MOUVEMENT VARIE
et des forces intérieures sera équivalent au travail d'une force U\u\ds appliquée en sens contraire du mouvement à un point animé de la vitesse moyenne.
191. Ce lemme établi, nous pouvons aborder la question générale, en admettant que dans chaque tranche infiniment mince, comprise entre deux plans transversaux infiniment rapprochés, les frottements soient les mêmes que si le mouvement était uniforme. Pour qu'il en soit ainsi, il faut que les vitesses des molécules liquides varient graduellement, et que les filets liquides soient partout sensiblement parallèles.
Nous opérerons comme tout à l'heure; mais ici le mouvement n'étant plus uniforme, les forces vives des deux masses égales ABAiBi, A'FA'iB'i ne se détruiront généralement pas.
Évaluons successivement les termes de l'équation des forces vives : dans nn membre nous aurons le travail des forces; dans l'autre, le demi-accroissement des forces vives.
Travail de la pesanteur. — Appelons Q la dépense par unité de Fig. 118. temps; le poids des masses égales
ABAjBj, A'b'A'iB'i, sera DQO; et le travail de la pesanteur s'obtiendra en multipliant ce poids par la distance verticale du centre de gravité G de la section AB au-dessous du centre de gravité 6' de la section A'B'. Menons par le point A une horizontale AG, et appelons z la distance A'C de la ligne d'eau A' à cette horizontale. Appelons y et y' les distances des points 6 et G' aux lignes d'eau A et A'; les plans AB, A'B' étant sensiblement verticaux, le point G' sera au-dessous du point G de js -|- j/, et la différence de niveau entre G et G' est « + j/ — y ; le travail de la pesanteur est donc
Travail des pressions. — La pression atmosphérique ne donne pas de travail. Les pressions normales du lit n'en donnent pas non
phis, puisqu^èfles sont normales a/ax * trajectoires des filets sur lesquels elles agissent. Quant aux pressions des sections extrêmes, la pression d'amont a un travail positif, et 'la pression d'aval a un travail négatif. Ces travaux sont égaux au produit de la pression moyenne, par le voltme qu'engendre le déplaceneat des sections ÂB, A'B'; les (pressions moyennes scmt celles qoi s^exercent anx ceocras de gravité G, '6'; elles sont donc égales à Dy pow la section d'amont, à^Hj/ pourla section d'aval, «et leur travail "est égal à
Travail des frottements et des forces intérieares. — 'Nous avons admis qoe pour diaque tranche 'MNMW, prise dans le courant, ces forces peuvent être remplacées par une force unique égale* à \ïku\ds^ appliquée à un point -ayant une ^vitesse 4/, ou Inenane
vitesse ^, û représentant l'aire de la section MN; l'espace parcouru
par le point d'application de cette force est ~0, et le travail
cberché:est égal jà
— rnAô^X^* X^O a-JITQÔ X Au» X ^ d*.
On aura le travail total pour toute la masse liquide comprise entre le plan AB et le plan A'F, en faisant la somme de ces travaux partiels . entre ces deux * limites ; de sorte que le travail total des frottements &i des.forces mutuelles est égal à
—Jïfte J^ Atf (fa.
l'intégrale étant prise entre la section A et la section A'.
1^. Nous n'aiwœs; plus. qa!à. évaluer Jes. forces 'Vives .dés masBes égale&.ABBfA«,.<A('fiSH*AV
BU ;ifOU¥£llENT ^TAHIE. M9
Il faut ici tenir compte des difTéreaees de ntesse* des' filets. Noss
suivrons pour cela la marche' indiquée par Poncelet dans ses
Expériences hydrauliques (1B32) .
Soit (Il une aire infiniment petite dans les deux sens, prise dans
wg. it». ^ la section AB, et soit v la vitesse^particulière du
filet qui traverse cet élément de surface, hffpe^ Ions û Taire totale de la secti(Hi AB, et u la vitesse moyenne. Noob )aanins, ^eD étendant la somme à tous les éléments de la section,
Soit donc d. =.ti r|- «^ ; u) sera la vitesse relative du. filet par. rapport à la vitesse moyenne ; cette vitesse est positive pour certains poiat^, et négative pour d'autres points. Nous en condurona
y^ (k>tr=sO.
La force vive du filet qui passe dans l'élément co est égalera et la somme des forces viveade latranche ÂB est égale à
Dans cette expression, remplaçons v par sa valeur u + w\.\l
vient
en supprimant' le îerme g^*•^^ott^ qui ^t-roil. Le facteur Su + tc^ est "égal à 2u + v, quantité nécessairement
