DE L'ACCÉLÉRATION COMPLÉMENTAIRE

Çmervons qu'on peut regarder Texpression pvy — qv^ comme le moinçnt, parrapp9rt à OZ, d'une forcé doht tes cbdiposanteà sôWt t>i et v^, et,doiit le point d*applîcatiofi'a'^ûf cObVdonnées/? et y. Si Ton décompose cette force en autant dé forces ^u* on voudra, sfms changer son point d'appUcatipu, la sotùme'déâ'thotnents des composantes est égale ,au moment de la résulta ti tel On teut ensuite considérer en particulier l'expression du moment d'une* composante delà vitesse, comme le moment d'une force dont' les* composantes seraient — p ei—qèi dont les coordohnées séraiéaW'i;'. et v'^; on pourra donc aussi substituer à la rotation «— (o, assimilée à une forte, autant de rotations composantes que l'on voudra : la somme des moments de ces forces, qui ont toutes pour point d'application le point v'., t;'y, sera égale au moment de la force — o).

Ce, principe est souvent utile, et les formules qui nous ont servi J^ Je démontrer n*en sont qu une application.

îiQps ayons décomposé en effet la rotation io en ti*oîâ rotations jl?, y, fypt la vitesse relative v en trois vitesses t;,, Vy^ v,. Avec ces deux gr(>upes décrois quantités, op peut former tfeuf combinaisons tenjfeij'fl^é.es dans le tableau suivant.

" ■""" "V" ' '■■ ifc-^

nolk.

+ Spvy (axe des z).

— 2pt;« (âxedes^).

iA4-^—i ^«Mt^-w»X* I iiiti»iti

— SçDx (âxe des ;).

I » Il —^■Ê»mmmm*m

siH(^,t»y)=x:0^ accéléraUon nulle.

'\-^qv% (friedf^â;).

rrr

-\-hrvz (atedêsy).

— 2rt;y (axe des a;).

flMi(r^Vi)t=(>« accélération nulle.

il' •

tés éléments ^ et t;., considérés seuls, doniveÉit «lie accélération dirigée suivant rûxe dés x\ dans lé sens négatif, et égale à— 2yi>,< et aînàï 'dé àûïte pour toutes lès combinaisoi&s. ^ ' ftfeudissànt par voie d'adidrtion algébrique les aoeélérations par-

:'ij]«i<; i' •■!',

ailles <»aculéj5Sflqur çbaqpe »f^capr49iwétîW'»i?t^lPto)9Wlfts4(lr-

'■" ■' '/ ' * "-• • '"'^ ât^LtcrirtOW' i U 'bTNAklQUE. • "^

209. Si J est raccélératioà totale dans le mouvement absolu d*uii point de masse m, tnl est la force ou la résdltaAte dès forces qui agissent sur ïe point mobile. XiCp produits mji^j^T^'^lw/^x^lfôwWH' . senteront de même dea forces ^ontla rés\iitanta^ei;^é^9J^|i'i9^ conséquent,' m/^ est la résulunt^ de la force n^l.^^ 4ê,d^u^raji^lmi>! forces —m/,, — wy^» égales et coutrai^es aux f^rce%^p^,i^,;0r,fpil]. est égale à la résultante des forces ]:éeUies agissaot^jâuç le p/oniitifiAft^ riel; on f)eut donc traiter un problème de mouvçm)^ ^^' AWmie s'il Vagis^it d'un mouvement absolu, ei) adjoig^i^, ^ii^.l^i^^M réelles quV sollicitent, le point mobile 4eux . focoeg, appafeyteft, §^' voir : la force —m/\» qu on appelle la force diner^ dé^va^nf^^Uet la force —m/V»' qu'on appelle la force centrifuQfi ^0fnpo^é^{'9iéfpi' a pour composantes parallèles aux axes m/obilâs. : . . < < iJ ^/>

Ces feramles permettent de résrâdre tQ^teà les questions de mouvement relatif

300. Un point M« de ;mi[8se ?/)» glisse' sans frottement ie long d'upiç tige^A» Djiobile.daDS,le/plattbdri|ontal autour du point O'; a;vec ime vites^ ^g^Miurec^ilNr^dM^ delà flèche /. Quel

sera le mouyepxent du. piomt?, i . i.^ ; ^ >•

!'• méthoéfi^ ect cop^ijiérjaiV Ici pioayfii^eat relatif du point M rapport à la tigeOA*,, ...... ^ ''

Aï^ttîc Air iON \ il tv^^AMiQuis. 'ô\ 9

h^-mcmvmmVfél^î'éti pùM M est uh mbuvëmerit rectîtigne;| Fig. 179. appelons v la vitesse de de môtiVement.

