OC X OD = OB X OA

Gette équation montre que les quatre points A, B, G, D sont sur une même circonférence.

Le plus grand quadrilatère que Ton puisse construire avec quatre côtés donnés est donc le quadrilatère^inscriptible.

2* La même proposition s'étend à un polygone d'un nombre quelconque de côtés et dont les côtés sont supposés donnés. Eu effet, soient A, B, G, D, E cinq sommets consécutifs du polygone cherché dont la surface est maximum. Menons la diagonale ÂD qui retranche du polygone le quadrilatère ABGD. Je dis que ce quadrilatère est inscriptible , car s'il en était autrement, ou pourrait, sans rien changer aux autres sommets, augmenter l'aire du quadrilatère, et par suite l'aire du polygone, en altérant la position des sommets B et G , de manière à amener la figure ABGD à être inscriptible dans un cercle. Donc les quatre sommets A, B, G, D sont sur une môme circonférence. On prouverait de même que les quatre sommets B, G, D,E, sont aussi sur une même circonférence, et par suite ils sont situés sur la même circonférence que les sommets A, B, G, D, puisque ces