CHAPITRE PREMIER

GÉNËBUbLLTtiS SUR LE& MÂCBUfES.

î€9. L'établiBsement d'une machine donne lien, en général, à trois problèmes particnliers.

Le premier est un problème de cinématique. On veut transformer le mouvement emprunté au moteur en un mouvement convenable pour l'outil qu'il s'agit d'employer. Par exemple, la macbine à vapeur, les machines à air et à gaz, certaines machines hydrauliques, mettent à là disposition de l'industrie le mouvement rectiFigne et alternatif d'un piston ; ce mouvement devra être transformé, suivant les cas, en mouvements très divers; il peut être employé à produire, soit la rotation continue (f one roue, soif Toscillàtion d'un balancier, soitleinQuveaittitalieciitflif.d'.ttne.iiiaohiDeià raboter, ete^ Enttele récepteur qui subit' directement l'action de la force motrice, et les outib qui efiectuent le travail demandé, se place donc une série plus oa moîos étendfi]& à'ofjaniis de tramnmsiùn^ dî^osés de manière à assurer à chaque outil le mouvement voulu.

46# TRlPlË i^ROBllËkE

• Le #3C0ttd profclèthe eA tiûe question de mécanique proprement dite.' Parmi "torià les iabouvèrrients qtfïï' est pbssîWe d^iaittribuer à Fénsembte déôîpiecéfe '<U)flipoèâ*ht la micHiné, le système matériel en prendt'à Wi pa^feateiriëtit défini lûWqu'ori lui appliquera d^u^è part kî jJWssance lEKrtrîfce, ' de Fautrelës tésîétànceà que la machine a ponrofejétdè 8artû0nter, fetîl se développera dans toutes les parties de la machine, des pfedsions« des tensions, des frotteixients^.qui ont letit infinénce sur lef irioiivcment, et qu'il importe de déterminer.

16' troislènie proWèiiie a pour objet T étude de la résistance des pièces fixes xm mobiles (\m constituent la machine; la connaissance des forc^ auxquelles ces diverses pièces sont soumises est essentielle pourdétermlrier avec exactitude les dimensions qu^îl convient de leur donner. M^ ee^ dimensions influent à leur tour' sur les masses' et leâ poids des pièces, et, par suite, sur le mouvement de la machine et sur les efforts qui s'y développent. Les trois problèmes sont donc connexes, et on ne peut à la rigueur les isoler les uns des autro$«< La solution du premier influé sur la solution des àeux ^uivafitB^ et Tétùde de ceux-ci peut conduire à modifier les dispositions prises en traitant te premier. Il est possible, par exemple, qu*une transmission' soit acceptable au point de vue cinématique, et qtfelle soit inapplicable en réalité, parce qu'elle supposerait entre certaines pièces nft frottement considérable, que la cinématique pure ne permet pas d'évaluer •(*): Le troisième problème, une fois résolu, montre les retouches qu'il faut faire subir a Tavant-projet de la m^chine, et ces retouches entraînent le plus souvent des modifications dans la solution provisoirement adoptée pour les deu][ premiers;. L^ méthode des approximations successives, ou méthode de fausse poHtwnitsi indispensable pour tourner les difficultés que présenterait la solution directe tf un triple problème aussi compliqué. », < . • > '

270. Nous ne nous occuperons dane ce livre que du second point

O Tel est le phénomène de l*arc-boatement dans le« engvenageaoïk la pH«Q mtn lo profils conjugués a lien trop lolo en arrière de la ligne des centres.

Nôus^^upposerpitâ ï^j maçhiiiç,, construite.,.^ fajsaskt aginiî^r.^lB un wojteur d'une puips^nçQ déteimi#ée,. wwi jiAU8,prc(po0eff(>Mi;dQ chercïîercmelle fraction (;ettpp^^Usa^pe;^aH^aî^çh^ÇiÇlp^lfIlPle^ d'ôppfir àûèf ira^^ Lfj.solutiipiûtgônérMft'd^ ki

