AVEC DES COTÉS DONNÉS

deux circonférences ont trois points communs B, G, D. Donc enfin tous les sommets du polygone cherché appartiennent à une seule et même circonférence, 3* Étant donnés deux points A et B, on propose de mener du point Fig. 105. A SLu point B une ligne ACB d'une longueur

i B donnée Xi ®^ ^^^"^ 9^® YsAre ACB soit maximum.

Partageons la longueur donnée ^ en une infinité de parties infiniment petites que l'on pourra regarder comme autant de côtés donnés. La figure ACB devient alors un polygone dont tous les côtés sont donnés, y compris le côté AB, et qui doit rendre la plus grande surface possible. Il est înscrîptible dans le cercle, en vertu de la proposition qu'on vient d'établir, et par suite le contour ABC se confond avec la circonférence et ne diffère pas de l'arc de cercle de longueur x» passant par les deux points donnés A et B.

168. Proposons-nous de même de déterminer le plus grand trapèze isoscèle, connaissant l'inclinaison des côtés latéraux sur les côtés parallèles, et la longueur du périmètre mouillé^ considéré comme

égal à la somme des deux côtés latéraux et de la petite base.

Dans le trapèze isoscèle ABGD, on donne rinclinaison commune des côtés BC, AD sur la base AB, et la somme DÀ+ AB+BG =x- On demande de déterminer les dimensions du trapèze, AB = a: et LK = y, de manière que l'aire Ù soit maximum, ce qui assure aussi le maximum du débit.

Fig. 106.

Soient n l'inclinaison de BG sur AB prolongée. On aura

(x.+ ny)y = û, a? + 2yV'l + n» = x.

Différentiant ces deux équations, et égalant à zéro, il vient

(ac + ny\ày + y(da; + này] = 0, àx + Uy ^/rn? = 0.

i86 POLYGONE «AXIMUl AVEC OfiS GÔTËS DONNES.

Eliminons entre ces deux équations le rapport — ; on aura réqtiation finale

ou

Or - 4- ny = KG et y^i + «* =BC* La condition du maximum est

Ame BG = KG, ou bien BL = KH, €fn abaissant BL et KH perpendiculaires sur DG et sur BC ; et comme BL = KL, on voit que les trois cdiés DA, AB, BG, sont tangents à un même cercle, ayant son centre au milieu K de la base supérieure ou de la ligne d*eau. La construction d'un trapèze satisfaisant à ces conditioDS est aisée en s* aidant du principe des figures semblables.

Wft. Nous ferons une dernière remarque sur cette équation

R|=r(p(tt).

Les cours d'eau qui sillonnent une contrée ont creusé leur lit dans les terrains qu'ils traversent; plus ils sont rapides, plus Taffouillement qu'ils produisent est grand, plus aussi la section augmente; ce qui, si le déWt reste le même, tend à réduire la vitesse, et par suite raffouillement. Le régime d'une rivière est établi dès qu'il y a équilibre entre la tendance à la corrosion, qui dépend de la vitesse, «t la résistance du terrain ; car alors raffouillement s'arrête. Si donc une rivière traverse nn même terrain sur une grande étendue de son cours, on trouvera sensiblement la même vitesse moyenne en tous ses points, et par suite le produit RI sera à peu près constant. Mais es rivières, à mesure qu'on se rapproche de leur embouchure, re-çoivent les affluents qui en grossissent le volume; la vitesse restant la même, la section augmente graduellement de l'aval à l'amont, et avec la section le rayon moyen R. Le produit RI étant constant, la pente I doit diminuer. Aussi observe-t-on que les pentes superficielles des grands fleuves diminuent successivement de l'amont à

Pfil9r£$ DES FLEUVES. 237

l'aval; mais cette loi suppose que le débit augmente, et elle n'est pas api^cable à qb canal artificiel où le même débit serait conservé partoaL C'est pour n'avoir pas compris la vraie raison de cette diminution de pente, que Girard a fait varier graduellement les pentes du canal de l'Ourcq destiné à amener des eaux à Paris. Les travaux n'éuûent pas encore terminés qu'on reconnut l'erreur; on revint à la pente primitive pour la portion restant à construire, et on établit dans une portion de ce canal des écluses que le projet primitif ne comportait pas, et qu'un tracé à pente constante aurait permis (Téviter, au grand avantage de la navigation.