SIMILITUDE DE L'ÉCOULEMENT
CONDITIONS DE LA SIMILITUDE DE l'ÉCOULEMENT DANS LES TDVAUX.
iàà. Considérons un tuyau de diamètre constant, et soient L sa longueur; R son rayon ; R et h les cotes de niveau du réservoir qui Talimente en amont, et
du réservoir qu'il alimente en aval ; u la vitesse moyenne de l'eau ; Q le débit par unité de temps.
Si Ton fait abstraction des pertes de charges dues au phénomène de Tajutage, et à Tentrée du liquide dans le réservoir d'aval, la vitesse et le débit s'obtiendront par les équations suivantes,' d'après la théorie de Darcy :
a et p étant des coefficients constants pour une même nature de paroi ;
Considérons un second tuyau, de même nature que le premier, et pour lequel nous aurons les mêmes équations avec des accents sur toutes les lettres, sauf a, p et tû; comparons les quantités L\ R', etc., qui correspondent au second tuyau, aux quantités analogues ({ui correspondent au premier/ Soient
A le rapport des longueurs -p ;
p le rapport des rayons r^ ;
Y le rapport des cotes de niveau, îj ou - ;
t le rapport des vitesses — ;
3 le rapport des pentes par mètre -j ;
0' ft le rapport des débits ~ ;
Vf
w le rapport, des coefficients -r-.
On pourra remplacer, dans les équations relatives au second tuyau, L' par Î^L, R' par pR, H' par yH, h! par y/i, u' par eu, J' par ©J, 0 par 6Q, et V par coj. Il viendra
ï(H~A) "" XL '
Rp
pR X 9J = (1)6 X e'm',
eQ = np'Rnii.
Comparant le groupe (2) au groupe (1), on en déduit
. pf = eue',
Si donc on donne les rapports X, p et y, ces quatre équations font 'iiDattre f , co, £ et 0, et Ton pourra ainsi passer, par de simples
uultiplications, du premier tuyau au second sans refaire les calculs.
Oïl a
• X' ^pR
co = 5-.
Le coefficient <o est toujours, compris entre l'unité et - ; en effet,
33 i SIMILITUDE DE ^ÉCOULEMENT
on a identiquement
et, si Ton ajoute aux deux termes de la fraction ^ un même nombre
positif a, la fraction se rapproche de l'unité. Donc w est toujours
compris entre l'unité et - , et, si p est lui-même peu différent de 1,
on peut faire également o) = l. Gela vient à regarder comme constant le coefficient b^ de la formule de Darcy. Or on sait qu'il en est ainsi pour des valeurs du diamètre supérieures à O^jSO ou O'",â0. Supposons donc que w soit égal à 1. Il viendra
= \/n et e = Y/Ç.
Ces formules donnent lieu aux remarques suivantes : 1° Si Ton veut que les rapports obtenus par la comparaison que l'on vient de faire, ne soient pas altérés quand on introduira dans un calcul plus exact les pertes de charges accessoires, qui sont homo-
gènes à — , il faut que ces pertes de charges soient multipliées par y
comme les autres hauteurs, et par suite qu'on ait e*= y. On en déduit p = X. La condition est donc remplie si le diamètre du tuyau est amplifié dans le même rapport que sa longueur, ce qui assure aux deux tuyaux une sorte de similitude géométrique. .
2^ Supposons que les cotes de hauteur soient les mêmes pour les deux tuyaux. On aura y = 1. Pour que les débits soient aussi les mêmes, il faudra que 6 = 1, ou que p*=X, c'est-à-dire que
ou enfin que la fonction ^ soit la qiême dans les deux conduites.
COxNDUÏTES A DIAMÈTRE VARIABLE. 23)
Ou retrouve ainsi la toi d'équivalence posée par Dupuit. Elle est incompatible, sauf le cas évident de p =X = 1, avec la condition
3» I^ différences p—p,, entre la pression en un point de la conduite H la pression atmosphérique, se mesurant par une hauteur sur Fépure, seront multipliées par le coefficient y qui affecte les mes de niveau; de sorte qu'absti-action faite de la pression atmosphérique, les pressions sont multipliées par le coefficient y. Mais, pour que ce résultat soit complètement exact, il faut que les pertes décharges et les hauteurs dues aux vitesses soient multipliées aussi par -jf, ce qui exige, comme on Va vu, que les coefficients p et X soient égaux«
MOUVEMENT DE L'eAU DANS UN TUYAU DONT LE DIAMÈTRE VARIE d'un point a l'autre d'une manière CONTINUE.