question ept fournie jpar.. le, tlfiéor^ïp^ (^çs4br<c§i^.yiv(ça- CejtJîfc^rèinci lait connaître lé mouvement r^çi pri^, par.: un^^mafCblj^ parce qu'il s*agit le plus . souvent de,,sysfèmes\à.(iaisùm €^fnpiè(es,.et que pour défiiiir leur mouvement une équation suffit. Msiis le théorènae des forces yiye^ n'ép^is^tP** Ja . ((ju,Ç3ti(\B de iftéqaniqtie à résoudre; élijminaat toutçs/]ç3 forces qui jaç.pr^wsent p^s de travail^ il ne peut seryiij .à déterminer ces forces^! Par ^xetuple, lo problème du mouvement, d'un, corps solide .as^uiettl à touroer autour dun axè fixq, Q$t résolu... par l'^OuaiJiçin . 1dçlS^ forces vives; maïs Téquî^tion . ^iflsi.. obtenue, .n'apprend. ..rieni ^ur. les réactiims de ï'^e ; , il . fawt lies cherche^ , par . IJappiicf^tion . d'autres

théprèines. , ..,,,:.,•.-.■♦

Cependant^, le. théorèniQ des forcer vive^.pe^t i^rvir quelquefois à trouver dès ^ réactions mutuellç^ inp^nçucsi ,ces réactions :di3paraissent quand on applique le théqrèpe^ à, l'ejosemble d'.un système donné; niais on peut f appliquer. ,$j^cessiYpipept ,^ux d^uK parties: du système entre. lesquelles set, déyelpppe la.rjéîictioû miitM^Ue cher'* chée; on obtiendra ainsi deux,, ^u^t^ons dÇA^i qhacijiOQ. .çpiîl*e»dï» cette réaction , ce qui perip jsttra de la; d^teripinier». , »

271^ Rappelons? la forme dq l'éqi^ation des toi;cçs yiye^ appliquée * aux, machines. ' . .... ,, . , ,, ,-. ;.,., • . .

Considérons la machine à deux époques. Soijt m la .masse de. Tun de ses points, v^ la vitesse de ce, point à la;pj:eïpièr€f,épqq*i^ t^.sa vitesse à la seconde ; la force viye du point ^ra égate à jw^% auipçe-^ inier instant, et à mv* au second; le demi-accroissement de force

vive sera donc égal à -mu* — ^wt?*^; en prenant cette différence

\)Q\xï tous les points de la machine, et faisant la somme, on obtiendra.pote pésuterfitmlf^^ ^'■•' '--•---•• • '■

4()2 - ÊQCATIOKS

Cette différence est égale à lasomme des quantités de travail accomplies par les forces, tant extérieures qu intérieures, qi»i ont agi sur la machine, dans çon passage de la première .position à la seconde. Ces divers travaux se classent de la manière suivante :

!• Le travail moteur. — Dans les machines, le travail moteur est fourni Boittpar la force vive d'un corps étranger quf' vient perdre sur les organes mobiles une partie de sa vitesse, soit par la pesanteur, soit par la détente d'un gaz bu d'un ressort. En général, le moteur est distinct de la machine ; il consiste en un corps animé d'une certaine vitesse, et sa masse n'entre pas dans le premier membre de l'équation des forces vives que nous allons écrire tout à rheure. Dans le travail moteur, nous ne comprenons pas le travail de la pesanteur sur les parties propres de la machine, même quand ce travail serait positif. Nous désignerons par T,^ le travail total effectué par le motem\pendant que le système passe

de sa première à sa seconde position.

1^ Le travail utile. Nous le représenterons par — T; c'est le travail de la résistance principale que la machine est destinée à vaincre. Pris positivement, il représente l'effet de la machiqe que les outils sont chaînés d'utiliser; maûs considéré comme* açi«éint sur la machine, c'est un travail résistant auquel on doit donner le ^igne— .

3*» Lt travail des résistances secondaires^ appelées improprement résistances passives^ C'est la somme des travaux représentés pjM' l<?s frottements des pièces mobiles, par les déformations des organes, par les chocs, par récbaufifement des parties frottantes, par les vibrations des corps voisins, par la résistance de l'air» eto* Cq travail est négatif, et nous le représenterons par — T^.

