DÉFORMATION DU SOLIDE

lide, et T le raccourcissement RR' de la fibre RL. Mais R est une fonction linéaire connue de :r et de y : mettant pour R sa valeur Aa? + By + G et résolvant par rapport à /, il vient

d'où Ton déduit

Cette équation représente un plan, lieu géométrique des points R'; de soile que le plan A,Bp dans Tétat naturel, vient, dans l'état déformé, occuper une nouvelle position A/B/ que notre calcul nous permet de déterminer. La déformation de la tranche ABA^B, est donc connue.

Opérons de même pour chacune des tranches infiniment minces dans lesquelles on peut décomposer le solide MN. Nous pourrons par notre méthode déterminer la déformation de chacune d'elles, et il suffira de concevoir qu'on empile dans leur ordre les tranches déformées pour obtenir le solide après la déformation. La quantité L, qui mesure la distance des deux plans très-voisins AB, A'B', devra être remplacée dans le calcul rigoureux par une différentielle, et l'empilement des tranches infiniment minces se fera sans erreur au moyen d'une intégration.

On remarquera que, conformément à ce que nous avons dit dans le § 23, le. coefficient élastique intervient dans la recherche de la déformation, et non dans la recherche de la répartition des pressions.

Le calcul précédent, et l'hypothôse du § 32 qui lui sert de base^ supposent que le coefficient d'élasticité E est le même en tous les points de la section donnée. S'il en était autrement, la déformation dépendrait des diverses valeurs du coefficient d'élasticité de chaque ûbre, et il conviendrait de modifier lliypothèse fondamentale. On admettrait, dans ce cas, que les molécules appartenant dans l'état actuel à un plan ABquelconque, restent encore dans un plan après la.déformation. Le calcul s'achève alors de la manière suivante.

Soit E le coefficient d'élasticité, variable d'un point A l'autise, et connu en fonction de X et de ^ ;

R la pression locale par unité de surface ;

L rititervalle primitif des deux plans parallèles Afi, kfi^'t

l le raccourcissement de la flbre soumise à la pression R ;

PRESSIOiN SUR UNE BASE RECTANGULAIRE. 5S

: l'ordonnée LR' = L — / du plan A'|B'| par rapport au plan AU. On aura k la fois

R=:Ei,

2 = Mx -f Ny -h Q, M, N, Q désignant des constantes qui restent à déterminer. On ou déduit

Les équations de l'équilibre seront encore

P = ^[Mf^dy, ■• ■»•

Ces trois équations, où Ton devra remplacer R par sa valeur (1), permettront de déterminer les trois inconnues M, N^ Q; le facteur variable E reste sous le signe {[.

Cette recherche n'a qu'on intérêt théorique. Il est impossible de connaître à priori la répartition de réiasticitc entre les diverses régions de la section AB^ et d'un autre eôté, il y aurait de graves inconvénients pratiques à unir ensemble des flbres solides d'élasticités différentes. Un tel assemblage est toujours défectueux.