RÉGIME PERMANENT
56. L'étude du régime permanent fait l'objet principal de l' hydraulique.
RËGFME PERMANENT. ^»
On dît que le mouvement d'uu fluide est permanent lorsqu'à toute époque et dans toute la masse en mouvement, les molécules qui cassent en un même point géométrique sont animées des mêmes vitesses, en grandeur et en direction, sont soumises à la même pression, et possèdent la même densité. Ce phénomène peut s'observer à peu près, lorsque l'eau s'écoule par un canal ou par un
tuyau, dès que le régime est établi. Alors chaque portion de liquide qui abandonne une région géométrique s'y trouve remplacée par une portion semblable, placée dans des conditions tout à fait identiques. Pour introduire cette hypothèse dans les équations générales, il suffit d'exprimer que les cinq fonctions ti, «, to, p, p, sont indépendantes de la variable t. L'hypothèse de la permanence revient donc à faire nulles toutes les dérivées partielles de ces fonctions par rapport à (, ou à poser
57. On peut déduire dans ce cas des trois équations (1) le tliéo> rème fondamental de l'hydraulique, le théorème de Daniel BernoulU.
Les trob équations (1) deviennent, après suppression des dérivées partielles relatives à ^ qui sont nulles d'elles-mêmes,
^ i dp du , du ^ du ,
p dx dx dy dz
- i dp dv , âv , dv , p dy dx dy dz
- i dp dur , dw , dtBj .
p dz dx dy dz
Multiplions la première par dx, la seconde par dy^ la troisième pai àz; nous admettrons encore qu'on ail Xdx + Idy + Zdz=dT, T étanj nne fonction des coordonnées œ, y, z, où cette fois le temps n'entrera plus ; l'addition des ti*ois équations ainsi multipliées donnera
THËORËME
Fig. 35.
pour résultat, dans le premier membre, les deux termes dT ^,
et cela, quels que soient les multiplicateurs infiniment petits dx^ dy^ dz. Mais pour la transformation du second membre, nous attribuerons à dx^ dy^ dz, les valeurs définies que prennent ces diiïérentielles loi'squ'on les détermine pour r une même molécule M parcourant sa trajectoire BIM'; cela revient à faire dx=tuity dy=vdt9 dz=u)dt; nous aurons donc le long de la trajectoire MM'
Téquation
Or
donc
dJ 2 = u'udt -f Vvdt + w^wdt.
u'dt=idu^
tfdt == dv,
tD^di^dvf;
<IT
udu + vdv + wdw = - d(tt' + 1?* + ir*)
= 5rf{V*) = VdV,
en appelant Y la vitesse de la molécule. On obtient ainsi Féquation diflTérentielle
VdV+^-dT = 0.
Cette équation est intégrablei que le fluide soit un liquideboiâogëne, ou un gaz à température constante.
Si c'est un liquide homogène, p est constant, e( rintégration donne
-S- + t — T = constante.
Si c'est un gaz à température constante, on a entre p et p la
DE DANIEL BERNOULLl. SI
relation i) = Kp, K étant un coefficient constant ; donc -^ = — -,
? P dont l'intégrale est K log. nép. p* L'intégration conduit dans ce
cas à réquation :
•^ + K log nép. p — T = constante.
Le théorème de Bemoulli résulte de l'application de la première de ces deux équations aux liquides pesants. On a alors, en prenant pour Taxe OZ une verticale ascendante,
Donc
dT= — ^rcîaî, et T= — ^rjf.
Introduisons cette valeur de T et divisons par g^ nous trouverons
H étant une hauteur constante, et n désignant le poids spécifique du liquide.
58* Ce résultat est susceptible d'une interprétation géométrique. L'ordonnée z est la hauteur d'un point pris sur la trajectoire de la molécule liquide, au-dessus d'un plan horizontal arbitrsdre ; c'est
la cote de hauteur du pdDt considéré ; ^ est la hauteur représentative de la pression p^ estimée, comme en hydrostatique, en colonne de liquide ; x~ £st la hauteur due à la vitesse Y de la molécule liquide qui passe au point considéré. Ces trois hauteurs s'ajoutent pour donner une sonune constante.
Soit AB la trajectoire d'une molécule; AB sera aussi un filet