à"* Le travail de la pesanteur. Dans une machine fixe, ce travail est tantôt positif, tantôt négatif, et pour n'avoir pas à le faire passer alternativement dans la somme des travaux iA(^eufs et

dans celle des travaux résistants, nous le représenterons par un terme spécial. Si P est le prfds total xter la machine, et z^, z, les hauteui*s de son centre de gravité, dans la première position et dans la seconde, au-dessus d'un même plan horizontal, le travail de la pesanteur sera P(z^ — z), quantité qui porte son signe avec elle. . ' '

L'équation des forces vives prend donc la forme

Cette équation se réduit à T« — T — T^ = 0, quand oti l'applique à deux positions de la machine pour lesquelles les molécules repassent avec les mêmes vitesses par les mêmes points géométriques. On a alors pour chaque point v = v^^ et de plus s = ^^. L'équation ainsi simplifiée est rigoureusement vraie dans ce cas parculier, et 'notamment lorsqu'on considère la période entière d'activité dé la machine, pourvu que son centre de gravité revienne au moment de l'arrêt â la hauteur qu'il avait à Torigine du mouvement. ^ En outre, elle est applicable approximativement à toute époque, une fois que le régime est établi. Le mouvement de la machine devient dans ce cas périodiquement uniforme; la différence

Va^w^* ~ Vk «w^^ est une quantité qui oscille entre deux

limites peu écartées; il en est de même de V{z^ — z) (*j. Ces termes périodiques sont négligeables devant les termes T», T, T,., qui grandissent indéfiniment tant que le mouvement se prolongéi et sous ces restrictions, on peut poser Téquâtion approximative :^'

Onétt'déàtiit

(*\ Ilii'ya <^ l99 machlpes mobiles, telles que les iocomoUves^ pour leiqueUes le t^rmc dû à la pesanteur ne soit pas essentiellement limité.

464 î" • îHSNDîaiîJRt;'

,-i .u'.v. '-'!» '-OÎI1 jO r/''

IfC rafOpoFt ^ e&f le rendement àt la tmad^ne', nnè niaoHii^'pîr-

fàîté serait' celle * où le rendement * serait égal à Tuiiité; il faudrait pour cela que T^ fût égal. à iéi^ ou* qu'il ik'y iBftt«tt<ïtin 'travail des

résistances secondaires. Gomme il est impossible ^e construire, une machine parfaite/lè rendemedt est toujours une fraction moindre due ruriitë. Un rendement de 0.60 est considéré commq très-bon. Léè fïlâtihiiies dont le rendement s^élève à 70, à 75 pour 100 doivent être regardées comme excellentes. ,

. ;24Q/ i\Wgrô' les. progrès des étudies knédanîqûes,^ 'et 'ttial^ !lùfmwèe de- milliers de tentative, il' ^ a eiicorié ktijttlikl^hûî'des'fïiveoteurs qui s'entêtent 'à «hércher uA ^y^t^&'^^ihitwemlênfpey'péiueh '^t quii'Eiontpenfi paâ'là leur îgïitoràn«e dés^ vf feî^ ' prïhdçés de la science. Le vrai problème consisterait à trouver une âiitihitofè'dans laquelle le travail utile produit fût plus grand que le travail moteur empl,Qyé h 1^ produirai; oe qui impliquerait la eDéatim ^'uûé eër'Êalne qg^niôJté.de travail. Qi: rhomme joie peut |»ft plus^oréer idki^iritvail qu'il n^. peut! cr^r 4e la matière, et< l|b théorie dés fovees- vires wwtre qu'qnia.iellie moAhine est* impossible. iioo^^beûlémeti t'a; i^ii^ lijser, xot^is. même 1^1 ooneeiKoin Suj^posiHisi^ti' elbt qu^tttiie>QîM^me pai^te. du repg^?. elq^'alAe <sdt atteint au bwl.d'un beartâim ttomi|is <}es vlteasç^ V y op jaw:a,;i^p appelât Tu» <T et T,. tes quaiilitês iie travadl qui,opt été. développées par la. pu^ss^onçe 3i le» rôûôtaMâSfiiet'iiQi ont amené la 'machine à cet état de vitesse : . \.\ ^v

Le premier membre est positif, le second Teat doric«Bsàîç psrismte

T» + PiTo > T 4- Tr + Par.

