DE M. BAZIN (D'ANGERS

bi la section da tabe, constante en tous ses points ; n ~ le poids de l'an ité de Tolu m 6 d'eau; n'>II le poids de Tanité de volume du soi formant le fond MM'; P le poids d'eau débité dans l'unité de temps par le tube CD ; Q le poids des matières solides entraînées dans le même temps par le courant; ces quantités doivent être regardées comme constantes une fois îe régime établi. Enfin, soit v la vitesse du courant liquide au point D, et dans tonte section du tuyau CD.

On se tromperait gravement si l'on voulait calculer la vitesse v par la formule de Bernoalliy même en supposant négligeable le frottement dans le tuyau. La formule de Bemoulli suppose en effet constante la densité des filets liquides; or ici le liquide qui sort en P a une densité plus grande que le liquide extérieur, puisqu'il 8*est chargé de matières étrangères à son passage en G. Nous pouvons reprendre la démonstration ordinaire du théorème BernouIIi, en la modifiant d'après les conditions spéciales du nouveau problème que nous avons à traiter. Considérons donc au sein do liquide une section plane arbitraire LL', qui sera supposée alimenter le courant du tube; soit G son centre de gravité, et z sa cote au-dessus du plan MM'. La section LL' sera supposée assez grande pour que la vitesse moyenne des filets qui la traversent soit sensiblement nulle : nous désignerons toutefois la section LL' par û, et la vitesse moyenne par u.

Suivons pendant un temps infiniment petit 0 le système matériel compris entre le plan LL' et Textrémité D du tuyau^ et éerivons rëquallon des forées vives. Le poids écoulé en

I> sera, pendant le temps 6, égal à (P + Q)d; la masse, • —^ et la demi-force vive,

La demi-force vive de la tranche LL' est négligeable; celle de la portion solide, qui part du repos en C pour entrer dans le tube, est nulle. ËTaloons les travaux des forces.

En LL', nous avons une pression mouvante, égale à

[p-hn(H-z)]Q;

le point d'application de cette force parcourt un chemin uO, ce qui donne un travail

[p -t- n(H - z)] ûhO = /f + h - z\pe,

p m observant que Û« est le volume, -, de l'eau qui passe pendant l'unité de temps

<^8 la section LL'.

En 0 la pression pV est résistante, et développe le travail négatif — p'ax^ô.

La pesanteur donne lieu à deux travaux : l'un consiste dans l'échange de la tranche d'eau LL' contre une tranche de même poids qui passe par la section D, et qui donne un iravail égal à P6(jr — A); l'autre est le travail négatif, — Q6A, du poids Qô de matière solide qui passe du point C an point D, en franchissant la hauteur h,

Eofîn on doit compter au point G le travail des pressions, le travail négatif de l'arfoQilïement^ et nn travail équivalent à la perte de charge qui résulte du changement de Titegse du courant liquide, à l'instant où la densité augmente par l'introduction des matières solides entraînées.

Ces quantités de travail sont inconnues, et probablement très difficiles à déterminer

474 BAIEâB-EXTEACTEUR

avec exactitude. Noos admettrons, ce qui eet Tralsemblable, qa'cn Bwmne elles sont proporlionnelles à l'effet produit, c'est-à-dire au poida ftft, cl nooa en repiéttoterons li somme par — BQ6, B désignant une constant* positive. L'équation des forces vives, divisée par 6, prend \s forme suivante i

(p -|. Q)^ = ^£+ H -- Jïjp-j/toi; + P(z- ^)-Q(^ + B) = /P4.H-a]p-;)W-Q(A + B).

U n'y reste plus de trace de la position arbitraire attribuée à la seefion LL'. Cette équation renferme trois inconnues, r, P et Q; mais nous pouvons y joindre

deux équations nouvelles.

L*une indique que ie poids Q des matières afTouillées est une fonction détermln48 de la vitesse v du courant et de la section ca dn tube; toutes les analogies condaiseoti admeUre que Q est proportionnel à « et au carré de v, en sorte qu'on peut poser

A étant une constante à déterminer empiriquement, d'après la nature du terrain. L'autre équation indique simplement que le volume tùv, qui sort par l'orifice du \Mbt

dans runlté du temps, est la somme ^ + g; ^«» Tolumes d'e»Q et de iMtlôrewMeqol

composent la v«lne. Oaa donc

(3) ^'^''^ 5 + n'- Entre les équations (2) et (3) élisiinons v ; nous aurons

(4) Q. = a(Î + JJ.

Remplaçons de même dans (1) le produit w« par sa valeur (3), et v* par sa n\(\a déduite de (3) ; il viendra

ou bien

ïAf/œ ^ n'

(6) P=Qx

Construisons (fig, 76} les courbes qui ont pour coordonnées rectangulaires Q et P. I^« intersection fournira la solution cherchée. L'équation (4) représente une parabole dont l'axe est paralldle à la droite

c'eÉt-indire à une droite OH menée par le point 0» et dont le coefficient angiiislfe et égal à — — . La droite OH est un diamètre de cette courbe, qui est tangente an point < à l'axe ÔP.

DE M. BAZIK (DMGBRS).

L'é^oatiM {&) repiéMDlé une hyperbole qui passe sa point 0, et qui a poor aaroiptotoB, d'une paii Ift ?«rtl(aie RS^ définie pat réqnaftloD

2g\iù

(l'autre part ane droite parsllèie k la bisaeetriee OK de l'angle QOP'. Poar constrnire allé seconde aayasptele, déterminons, snr la droite QO prohmgée, on point A à la distance 0A=(^,+ h -\- B j X 2A^ca. Le point A appartiendra à la courbe^ et on aura

un point B de la seconde asymptote en prenant au delà une longueur AB=OR : il snfÛra de mener par le point B ainsi obtenu une parallèle BG à la bissectrice OK ; ce sera la seconde asymptote, qui déterminera en G le centre de la courbe.

Traçons l'hyperbole AON ; elle coupe a parabole OML en deux points, dont l'un est le point 0 lui-mémet et fautre^ un point M qui donne la solution cherchée. L'ordonnée MI représente le poids P d'eau, et l'absciese 01 le poids Q de matière entraînée»

Or supposons qu'on change la hauteur ft sans modifier la charge sur l'orifice supérieur du tuyau, c'est-.V dire, que l'on conserve constante la

p — p' somme + H — /*, dont la va-

leur règle la position de la première asymptote BS ; la aoame ^4- ^ résout la même, la somnie A -h ^, varie dans le même sens que i^, car. le dénomioateur W

^^1 plus gran^ que le dénominateur II.

l>one, à mesure qu'on élève Toriflce du tuyau, le point A s'éloigne vers la gauche, ' ^^mpiote BC se déplace parallèlement à elle-même dans le même sens ; elle prend '^^e posiUon VC\ et l'hyperbole correspondante devient la courbe A'ON', qui coupe la [•arabûle OML en un point M' plus voisin du point 0. La nou.velle solution est alors 'oQmie par les coordonnées du point M\

Or=Q', l'M' = P';

■■'t sorte qoele rapport du déblai entraîné à l'eau qui l'entraîne est mesuré par le rapport

M Oi

rj7>aQlieQderètre par le rapport ---, on, en d'autres termes^ par la tangente de