145. Supposons que le diamètre D d'un tuyau MN soit une fonctiun continue de la longueur s, mesurée suivant la ligrio d'axe, et qye les variations soient assez lentes pour qu'il n'y ait aucune perte <ie charge due à une rupture du parallélisme des filets liquides. Proposons-nous de trouver l'équation du mouvement de l'eau dans ce tayau.
Coupons le tuyau par une infinité de plans P, F, P"... normaux à Pig. 90. la ligne d'axe LK, et tellement espacés,
que chacun de ces plans, s*il était entraîné par le mouvement moyen du liquide, sans cesser d'être normal à LK, vienne coïncider avec la position du plan suivant au bout du temps dt. Le plan P, animé de la vitesse moyenne u que le liquide possède
! j dans la section A, vient donc occuper la po-
2' sition F au bout du temps d/, en parcourant ïur Vaxe une longueur AB = ds=udt ; de même, le plan P*, animé ''€ la vitesse it', ou « + du^ du liquide daas la section B« passe dans
ce même temps dt de P' en P''. Les quantités de liquide comprises
entre deux plans consécutifs PP', PP" seront donc toujours les
mêmes, et chacune va, dans le mouvement commun, occuper la place que la quantité suivante vient de laisser libre. La vitesse u étant variable d'un point à l'autre du tuyau, le mouvement n'est plus uniforme comme quand le diamètre était le même partout.
Soit p la pression moyenne dans cette section A, u), l'aire de cette section^ ^, son périmètre mouillé.
Les quantités p + dp^ co 4- do) , u + du représenteront les valeurs de la pression moyenne, de Taire et de la vitesse pour la section B.
Admettons que les vitesses u^u-\-du soient communes à tous les filets. Suivons le mouvement de la masse liquide comprise entre les deux sections A et B, laquelle se transporte pendant le temps d( de la position AB à la position BG, et passe de la vitesse u, correspondante au point A, à la vitesse u 4- duy correspondante au point B.
Le poids de cette quantité de liquide est Ilct) x udt; sa masse
a pour valeur - (o x wdf ; l'accélération tangentielle est d'ailleurs
égale à — ; donc la composante tangentielle de la force qui sollicite l'élément liquide AB est égale à
n ,, du n
9 dt g
Cette composante doit être égalée à la somme des projections sur la direction de l'élément AB des forces extérieures qui agissent sur la masse élémentaire AB.
Ces forces sont
l** La pesanteur;
2"" Les pressions en A et en B, la première mouvante, la seconde résistante, si Ton admet que le mouvement s'effectue de A vers B, ' et les pressions normales de la paroi ;
3° Enfin le frottement exercé par cette paroi.
1"* La pesanteur donne une force verticale, dirigée de haut en bas
a" diamètre variable. 237
et égale à n w x AB; il faut la projeter sur la direction AB, ce qui revient à la multiplier par le sinus de l'angle que cette direction fait avec rhorîzontale ; mais le produit de AB par le sinus de cet angle est la hauteur du point A au-dessus du point B, c'est-à-dire — dz ; la pesanteur a donc pour composante — Ilwdz.
Les pressions en A et B, et les pressions développées par la paroi latérale, varient entre les limites p en A, et p + dp en B ; on peut donc admettre que la pression penveloppe uniformément tout le liquide compris entre les sections A et B, et que la pression dp s'exerce seulement, daDS le sens opposé au mouvement, sur la section B. La pression uniforme p se détruisant en projection sur un axe quelconque, puisqu'elle s'exerce sur un espace fermé de toute part, il reste la pression dp sur la surface a> + <^^» ^^ ^}^^ donne en définitive — lodp, en supprimant Finfiniment petit du second ordre db>dp.
Le frottement s'exprime approximativement par le produit
l X AB X f(u) = X X ^« X /*(«*) •
On prendra pour f {u) la fonction que Ton adopte pour les tuyaux de section constante ; cette substitution est permise lorsque la conicité du tuyau est très petite, ce qui est nécessaire aussi pour que l'écoulement s'opère sans perte de charge appréciable due au défaut de parallélisme des filets.
Nous aurons donc l'équation du mouvement en égalant le produit de la masse par l'accélération tangentielle à la somme des forces projetées sur la tangente à là trajectoire :
- toudu = — Ubidz — wdp — idsf{;o) .
Divisons par ïl w et intégrons, il viendra
| + ^ + n + Si^^Tr=^""^*""*^'
La constante sera déterminée d'après les conditions particulières dans lesquelles le tuyau se trouve placé, et d'après les limites de
l'intégration.