Supposons, pour plus de simplicité, que la machme soît fixe;

IIOlJyEM|WT:PJ9HPÊTUEL. *^'

son centre de gravité oscille donc entre deux plap^ bôri:lQiUmix définis. On peut concevoir uue position de la nuichine telle que P^^ soit plus petit que Pz ; d'où résulte T« > T + T^, et à fortiori T« > T. S'uà partir d'un certain instant, T était constamment plus grand que -Xéii JAil^WJhrsûtpoanfilctisfÎEiire à réqttatKHi^ attribuer .à v dès valeurs imaginaires, . Ie3. seules, qui, algébriquement, pouj^raient , donner

una.vriwr négative à laîsopme^ 5*^^'* ^

L^împoâsîbilltfe dii mouvement perpétuel n'a pas toujours, été rigoureusement démontrée, mais elle n'a jamais été douteuse pour les esprits vraiment philosophiques. Léonard de Vinci, plus d'un siècle avant la naissance de la dynamique, écrivait une dissertation sur ce sujet. Depuis, l'impossibilité du mouvement perpétuel est ^vçQpo ,uQ a^jocpe de la philosophie naturelle, etYoh peut dire p,vec Ednjond Bour ; ,^ Dès quoa s'aperçoit qu'une combic(, j)^9pn, quelconque conduit au mouvement perpétuel, si bien n déguidé qu'il soit, U faut s'empresser dn eondanin^r le tout « aaji$,^ppel(*), »

. ^7i^ La.{ih2part des inventeurs qui croient décoiivriv le mouvement peq)étttd commettent une des fautes suivantes i ild se tnéprennent Si^c Jesîgâe des travaux qui entrent dans la somme T^, et regardent comi0Qtpoaitife4eS' travaux de certaines forces résistantes; ou bien iig.SMppoçAntiun travail de la pesanteur indéfiniment oroissant, bien quelii.viiriation de hauteur, ^o "**^» ^" centre de gitivité de la mâtbijm sdrit limitée; souvent,'- eniîn, iîs s'appuient «ur'le théorème d'Ancfaiaiède, àa^ooipreûant au propre l'expresâion figurée ûtpeiic dr poids.

D'autres encore mettent en mouvement un appareil plus ou uioiiis bizarre, et prétendent utiliser ce riiouveuient poui ^accomplir un travail utile. Or le mouvement qu ils attribuent à leur appareil est 1 mallst] iiéeeaBaitie^ des efforts auxquels i) est soumis; la r'ésib-

\^)Cottrs de tïktcauique, t. il, p. 164,

tance util^^ que râiveot^ur. ajouta. ensiuiftte. à ces QJQ^rt^ modifie le ixKmveiwri^t supposé, let radnto» pôu à'peuvdè3!q»fdile>agitvrfippa^ i,dil ai) repoa. D^aiài rmutiUDé pratique deitelledueelterebeast. Qu'on

imAgineun appareU kuarchant iiKièTiDiiniébti toul «sêol; par6X^plé«

uxk pendule». oibHrackicai faite de la* raidedrdu fil dQ:8ii«peQaW)a^el de la résistance des milieux» Ce pendule idéal acnûi; dans applt*^' cation industrielle, parce qu'il s!arrâterait au bout d!un temps fini, (lès qu'on ej^erççrai^ ^ur lui d'une manière continue une résistance quelconque. Un corps en mouvement représente une quantité de travail disponiblie essentiellement limitée, et éga^li la moitié de sa force vive: «ne fois ce travail accompli, le corps reotre dan^lefepos, et sa puissance motrice est épuisée (*)•

Les machines n'utilisent pas la totalité dû travail motenr qu^eiles reçoivent.; ellç6 n em utilisent, qu'une partîe, et leur mouvemeat indéHniment prolongé suppose T intervention liâdéfiniment .ranoa* velée^d'un certaia travail moteur, A de rares excepti<Mi& prèe, la clialeur quelejsiokil envoie à la ierie estle réseiToir où s'aliamteot tous les travaux accomplis à la surCaoe du gIol)e.