La force réelle qui agit sur le point est la ^amoio A. féact^op^ nor(nate| JS4fi»ï^ ^g® 0^* Po^r

\ ramener le mouvement relatif à un mou-

V vemei^t absolu, il faut ajây[oindi;e ^ içette — — force les forces apparentes, savoir : '•'i^ -«'I !«"* ' ' laïorcecPipertîeid'entfaînement du point

}&;WDdiSiêré ccfmme Wé aux axes mobiles ; dans ce mouvement d'entfttïAeiieDft, lépo&it M clécrît autour du point 0, avec une vitesse unifWflW,* xifr ^èfèt-clë dont le ray oïl est OM ; et par suite la force d'inertie d'^tiyiîn^ent est ïa Wce centrifuge^ dirigée de M vers A, et égale àtrtéj^^^OM =i: mui^fy en appelant r la distance variable OM ; •ta**ûfrtife'feen'triftige' composée, qui est perpendiculaire à la fois .à

Faâtèipi-oîètêeW'Olcftà'là Vîl^se relative, ou à la droite AO; elle.ôst

f , • ' II».

dû&t -diluée; dans le plan de la figure, normalement à AO; et elle e«t>^}rie^« 2)>tcb*; èàr ici kin (w,!)) =1, puisque Tangle de l'axeOet de»la^Vitêô8«?t)eâtd^oît. r ' . -

Ces trois forces 'ont une résultante égale et contraire à la

force m -^ , qui produit le mouvement du poïnt dans la direction OA ;

pour qu'il en soit ainsi, il faut qu'on a^ sépvément :

àt

'».n *ii»

N = 2 mtùv.

La première est Téquation du mouvement; la seconde donne la valeur de la réaction normale de liai tige.

2* méthode^ en ne considérant que le mouvement iibsolu.

, I» il

?$t I0 point 0 «lenODil deu*' axes rectanguiaîrei» OX, OT; soient aj^OP, y = PM', 1^ c«o#do«yftéeé du point M. On sait qlie ce point est sollicité parimé ïùtce dirigée 8ii|- VâïrtMN; ^Dît N la valeur de la force inconnue; les équations du lûouvement absolu

50» -ii01«M»flnONi /

du point M, seront i '«•(■•jonri; ,ui'<i\v>/.>'ni< nh l^«:^.^•■^^^^''\ j^.o'D

m-T^=— NcosO,

0 étant l'angle variable de OAavecOX.- '^^ '- '' /t-.:,. k- mc\., On a donc aussi

X = r cosô^ i^ = r sîn 0.

Différentiant, . , ,,.

— = — cosO — rsine-jj»

A»ê Af qA «,

•V . ,' , l'^ri

Rempïaçons -y- par. sa valeur —: co, quantité constant? i ..,,.,,:....

dx dr . . . ^ — ; = -T3 008 6 + wr 8in • , Cm at

Différentiant une seconde fois,

• || = gcose4-2u>^sine-,Vrco8a,

OuMenudédàit donc

m-2^C0864- 2m*)^ éltt6uÛ7fttà«'rteO80 = N8in6,

^Multiplioç§.l2^ pfemièirp par cos ,6,. Ia,8eçQ»de par slin4 «t ajoutons; l'équation résultante se réduit à

A Dà nVSàJflQVE.

C'tst Téquationdu mouvement, identique à .uioy.^ .^/ )iy" <

av..

OC .. îi,

Si on multiplie la première équation par sin 0, la seconde par ces 0 qu'on retranche, il viendra 70 . /$ /v; •. » !:; /v ,'iM,f i »p : , :

2mfa>v = N,

ir-r lU ."/■«' r i, ■•;

jrj:';r'' "'«'!'!!

valeur de la réaction normale déjà déduite, par l'autre méthode, de Texpression connue de |atferce oeâtrifuge composée.

Ce problème fait bien voir que la force centrifuge n'est qu'une force fictive ou apparente; la force N est seule réelle, e6\elle sui&t pour expliquer 16 mouvement pris par le point mobile. ^

APPLICATION DE LA THÊimB. OU MOiPVfillEBn: 'ftELATIF A l' ÉTUDE DBS MOUVEMENTS OBSERVÉS A LA SURFACE DU GLOBE TERRESTRE.

