DES EAUX COURANTES

l'on demande le rayon de giralion par rapport à une droite GN passant par le point ff , il suffira de prendre la distance MP à cette droite

pjg 159 GN du point M, extrémité du dia-

\ mètre conjugué GM à la direction

GiN. On aura MP = cc„, et le moment d'inertie nf)rfnal du système ^ par rapport à GN sera égal au pro-

duit

Mx MP*,

ou encore, sera le m^me que si toute la masse des points donnés était concentrée en un point quelconque de la tangente MT, parai-

lèle à GN.

^ Pour passer des moments d'inertie normaux aux iromenls d'ineriie obliques, les distances étant prises parallèlement à une direction donnée, on observera qu'il suffit de substituera MP, distance norniale des deux parallèles GM, MT, la dislance des deux mêmes droites mesurée suivant l'obliquité voulue* Eu effet, les distances obliques se déduisent des distances normales en les multipliant parun même facteur, égal à l'inverse du cosinus de Fangle c mpris entre les normales et les obliques, et ce facteur affecte de la même manière les distances individuelles et la distance moyenne MP. Si donc on mène par le point G une droite GK parailèle à l'axe des y, et qu'on détermine le point K où elle rencontre la

tangente MT, la somme V fw,(î/, — aXi — 6)% prise par rapport à la

droite GM » sera égale au produit

MxGK\

^ Le minimum de la somme correspond au minimum du segment GK. Or le point R, appartenant à la tangente à l'ellipse au point M, est situé en dehors de l'ellipse, et le minimum de GK a lieu lorsque le rayon GM coïncide avec le rayon GK, c'est-à-dire lorsque la droite GN est le diamètre conjugué de la direction donnée GK ; car

€n HOtlVBUEMT UNlFdRIIB

alors le point K e(ri[neide avec le point M , et tombe rar Petlipse même. On en dédait ce théorème, dû à M. Jong :

La droite qui rend minimirnî le moment dCineriie oblique^ les distanees ilant prises parallèlement à une direction donnée^ est le diamètre conjugué de eeUe direction dans t ellipse centrale dUnerlie,

Si Ton demandait de rendre minimum la somme des produits des masses par les carrés des distances prises normalement à la droite cherchée, il faudrait faire coïncider cette droite avec le grand axe de l'ellipse d'inertie.

Cette théorie trouve son application dans Thydraulique pour la résolution des problèmes auxquels nous avons renvoyé. Le facteur m, à attribua au point n** i peut être un coefficient de précision, si les observations ne présentent pas le même degré d'exactitude ; si la précision est la même pour toutes, on fera tous les coefficients m

égaux à l'unité. On peut aussi poser d'une manière générale m,=— ,, et alors ta somme S deviendra

OU la somme des carrés des erreurs relatives; c'est cette somme qu'il importe, en général, de rendre la plus petite possible;

S72. Le problème est ramené dans tous les cas à la oonetruclioD de l'ellipse centrale d'inertie d'un système de points donnés dont les masses sont connues. Il est très facib de réduire ce problème à la recherche du centre de gravité d'un système de points situés dans an plan. Supposons d'abord qu'on ait trouvé les coordonnées du point G, centre de gravité des points donnés. Faisant passer par ce point deux axes rectangulaires, on aura à déterminer les trois sommes

^wia;', ^my*, ^mxy,

qui suffisent pour définir l'ellipse d'inertie. Prenons arbitrairement une longueur a, et posons

Les quantités a?', y", z' pourront se déterminer graphiquement avec

teftueoij^ de £stcilit6 en fonctkm de ds et de y. Mttltipiîant par m e^ ajotitant, ii ykBdn

de dorte que fai recherche des trois sommes se ramèse à la recherche du centre de gravité des points de masse m qui ont pour coordwnées d/ et y', et à la recherche de l'abscisse du «entre de gravité des points de masse m tqui cmt pour dsscisse la quantité t'. On a donc en définitive à chercher !• le centre de gravité G des points donfiés ; 2» te centre de gravité des points qu'on en déduit, {x\ y'); 8* l'abscisse du centre de gravité des points d'abscisse «'.'La recherche de ces centres de gravité se fait aisément par la composition de forces parallèles, qu'on abrège encore par remploi du polygone funiculaire (Résistance, § 288) . Il en faut uq pour déterminer l'une des coordonnées du point cherché. En somme, le tracé de l'ellipse d'inertie et de la droite y = «a: + fr qui s'en déduit, suppose seulement Templei de cinq polygones funiculaires.

La solution donnée par M. Jung est susceptible de nombreuses extensions, pour lesquelles nous renverrons à ses notes du 4S et du %9 avril 1880 à Xln$iiLvA Lombard.