146. L'emploi du théorème des forces vives permet d'arriver plus
rapidement à cette équation, pourvu qu on ait évalué préalablement le travail total dû à l'action mutuelle des filets et au frottement de la paroi. Pour faire cette évaluation, supposons d'abord que la section w soit constante, ce qui rend la vitesse u aussi constante, L'équation du mouvement dans les tuyaux à section constante nous donne la relation suivante, entre deux points A et B pris sur la conduite
ou bien
p-p> + n{z-zf)=^{*'-s).
co
Appliquons maintenant le théorème des forces vives à la portion
de liquide comprise entre les sections A *^'8' »*• et B; imaginons que cette masse liquide
reçoive un déplacement égal à udt^ en — ^^ vertu duquel la section A se transporte ?^i en A', et la section B en B'. Les forces
î^ vives des tranches AA' et BB' étant égales, puisque les sections et les vi- A~~ 2' tesses sont les mêmes, fl n'y anra pas
d'accroissement de force vive entre ces deux positions, et la somme des travaux des forces, tant extérieures qu'intérieures, sera nulle. Or le travail des pressions p et p' est
pu) X udt — p'ci) X udi^
Le travail de la pesanteur est
U(ûudt X z — Uiaudt X z\
Le travail des pressions normales de la paroi est nul; il reste le travail négatif du frottement et des forces mutuelles. Nous représenterons ce travail inconnu par — T. Il viendra donc l'équation
yvfoM — p'taudt + nfottdtz — Uwttd/z' — T = 0,
il'où résulte
A DIAMÈTRE ViiRIABLË.
Fïg. 92.
Remplaçant [p—p'+n(z—z')] par '^^ [s'— s), il vient
T = x/(w) (^' — s)x udt.
Au point de vue du travail, le frottement et les actions intérieures équivalent donc à une force ^/(m)(s'— 5), dont le point d'applicalion subirait, dans la direction même de cette .force, un déplacement égal à udt.
147. Nous admettrons que cette formule soit applicable à un élé-
jeiit infiniment petit de tuyau à diamètre variable. Considérons un fragment de tuyau AB ; soient s, z^ les hauteurs des
centres de gravité des deux sections ex trêmes; p, p' les pressions moyennes dans ces sections; u, vl les vitesses moyennes, que nous regarderons comme communes à tous les filetâ; Q la dépense du tuyau par unité de temps. Prenons le système AB à deux époques séparées par un intervalle très
î ^— ^ court dl; la section A sera parvenue en A',
la section B en B', à des distances 4id(, vtii,
'e leurs positions premières, et par suite le demi-accroissement des
' rces vives sera égal à
Il faut égaler cette quantité à la somme des travaux des forces :
'"', Bélanger affecte cette expression d'un coefficient a, un peu plus grand que riinité, pour tenir compte des différences de vitesse des ûlets. Il est facile de voir, en i^t, que la somme des forces Tives des fliefs liquides animés de vitesses différentes est t^qoors plus fTande que la forée vive de la mime misse quand toutes ses parties sont «Aimées de la vitesse moyenne. Du reste, le calcul du coefficient a est une conséquence •ic l'iiypothèse faite tnr la distribution des vitesses dans retendue d*ane même section ; ^ât dire que ce coefficient est mal connu. On le fait souvent égal à l , 1 ; en généra^ on ^e npprime toat à £alt.
or la pression en A produit un travail égal à pcoxucU =pQdt; la pression en B, un travail égal k — p'Qdl. Le travail de la pesanteur est équivalent au transport du poids AA' en BB', on kliQdtx(z—z), Enfin le travail des frottements et des forces moléculaires intérieures, pour une tranche infiniment petite, étant égal en valeur absolue à
X f{u)ds X ^^ ou à Qdt X ^^1^' ds,
la somme de tous ces termes pour le système AB est égale à l'intégrale
Ja w
et nous avons en définitive l'équation
i 5 Qrf<(u'«-u«) = (p -p')Qdt + UQdt(z^z') - Qdt r 2M ds, x g jA «>
OU bien, en divisant par IlQdf et en groupant les termes,
^ W^ 'ig ^ n ^ 2<7 ^ Ja no> "*'
équation identique à celle que nous avons obtenue par une autre méthode.
148. Soit^— =cp(u) = -6jU% suivant la formule de Darcy (§143.
note). Substituons aussi à ^ l'inverse ^ de la moitié du rayon du
tuyau. La dépense Q, constante pour toute section, est égaleà u^cuR*.
Doncu= -p^. Substituant, l'intégrale devient,
7îR=