Le rendement étant toujours inférieur à l'uaUé, il peint pavaitre que l'emploi des machines; conesponxieà une perte; et qu'uop machine mérite le reproche de dissipation des furces^ natjurelles. Getta accusation serait peu foudre. 11 est vrai que les machines utilisent seulement une partie du travail moteur, niais le potint de vue industriel difl'ère du point de vue mécanique, et s'il est impossible de créer du travail, il est possible de créer de h.valewr; la perle d'une

(*) On 111 dans la correspondance du président de Brosses (t. I; p. 119, leure datée de Milan, 17 SuiHt't 1739/ vUlte du cabin(4 Settula) :

« Oo y voit dïTerâes inaclUnei pour la irrouTement* perpétuel^ â'uve 4|6sqiiei!es est « composée d*uDe balle de plomb qui, après éiredesceodne très longtemps le loog iFuiie •« ligue sptiiilc; tombe dansun canon de pi^tulet, qai^ au moyen d'un Ressort comprimé « par la chute de la baire, la tire contre un dôme incliné, qui la fait reJofUir^AiBtJfi «< entonnoir^ d'où elle coule en la ligue spirale^ et toujours de même. »

Ciit appai cil, pour foncliociner lumaie M. d« Brosses Pindique, fcupposerafl qu'UVy a aacmi frottement entre la. balte et la coaito ^iuî la conduit, et que le reesott ^vik la reçoit e&t doue d'une élaMicité parfaite. Mais, en supposant même que ces condiiiono soient remplies^ on peut se demander à quoi servirait l'appareil, et quel travail dispcnihle il permettrait d utiliser. Ce serait un jouet plutôt qu'une machine.

APPLICATION D& ti 'ÉQCATft»? ÏIÉS- FORCES VIVES. m

eertakie quantité dte tra^iK due' aux kii^rfec<4dns de k machine, ii-em{)ècliê;''pÀ8^*kf'^âactÂpn àé v%)ew qùiestle vérltaMe Imt à attôit/dFê; lA^mt égttrdufiè tnitabiiH trèd > iii))[>éiFfaite peul> rendre d'6xo(d)ent»t^eri?iee4v tandis^ cp'une machine dont Je réndemeist est ivès' élevé:peut èti^ empleyéd à* uD' -travail inâosiriel peu rémunératew, onéreux mêmeé >

ACTto^S MtiïUEtl^S bÈ JDiEUX CORPS TôbRNANtS.

273. îNoas <loo»erons ici 00 exemple de l'emploi de Téquatiori ites forcea vites pour déterminer une aetieiJ mutuelle (§270).

Supposons une série de n treuils à ates paraUèleB, auxquels nous donnefonsles "Bumêros 4^ 2, w* n; ces treuils sont liés, le premier au seoondv le 'secoiMi au troisième^ ... le (it^*— 1)^* au n"', par des couirfX)ie8!saD$: fin ou des engrenages, de telle sorte qu-il y ait des rappon^ ocwist^teenire leurs 'vitesses angulaires. On suppose que le pccBMiôE treuil soit «ellicité par une force F^, constante, agissant tangentiellement à uue circonférence concentrique au treuil et ayant QD ray-on 8^ ; Ôe même F,, ¥^s • - ^n sont les forces appliquées aux treuilinf .2< ïi^ 3i -.* vfi n^ «t R^, fe,y .k. R^,, leurs bras de levier, pris respectFrement par' rapport à Taxe de chacun d'eu:^. Les forces F sont positives ou négatives : positives, quaoïâ elles tendent à faire tourner te treuil daiiele sens du' mouvement, et négatives^ dans le cas tioiitiwe.' ' ■•'.:••.' ..■-•, .,...-■

La courroie qm réumt le treuil n"* 1 an treuil n"" â p^sse Sur an tambour de rayon r^ fixé au treuil nM, et sur un autre tambour de rayon W^ fixé au treuil n«» 2; les rayons des tambours qui établissent la transmission du treuil n* 2<au« treuil n"*3: sent r^ sur le treuil n* 2, ei »^, ^r le treuil nr 3^ et? aioei de suitet fe dernièiH^ transmisslbn, eutre.'les treuils n* (n — 1') et n° n, est opérée par une courroie pas- :^nt sur àe» tambours» de rayone Th-i H r^^.

