissent se tenir à pic.

Au moyen de ces formules, on a déterminé, par une série d'observations portant sur les hauteurs A, les valeurs des coefficients /et y.

Pour les terres, le coefficient / varie de 0.60 (sable fin et sec) à 1.43 (sol le plus dense), et est en moyenne voisin de l'unité; l'angle y varie dans les mêmes circonstances de 3i'' à 55% et est en moyenne voisin de 45".

Le coefficient y est plus difficile à connaîlre avec précision : d'après

INFLUENCE DES INTEMPÉRIES- -^^t

les observations de Navier sur la hauteur-limite que peuvent conserver des terres coupées à pic, on peut admettre que, pour une terre franche peu cohérente, le coefficient y est égal à i48 kilogr. par mètre carré; pour la même terre, /= 1.07; pour une terre très-forte, y = 662 kilogr. par mètre carré, et /= i.43.

Le poids des terres par mètre cube varie de 1 400 kil. à 1 goo kil.

327. Navier observe aussi que, lorsqu'un massif de terre est exposé à Taîr et qu'il subit tous les changements de température, les alternatives de sécheresse et d'humidité, les gelées, les pluies , sa surface extérieure tend à prendre avec le temps les inclinaisons qu'elle aurait

prises si la cohésion n'eût pas existé. Les parties voisines de la surface sont retenues par la cohésion seule, et comme la cohésion est variable avec les intempéries , ces parties se détachent au moment où la cohésion a sa plus faible valeur. Petit h pelit, le massif revient à la forme d'équilibre qu'il aurait reçue si la cohésion n'était pas intervenue d'une manière accidentelle.

La cohésion étant mal connue, on la négligera dans les problèmes sur la poussée des terres, et l'on n'y admettra que le frottement. La cohésion n'est considérée, à ce point de vue, que comme produisant un surcroit de stabilité, sur lequel il ne serait pas prudent de compter d'une manière absolue.

828. Problème. ; — Un massif de terre d'une nature déterminée et terminé à un plan horizontal AC, peut se tenir à pic sur une hauteur A' = AB. On demande de tracer la courbe BM du profil inférieur au point B, de manière que le massif soit en tous les points de ce profil à la limite de stabilité.

Considérons un point M du profil cherché. Abaissons la perpendiculaire MD sur AG ; soient DM = y et AD = a? , et proposons-nous de chercher la relation entre x et y.

Par le point M menons une droite I ME telle, que Taire retranchée au profil MBA soit égale à l'aire ajoutée. Menons en outre un plan quelconque MC ; relativement au glisse-

ment du massif sur ce plan, tout se passera comme si le profil ABH était remplacé par le profil rectiligne ME.

Appelant donc a l'angle DME, nous pourrons poser, comme dans te paragraphe précédent,

équation qui est celle de la courbe cherchée dans un système parti* culier de coordonnées, y et a.

11 s'agit de revenir de ces coordonnées particulières, a et y, aux coordonnées ordinaires, x et y.

On y parvient de la manière suivante.

L'aire du triangle DME est égale à - y'tanga.

Prenons sur la courbe un point M' infîniment voisin ; à ce point correspondra un accroissement de Taire de la courbe cherchée égal à la surface DD'M'AI, ou à ydx; donc

ydx = d f g î^Mg «j = y tgody + ^2/»d(tSft),

OU bien

(fx = tgady + jt/d(tga).

Mai^ l'équation de condition nous donne pour tga une fonction connue de y. Posons, pour abréger,

tga = (p(y).

On en déduit

d(tg a) = (?'{y)dy,

et par suite, l'équation diflérentielle de la courbe cherchée CGt

àx = ^(y)dy + - y^'(y)dy.

Oette équation peut s'intégrer par une seule quadrature.