SIMILITUDE

complète ; elle a des lois plus compliquées que la vraie similitude dont Newton a autrefois posé le principe ; cela tient à ce que les forces qui s'introduisent dans les équations des poutres vibrantes se partagent en deux classes : les forces extérieures, telles que les poids et les réactions des appuis, qui peuvent être augmeiitées ou diminuées dans un rapport arbitraire, et les forces élastiques, dont les expressions contiennent des facteurs dépendants des déformations des pièces, et dont le coefficient d'altération est par suite lié avec le rapport d'amplification des dimensions linéaires. Les conditions de similitude étaient donc plus difficiles à démêler dans l'analyse d'un tel problème qu'elles ne le sont pour les questions ordinaires de la mécanique rationnelle. ^

Le mémoire de M. Phillips conduit à déterminer les rapports de réduction dont il faut aifecter les dimensions linéaires, les masses, les forces, le temps, de telle sorte qu'on peut aujourd'hui faire en petit une expérience reproduisant avec exactitude toutes les circonstances qu'on aurait pu observer dans une expérience à grande échelle. Ce résultat est d'autant plus précieux que, pris dans toute sa généralité, le problème des vibrations des poutres sous l'action dé charges roulantes surpasse les forces de l'analyse. Au lieu de chercher à intégrer des équations qui se présentent en général sous une forme extrêmement rebelle, on pourra chercher expérimentalement les lois du problème ramené à une échelle assez petite pour que l'expérience soit facile et peu coûteuse; puis on appliquera la méthode de la similitude, et Ton saura comment il faut généraliser les résultats obtenus pour les appliquer à une échelle aussi grande qu'on voudra ( i ) .

(1) Voir aussi Comptes vendus de l'Académie des sciences. Il janvier 1869. Mémoire de M. Phiilip» Sur VéquiUbre des solides élastiques semblables. Pour (aire en peUt les expériences sur la résistance des poutres, il est assez diincile, en praUque, de faire varier les forces dans le rapport convenai^le, d'autant p!ùs que le poids du modèle est une force déterminée, qu'on ne peut modiner arbitrairement pour la ramener à la grandeur que demande l'expérience. M. Piiillips évite ceUe diOiculté en attachant la poutre, placée verticalement, à un arbre sufllsammeiit éloigné, auquel il imprime une vitesse angulaire arbitraire. « En faisant ainsi Intervenir la force centrifuge, on peut faire en sorte que « pour le modèle la force agissant sur toute la masse, et rapportée à Tunité de masse, « soit très-supérieure à la pesanteur, et soit égale à la valeur qu'on veut lui donner. •

La commission anglaise de 1847 ^^ possédait pas cette notion, et les récherches de M. Slokes faisaient plutôt pressentir l'existence d'une loi générale qu'elles ne formulaient cette loi d'une manière précise. Aussi les conclusions prises à cette époque étaient elles de nature à inspirer, au sujet de la stabilité des ponts métalliques, des craintes que les travaux plus récents, et mieux encore les expériences journalières de l'exploitation des chemins de fer, n'ont pas justifiées. Dans toutes les expériences de la comniission, on a atteint sans difficulté les vitesses assez grandes pour produire la rupture des poutreà soumises aux observations. On sait très-bien aujourd'hui que, lorsque les poutres d'un pont métallique sont suflisamment raides, le passage des trains à grande vitesse ne peut y produire aucun effet fâcheux, et que les excès de pression et de ten ion développées par les charges mobiles sont d'autant plus petits que la portée et la hauteur de la poutre sont plus grandes.

429. Le problème des poutres vibrantes sous l'action d'une charge mobile se met en équation en appliquant les principes qui servent au cas où la charge est fixe. Mais les équations que Ton obtient sont plus compliquées. On suppose qu'une charge, dont le poids est connu, s'avance sur la poutre avec une vitesse constante donnée ; cette charge peut d'ailleurs être supposée concentrée en un seul point (hypothèse de M. Stokes et de M. Phillips), ou répartie uniformément sur une portion de poutre aboutissant à un appui, à la façon d'un train qui s'avance sur le tablier d'un pont (hypothèse faite par M. Renaudot, dans un mémoire inséré en 1861 aux Annales des ponts et chaussées). Les équations aux dérivées partielles obtenues dans les deux cas ne peuvent s'intégrer sous forme finie. On peut les intégrer par les séries, soit en employant le développement en sinus des multiples d'un arc proportionnel à l'abscisse, soit en employant le développement suivant les puissances mêmes de Tabscisse- La première méthode est celle que nous avons suivie pour le cas d'une charge fixe; mais si on l'adoptait pour les charges mobiles, on ne pourrait pas déterminer les constantes arbitraires, ni compléter la solution, par le procédé dont nous avons fait usage. Aussi la seconde méthode est-elle préférable, d'autant plus que.