Enfin, on connaît la distribution des masses de tous les treuils, ce qnire^îent à donner i^eur chaettnla-masse m et le rayon de giratloii p; c* deux lettres ayant pour chaque treuil un indice égal au numéro du treuil dana la série.

iÔ8 ^ i^&W€ilî>ÏS' Sifiï0fi4LLÎ?8-

^ CelJt'pbâéj'én ^détfiattQë îalénsion développée dani^'fe'toiinlote'tiûi l réunît te treuîl n^^lfr Atill'eùiln* (t-f 1)v cèsiAftidir^-FeMOte ^^ k

tension du brin moteur sur celle du brin résistant. ' ^^in^n

Nous représenterons par w^, w,, ... «o^les vitesses angulaires des divers treuils; les rapports en étant connus, on pourra remplacer

par les produits . ^ . ^ . , ....

OÙ 'Mfâritéom X idéiit Qoîinus et dépendent des rapp^ts: j^ -

On a en effet successivement : .

^ ^fc+i X ... X ^n-i

Les coefficients X sont les raisons des treuils du premier et du deuxième groupe par rapport au treuil n'* fcet au treuil n'' k + *' d'apjrès kdéfiuitiiMi tifiém^iquedu^mot faiso/i. - .. ' . Coupons ^la courroie .(ft, fc ,+ l),.et appelons T la tension cherchée, puis considérons isolément' les deux groupes tormés, Tùii par le> treuilfe n** 1, n* 2, ... n° &V l'autre par les treiiîls n^ (fc'+ 1), ... n' «. Âppliquops à chaque groupe le théorème des forces vives pour un déplacem'ent angoteire infiniment petit, w^rf^, du treuil n** *. La force vive d'i^n cpi'ps toufifant çtei a une massQ m, un rayon de^ çiration : et une vitesse angulaire w, est représentée par inp'co* ; Taccroissement infiniii>dnt pjgtil-de'la forcevive^ituand la- vitesse t)asse de i^ k is> + di^ v/fist , égal à 2mp*(od(i) ; le demi- accroissement esi mp*a>dci>; le ^premier membre de T équation des forces vive^eât doiif

SO0Un€ î !. I.' 1" 1 ? I» i"m! . 1 • ■)!' ♦■• ':i'< (i' •! •»"' i'i'mJ -ij (tii|-*" ^ (m,p,' V + ^tpV^'i + ^pS^S + ,+ ^k-i P*»-i^ »-i + ^»P*») w'»aa)4;

pour le second groupe,.on, trouverait jde. même ; ..

Ces soûimeâ doivent être* égalées respectivetneht acik ^travaux des forces qui agissqi^tSQrchaotini^» groupes pendant te,4^p}a<VBp)^t que le système a subi ; or ces forces sont^ pour le premier groupe» les forces Fp F,, ... F^ et hrtensioirT; pour le second, la tension — T et les forces Fj+,, ... F^. Les tensions mutuelles des courroies qai précèdent ou qui suivent la courroie coupée, ne figureront ' pas dans le calcul aijonléâ suppose in^tensihles,. parce que les travaux des tensions sont alors nuls. On sait d'ailleurs que le travail élémentaire d'une lorce appli^uëe~à~tm corps tournant est égal au moment de la force par rapport à l'axe, multiplié par le déplacent);, a^ig^r laire du corps :.ojq aura donc pour cette somme de travaux, dans le premier groupe^*

(F, Ri X, + F,R,X, + ..... F»^ Rfc i X^^ + F» R* + Tr») w» di,

dans Je second, '

' ' ' '■• ■' \JJ\.' ' .. .' A^ • ')'• .^M 1 |;( -.. r«,;i

' Calculons deux (nasses auxiliau*es JUl et m. et deux forces auxiliaires * et * , telles que nous ayons les égalités :

•I^lAil^T |)+4?»v+X+ f ni, Rk^ Xfc^, -f .,,.. + FnRn V= \^^^ F^Ri V