ÉQUATION DU MOUVEMENT VARIÉ

positive. Nous pcuvoQS donc poser

et par suite la force vive totale de la tranche AA^ est supérieure à

On peut donc la représenter par a — -^ «*, « étant un coefficient

de correction supérieur à l'unité, et dont on pourrait déterminer la valçuf, si l'on savsdt comment les vitesses sont réparties dans la section transversale considérée*

Admettons que la valeur de ce coefficient soit la même pour les deux sections d'amont et d'aval ^ la somme des forces vives de la tranche A'A\ s'exprimera de même par

et par conséquent l'équation des forces vives prend la forme

Supprimant le facteur OQO, réduisant et résolvant par rapport à z, il vient

La pente totale z de la surface libre du courant, prise entre deux points A et A', se compose donc de deux parties :

s ô") ^^^» ^^ facteur correctif a près, la différence

des hauteurs dues aux vitesses moyennes dans les deux sections extrêmes; elle peut être positive, nulle ou négative;

L'autre, \g Aw'efe, toujours positive si ds est compté dans le sens

du mouvement, correspond au travail du frottement et des forces intérieures sur la portion considérée du courant.

La pente totale, x, qui est la somme de ces deux parties» p^t être positive» négative ou nulle entre deux pcnnts donnés. Il n'y a donc pas lieu d'être surpris de constater quelquefois des contrepenies

dans la surface libre d*un cours d'eau.

193. Le coefficient a n^est pas déterminé; on sait seulement qu'il est positif et plus grand que l'unité. Bélanger propose de liii attribuer dans tous les cas la valeur 1,1, Terreur sur ce coefficient De pouvant entraîner une erreur bien sensible dans la formule, à

cause de la petitesse ordinaire du terme, ^ ^, que ce coefficieiii

multiplie. D'autres auteurs simplifient la formule en faisant a = L La détermination des valeurs de ce coefficient, et des valeurs dii nombre A applicable au mouvement varié, a été l'objet d'expériences de M. Bazin, que nous résumerons plus loin.

Nous appliquerons la formule générale que l'on vient de trouver à la solution de différents problèmes d'hydraulique.

194. Étant donnés le profil en long dvne rivière et une série de profils en travers^ trouver le débit Q.

Le profil en long fait connaître la pente totale superficielle % entre deux points du cours d*eau.

Les profils en travers permettent d'évaluer, pour un certain nombre de sections, les valeurs du périmètre mouillé ^. et de la section mouillée Û;

Les distances des profils en travers successifs indiquent les longueurs auxquelles ces quantités doivent être appliquées. Soit Q la dépense cherchée ;

Ûq, û,, û, ... û^, les valeurs des sections mouillées;

Xo» Xi» Xf-X*' ^^ valeurs correspondantes du périmètre

mouillé; i^, /,... 4, les distances d'un profil au profil suivant. i

Les vitesses dans les différentes sections seront

322 'PROBLPMBS

, Parsdte, le premier terme de l'équation sem égal à L'intégrale j^Aw^dj arn-a pour valenr approchée

Nous supposons pour plus de simplicité qu'on prenne pour A une valeur moyenne applicable à tous les profils, en ayant égard toutefois à la nature du lit {*) .

En résumé, nous aurons l'équation, et enfin

Le débit est ainsi détecminé par une opération de nivellement et de chaînage, sans mesure de vitesse ; mais cette méthode suppose connue la valeur convenable du coefficient A.

195. Étant donnés le déhitQctune rwiêre^ le profil en hngdu Ut^ et une série de profils en travers^ connaUsant ^n/m le niveau de teau dans tun de ces profils^ trouver le profil en long de la surface

( 'y On peut aussi appliquer à la recherche de cette somme la rdc;le de Thomas Simpson, qui suppose la distauce des deux profils extrêmes partagée par ies sectloni intermédiaires tu un nombre pair, «, de parUes égales, et qui oonduit à l'exprMsiMi :

Le facteur / e^t la distance commune des profils c«osécaUfs.

SUR LE MOUVEMENT \Mi\E.

Ubtedu Uquide^et tracer ies ligmês d eau dans ies- autres profils

en travers. C'est le problème qu'oo a à rés<Miulref quaBcUen uji, point

donné on élève les eaux d'une rivière à un certain niveau, et qu'on

veut savoir où la surface de l'eau s'élèvera dans les autres sections.

Pour résoudre la question, on procède par tâtonnements.

Soit A le profil où le niveau d'eau M est donné; soit B l'un des

Figr lîo. profils voisins où le niveau d'eau est inconnu.

On attribuera à ce dernier niveau une hauteur arbitraire P, ce qui permettra de tracer la ligne d'eau dans le profil en travers B; on pourra donc mesurer Taire û et le périmètre mouillé ^ de la section correspondante; enfin, te profil en long fera connaître ..^ la distance ML, différence de niveau des points P et M. On connaît d'ailleurs pour là section A les quantités Q^ et y^^ et par suite on a tout ce qu il faut pour appliquer approxi- ~ <. ^ mativement à l'intervalle AB l'équation du ^^ - -^^< mouvement varié.

Soit l la distance PL des deux profils; nous devrons avoir, si le niveau P est convenablement choisi, en représentant par z la diflférence de nivedu ML,

section A.

Niw«Q H.

^^<Vxx^^C>^S^'

Sertion B NivMn P

Cette équation ne sera pas en général satisfaite du premier coup. Si on a pris le point P trop bas, le second membre sera moindre que le premier; si «au contraire on Ta pris trop haut, le premier membre sera inférieur au second. On saura donc dans quel sens il faut modifier la première valeur attribuée au niveau P ; et après deux essais comprenant la valeur cherchée, on pourrar obtenir cette valeur pai une interpolation.

Une fois la ligne d'eau fixée dans le profil B, on pourra opérei de même pour passer de ce profil au profil précédent ; le problème