DE BORDA

Ilo

Donc

et

Cl)

Fîg. 49.

75. Cette démonstration suppose, que la paroi d'où s'échappe la veine liquide est verticale. Mais il est aisé de la modifier de manière à ce qu'elle puisse s'appliquer à tout autre cas; la conclusion est toujours la même.

Soit BL le profil de la paroi que nous pouvons supposer plane aux environs de l'orifice FC ; CDEF est l'ajutage rentrant, et EHGD la veine liquide qui s'en échappe. Le centre de gravité G de la section contractée est un point voisin du centre de gravité de l'orifice.

Prenons pour axe de projection la droite XX', élevée perpendiculairement au plan de l'orifice par son centre de gravité.

Isolons par la pensée, au sein de la masse fluide, un cylindre circulaire MNPQ, ayant pour axe la droite XX', et terminé d'une part à la paroi MN, et de l'autre à un plan quelconque PQ. Les dimensions de ce cylindre sont supposées assez grandes pour que le liquide situé sur toute sa surface soit sensiblement en repos, et que les pressions y soient distribuées par conséquent suivant la loi hydrostatique; nous savons d'ailleurs qu'il en est ainsi le long de la paroi, en CM et FN, à cause delà présence de l'ajutage.

Appliquons le théorème des quantités de mouvement à la masse ainsi définie. Négligeant les vitesses en PQ, qui sont très faibles, nous tf aurons à tenir compte que de la quantité de mouvement de la masse GHH'G', égale à

UG AJUTAGE RENTRANT

ce sera l'accroissement des quantités de mouvement projetées pendant le temps 9 , égal à la somme des impulsions des forces projetées, c'est-à-dire à la somme des impulsions des pressions et de la pesanteur.

Les pressions sur la surface convexe du cylindre et sur celle de l'ajutage sont normales à Taxe et ne donnent rien en projection.

Les pressions sur PQ ont pour résultante une force normale à PQ, et par suite parallèle à l'axe, et égale au produit de la surface de la base PQ par la pression en 0 sur son centre de gravité (§ 23). Appelant S la surface PQ, et z la distance du point 0 à la surface libre, on aura pour cette résultante (j!?q+ Hz) S. La résultante des pressions développées sur l'espace annulaire CM, FN, sera de même exprimée par (p^-\- nA) (S — A), en appelant A Taire de l'orifice. La résultante des pressions exercées sur la veineet-dans la section contractée est, comme nous l'avons vu, égale à pji. La somlne de a?s impulsions projetées est donc

[fpo + nzy s - (2J, + CA) (S -A) — p,, A]e = n {[z — A) s + AA] 0.

La pesanteur a pour impulsion le poids R du volume PQMN de liquide, multiplié par 8, et projeté sur l'axe XX'; appelons a l'angle de la droite XX' avec la verticale, angle égal à l'angle du plan delà paroi avec le plan horizontal ; le volume de liquide contenu dans le cylindre MNPQ est égal à SxOG; le poids de ce liquide est donc S X OG X n, et enfin l'impulsion de la pesanteur est

S X OG X n X 0 CCS a.

Mais OGcosa est la projection de OG sur la verticale, c'est-à-din^ la différence ft — z des niveaux des points 0 et G. L'impulsion de la pesanteur devient donc

n(A — 2)so,

et nous obtenons l'équation

? cur*0 =. n [(« — A) S + A A] e +n (A - z) so,

qui se réduit i

ou encore à

ce qui donne enfin

DE BORDxl. 117

•> = -A et 771 = -

Ici donc, le coefficient de contraction est entièrement déterminé, parce qu'on a pu faire usage à la fois du théorème des forces vives et du théorème des quantités de mouvement projetées. On ne peut pas appliquer la même méthode au cas de l'écoulement en mince paroi, parce que les molécules liquides qui glissent avec une grande \itesse contre cette paroi, y exercent des pressions moindres que les pressions hydrostatiques ; elles ne font donc pas équilibre aux pressions développées sur la paroi opposée du vase, et par conséquent, au lieu d'arriver à Téquation

5 wi«0 =5 HA/tO,

00 parviendrait à une inégalité

- toi;"e > n AAO ,

indiquant que i* accroissement de la quantité de mouvement est due à une force supérieure à la force IlAA. On en déduirait -r > ô* ^*^^" périence conCrme tous ces résultats.

76. Le coefficient m peut donc être réduit à 0,50 par une disposition particulière de Torifice. On peut aussi le rapprocher beaucoup de l'unité. On y parvient en adaptant à l'orifice un ajutage extérieur qui ait exactement la forme de la veine entre l'orifice en mince pa<* roi et la section contractée. La veine sort de cet ajutage par filets pa-