DÉMONSTRATION DIRECTE
vement permanent, en une hauteur — . due à la vitesse des molécules
liquides à leur passage en ce point. Mais la constance de la hauteur du plan de charge n'est assurée que tout le long d'un même filet.
59. L'élimination qui nous a servi à déduire le théorème de Beraoulli des équations générales, n'est autre que celle qu'on fait en dynamique pour établir le théorème des forces vives. Le théorème de Bernoulli peut, en effet, se démontrer très simplement par Tapplication du théorème des forces vives, sans qu'on ait besoin de poser d'abord les équations générales de l'hydrodynamique. Soit AB une portion de filet liquide, de section très petite, animé i^»«- **• d'un mouvement permanent. Ap- ^=^:5::;^^ pelous Ci) la sectiou normale du ^^^^ filet au point A, w' la section nor- Nv maie au point B; p et p', les pres- ^ sions par unité de surface en A '^^ et en B, enfin V et V, les vitesses
Z^j i p'^'/ des molécules liquides en ces /^ mêmes points, vitesses qu'on supposera communes à toutes les molécules liquides qui traversent une même section, à cause de la petitesse de cette section.
Nous pouvons appliquer le théorème des forces vives au système matériel AB. Les forces dont les travaux entreront dans l'équation seront la pesanteur et les pressions extérieures au système. Il n'y aura pas de travail des forces intérieures à évaluer, parce qu'on suppose le liquide dénué de viscosité et incompressible. Dans ces conditions, le filet AB glisse sans frottement sur les filets voisins, et ceux-ci exercent sur lui, normalement à sa direction, certaines pressions dont le travail est nul.
4a bottt d'un temps 0, infiniment petit, le système AB s'est déplacé, mais en vertu de la permanence, il s est déplacé dans sa propre direction. La section A est venue en A', à une distance AA' = VO de sa position primitive ; la section B est parvenue en B', après avoii* parcouru ane disi:uKe BB' = VO. la pressian suc l'aire A est égale à
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ptù ; le travail de cette pression est donc pt^ x VO, et il est positif. La pression en B est égale à p'iù\ et son travail est négatif et égal à
Observons ici que a>V6 est le volume liquide écoulé pendant le temps 0 par la section A, c'est-à-dire le volume compris entre les sections A et A'. De même, wTO est le volume BB'; le filet fluide, dans ses deux positions successives, AB et A'B\ a une partie commune A'B; et comme à cause de l'incompressibilité, il occupe le môme volume dans ces deux positions, le volume AA' est égal^au volume BB'; en d'autres termes, wV = wT.
Le produit coY représente le volume écoulé par la section A dans un temps égal à Funité. C'est ce qu'on appelle la d^ense du filet. Elle est dans le régime permanent constante pour toutes les sections. Nous la représenterons par Q. Les travaux des pressions seront donc égaux àjoQO— /?'Qe= (p— p')QÔ-
Le travail de la pesanteur sur le système AB s'obtient en multipliant le poids total du système par le déplacement Vertical de son centre de gravité. Au lieu d'appliquer directement ce théorème, nous pouvons remarquer qu'il est indiflférent, au point de vue du travail cherché, de supposer que le système AB se transporte en A'B', ou que le volume liquide AA' passe en BB', la partie commune A'B restant immobile. De cette manière, on voit tout de suite que le travail de la pesanteur est le produit du poids du volume AA' par la différence, Aa — Bé, des hauteurs des sections A et B au-dessus d'un mènae plan< horizontal PP. Le volume AA' est égal à QO ; le poids correspondant est donc nQO; et appelant z l'ordonnée Aez, s^ l'ordonnée B6, nous aurons pour le travail de la pesanteur :
Tous les^ travaux des forces étant ainsi évalués, il nous reste seulement à trouver l'accroissement de la demi-force vive.
Le système matériel, dans ses deux positions AH et A'B', a une partie commune A'B, et dans cette partie, les mêmes points géométriques se trouvent occupés aux deux époques par des molécules de
DE DANIEL BERNOULLl. 85
même massCt et animées de vitesses égales. Donc à cette partie/ commune ne correspand, dans le passage d'une position à l'autre, aucune altération de la force vive; par suite, il suffit de considérer l'échange de la masse AA' contre la masse égale BB'.
Le poids commun à ces deux masses est nQB; la masse est -QB; la
y première, AA', est animée d'une vitesse Y, la seconde d'une vitesse
V; la première a donc une force vive égale à -Q8 x V*, la seconde
- QB X V* , et le demi - accroissement des forces vives est
égal à
^ÛO(V'«-.V«).
L'équation des forces vives s'obtiendra en égalant cet accroissement à la somme des travaux des forces, ou en posant
^ Qo (V»- V) =nQ0 [2^z') -h (p-p') Qo.
Divisons par IIQ6, poids des volumes liquides AA', BB', et nous aurons l'équation
ou bien, en groupant dans le même membre les quantités relatives à une même section,
ce qui indique que la fonction 1" n "^ ^ ^^* constante pour
toute section d'un même filet, ainsi que nous l'avions déjà obtenu au moyen des équations générales.
60. Sous sa première forme, l'équation de Daniel Bemoulli nous
86 COLONNES PIÉZOMÉTRIQUES.
apprend que la vitesse au point B du filet liquide AB est égale à celle qu'aurait un corps pesant partant du repo$ et tombant librement
d'une hauteur [- {z — ^) + („ — „)' ^^ ^^®^ ^^^® qu'aurait
un corps pesant tombant libxemmt de la hauteur (z — sf) -j- f ^ — y-\ ,
maift Ismcé. au point de départ ayec une vitesse égale à Y. La hauteur de chute qui engendre Taccroissement de vitesse des molécules ' liquides n'est donc pas la hauteur ka — Bô, dont elles tombent
effectivement, mais la hauteur (^ + n) — (^'+ n) ^^"^P'^se entre
les sommets des colonnes liquides élevées en A et en B pour représenter les pressions qui s'exercent en ces deux points.
On donne à ces colonnes liquides, dont la hauteur ^ représente
une pression />, le nom de colonnes piézomélriques. En hydraulique^ Fig. 39. un piézomètre est un tube MN, ouvert aux
deux bouts, qu'on insère en un point M d'un filet liquide en mouvement, AB, et dans lequel s'élève librement une colonne de liquiJe en repos; la hauteur verticale RS de cette colonne mesure la pression du filet au point M, abstraction faite de la pression atmosphérique. Les indications du piézomètre ne peuvent jamais être parfaitement d'accord avec la théorie, parce qu'il est impossible d'appliquer un pareil tube à un filet en mouvement sans apporter une légère perturbation au mouvement qu'on se propose d'étudier.
En introduisant ces définitions dans l'énoncé du théorème de BernouUi, on pourra l'exprimer ainsi : La différence des hauteurs dues aux vitesses en deux points dun même filet est égale à la différence d altitude des sommets des colonnes piézométriques élevées en ces deux points^ ou plus simplement, à la dénivellation piézométriqta de t un de ces points à t autre.