SOI. Soit PF Taxe autour .duquel tourne^ la t^e, de l'ouest à

-__^?:. ^ ..JSEW^>UpdeVéqûi^

G, le centre du globe ; 0, un point quelcon^oià^rki.-ftunfiaae'du globe; nous le supposons situé dans l'hémi-

.^pMdre^ bocéal (.^î'** ^ « < ,

OZ la directioa de la vertice^ en ce point. La verticale est la direction '^ la pesanteur^ c'ést'à-dire de la résultante de l'attraction du ^ •-> éîôbé téfreôtrè et 2de laïoré^ 'dlnertie (iW

1 M»î» » '»<- '-.'n; . Vr

(*) Les fonnoles comprennent 4«^m bù ii poic^ finit au lad de réqoateor. U lafflt d'i ehtoger le signe de la laUtnde.

im INFLUENCE « BB tIA ROTATION

ti^infifiestv irotxte te'/bV^ cé9^trifi»§e é» ii kiirdlatibp/iiilifiMiqaie là terre. L'accélération g, diS^Jyia;pe^ailtebr^'estdeim6ÉS(éila,3é9àl^ tante des accélérations dues à ces deux forces, attraction terrestre et force centrifuge. .^, ^ .< mvl l. ; - ,x

Rapportons le mouvement du pç^int mobile à troja\axes rectangulaires, OX, OY, OZ. Léà axes OX et Oï sbhiÈ dirigés flans le plan ho-

rizontal au point 0; Taxe OX est dirigé ver? le çorc^fet J'axe OY v Test. L'axe OZ est vertical;' et dirigé de haut en bas:''

Un point libre^,4« m,9^mi. 9^^ ^o^w^lémx.im^p^lf^ipBBaûtï' teur, égalç^ ^ .^jr ç^^idgé^ .parîïHètewentvJ|.OZ^jvet la^\foncè45QDtiîfu^ cmsf^^pi^gp^^ç^ V^^ à^Ç^^ia^f9&^ ^îtYAntilâfi treÎB âj^y Inàott^ posantes de cette force sont v\> -

Z = 2m(gt?« — prj.s.

Soient x, y^ z les coordonnées du point mobile; nous pouvons remplacer dans ces formules lès prôjecôons des vitesses sur les

dx dy dz . . . >

axes par ■^, -j^, ^; observons dc>pfaa:gti* la rotation w de la

terre autour de la droite PF a pour senaJf'P ou OF; décomposée suhpaût-ie»0xefi,ièlle «ôra pôul^ ^Jôrn^osaniji^ ^ ''-* ' ' - ' *>tj ri >1

p = (O CCS A, *

r = — w sîn X. ^

iM composantes da la foroe cemrifuge cwnposée sont donc

t as^e^caSinX ^f

dt Y =- am« (^ co«X + ^ «in x)

Z = — 27n(^)lcoRX:^.

Les équations du mouvement relatif dflt^ipoliiiiifioiliiè' iéMte^^ *

soIbeitev:feJMAmati«£»ted6'I&|}e^ .\ /ii: i I . <

?n -^ =X'--2mcasinA^, ,1:: '■'':• •;.» m

jw -ny = ^ + ^5^ — zmw cos A --^,

-IteusiaipptiqseFmis cesIbrMdesàtrois^as ^

4^. ^lUviatiûtt^dê» torp^ ' ^' ftmtA^nf yf t/hé grànié haïiieUf^. 4in)iearai X î:« ï' ^itr Z' i:t:i' 0 ; on remarqneî'à de plu3 que le» i^Uèsëes

<fcc du • , i ■ - . "

^ ' 7^ ^^^^ nécessairement très petites ; effaçant les termes qui les

contiennent en facteur, on aura pôui* équations approximatives du mouvement

-3-g. = 2mto) -yi ces Xj

'/•.•"Vi;- '''■ -^'^

De la troisième on tire -yi^Sh san^ constante; 'si. le ^ corps pari

du repos ati moment où l'on jEait commencer le temps. Cette valeur, substituée dans la seconde équation, donne

-^ = 8«^f cosX;

d'où Ton déduit, sans ajouter de constante,

valeur,^ I»< cjfcMOwi i^ l'dtt.. <i -