I - — }- Nous traiterons la question pour la

j^' région comprise dans langle des par* ~ 1 ^ ties positives des axes ; la solution obte-

. i^^ J . nue pour cette région devra ensuite

! être symétriquement reproduite dans les u trois régions voisines.

X, et \\ étant positifs, il est facile de voir que le poiiil lé ' plus pressé est toujours le sommet A, dont les coordonnées sont x = a^y=b, lorsque le point d'application de la force P est dans l'angle YOX; que tous les points de l'arête AB subissent l'effort maximum si la force P est appliquée sur le côté OX de cet angle ; qu'il en est de même de tous les points de l'arête AD si la force? est appliquée sur le côté OY. Dans tous les cas, il n'y a aucun point de la section qui soit plus pressé que le point A. Nous ferons donc x = af y = by dans la formule générale

où il convient aussi de substituer —à p^ et— à p,. Il vient après ces substitutions

RECHERCHE DU NOYAU CENTRAL. ^o

Dana cette équation, R est une constante, et P, Xjt Y, sont des variables : on peut considérer P comme Tordon^^tj^, ifiormale au plan de la section, d'un point dont les coordonnées wgpt X^ et Y^. Le lieu des points ainsi obtenus est une surfape cyUoârique du second degré, dont les génératrices sont parallèles à la droite.

— i + -Y-* + 4 = constante,

ou à la droite ¥X qui joint les milieux des côtés du rectangle abou- Uasaot au point A.

Les plans normaux menés par les axes OX, OY, coupent ce cylindre suivant deux hyperboles : l'une d'elles, celle qui est contenue dans le plan OX, est représentée en LNN suàla figure. Elle est asymptote à la droite E'E'', menée par le point K, tiers de la médiane, perpendiculairement au plan de la section ; elle est asymptote à l'axe OX ; enfin j au point 0 elle a pour ordonnée P=Rû, et au point X,

P=^Rû. On obtiendrait;;;^!!!^ sl^on analogue dans le plan 0 Y.

^^'uBc quelconque de ces deux hypi^;lrtes peut servir de directrice à fïik^roiie mobile qui engendre la snzface cylindrique en restant i parallèle à XY.

l|;){iortion de la surface comprise dans le dièdre formé par les It^SViaux OX^lBi^ répond seule au problème. Elle doit être

rl^MHc symétriquMlMtaf^dans les dièdres adjacents et dans le dièdre opp^ par Tarête.

RECHEaCHES DES POSITIONS DE LA FORCE P QUI DONNENT EN TOUT POINT DE LA SECTION UNE PRESSION POSITIVE.

Méthode générale.

&5. La pression est donnée en un point :zr et i/ par l'équation

lO

R = Aa5 -f By + C.

Si Ton fait U = o, on a l'équation, Ax + By + C = o, de la droite qui sépare la région où R est positif de celle où R est négatif. A, B, G sont des fonctions àes coordonnées X, et Y, du point de passage de la force P. Suivant la position de ce point, la droite Ax + By + C = o peut être extérieure à la section, toucher le contour de la section sans y pénétrer, ou enfin, traverser la section. Dans le premier cas, toutes les pressions R seront positives; dans le troisième, il y aura des pressions négatives ; le second cas est un cas limite entre les deux autres, celui où il y a au moins un point de la section pour lequel la pression est nulle, sans que la pression soit négative nulle part. Supposons que le contour GH de la section soit de forme

convexe. Menons arbitrairement une droite MN qui ait au moins un point L commun avec le contour sans y pénétrer. Nous regarderons cette droite comme la droite de Téquation

Ax -f By + C = 0,

ce qui déterminera les rapports de coefficients A , B et G. Ges rapports définissent complètement les coordonnées X,, T^ du point d'application de la force P. A chaque droite MN correspond donc dans la section un point G. Faisons rouler la droite MN autour du contour GH, sans la laisser jamais pénétrer dans son intérieur. Le point correspondant G se déplacera en général, et tracera dans la section un contour G'ir, dont la forme dépend de la forme du contour GH. Si la force P passe en un point G du périmètre de ce nouveau contour, la droite MN des pressions nulles touchera le contoui* de la section sans l'entamer, et aucune pression ne sera négative. Si la force P perce le plan de la section en un point D intérieur au contour G' H', la droite MN qui y correspond sera tout entière en dehors de la