PERTE
Fi{r. 5J.
Appliquons ce lemine au mouvement du système matériel compris
entre les plans BG et GH. Au bout du temps 6, ce système occupera la position B'C'G'ir; pour appliquer le théorème des forces vives, il faudra retrancher la demi-force vive de la poition BGC/B', de la demi-force vive de la portion GHH'ff. Soit Q la dépense pendant Tunité de temps; la masse de ces
deux portions est égale à , et par
suite l'accroissement de la demi-force
vive est
1 nQo
Les forces dont il faut tenir compte sont la pesanteur, les pressions en BG et en GH (les pressions développées dans les région^ EB et GF ne produisent aucun travail, puisque leurs points d'application restent immobiles), et enfin les forces moléculaires dont le travail, en vertu du lemme précédemment établi, est égal en valeur absolue à
Le travail de la pression enBG est positif et égal à jo,wxw9=;>,Q^J - Le travail de la pression en GH est négatif et égal kp'Qxv'^=pii^i.
Le travail de la pesanteur est équivalent au travail développé par le passage du poids BGG'B' à la position GHH'G', ce qui donne en définitive nQ^x{z—z').
Donc enfin nous avons Téquation :
V if
Divisant par IIQÔ, il vient Téquation déjà trouvée,.
Pi lï"
ff
DE CHâKGE. 129
OU bien
84. L'analogie de cette formule a\ec celle du choc direct de deux corps dépourvus d'élasticité est facile à reconnaître. Soient m et m' les deux masses de deux sphères animées, Tune, d'une vitesse t», Tautre, d'une vitesse v', toutes deux parcourant la même droite dans le même sens, La vitesse u du centre de gravité du système sera égale à
Or on sait
1" Que le mouvement du centre de gravité d'un système matériel n'est pas altéré par l'action des forces intérieures ;
2° Que la force vive d'un système matériel peut se décomposer en deux parties : Tune est la force vive de la masse entière supposée tunceutrée au centre de gravité ; Tautre est la force vive correspondante au mouvement relatif du système, par rapport à des axes doués d'un mouvement de translation égal et parallèle à celui du qentre de gravité.
En vertu du premier théorème, si les deux sphères se choquent, le mouvement du centre de gravité ne sera pas altéré, et comme on Adjiet que le défaut d'élasticité des sphères est tel qu'elles se meuvent d'un commun mouvement après le choc, la vitesse de ce mouvement commun sera nécessairement celle du centre de gravité, c'est-à-dire la vitesse u.
En vertu du second théorème, la force vive du système avant le choc est égale à
Après le choc, elle est égale à
THËORIE
Donc il y a une force vive perdae égale à
m[t — tt)* + m\u — ©')••
Pour appliquer ce résultat à une veine liquide qui tombe dans un vase rempli â*une eau animée de la vitesse t/, il faut admettre que wl est assez grand par rapport à m pour que ti soit très senâblement égal à v'; on a alors u — 1'=0, et la perte de force vive se réduit
Si la veine affluente animée de la vitesse i> tombait dans une masse liquide animée d'une vitesse v' non parallèle à ç, on réduirsdt encore au repos la masse liquide en communiquant à la veine une vitesse fictive, égale et contraire à t' ; de sorte que tout se passerait, au point de vue de la perte de force vive, comme si une masse liquide immobile recevait une veine affluente animée de la vitesse résultante des vitesses r et — v'. Si l'on appelle u cette vitesse résultante, la perte de force vive par unité de temps sera mv}^ m étant la masse écoulée
dans l'unité de temps, et ^ mu^ sera le travail développé dans le même temps par la viscosité du liquide.
AJUTAGES CYLINDRIQUES.
85. Soit CD un orifice ouvert dans la paroi, BL, d'un vase où le liquide est entretenu à un niveau constant A'B. A cet orifice on
Fig. 54.
DES AJUTAGES. 131
adapte un ajutage cylindrique^ ou fragment de tuyau GEFDt de même diamètre que rorificBi et dirigé horizontalement. Ce tuyau a une loDgaeur, CE, au moins égale à une fois et demi le diamètre, GD« de l'orifice {*). Dans ces conditions, on constate que la veine liquide, après avoir coulé quelques instants sans toucher la paroi intei*ne de Tajutage, s'élargit bientôt et sort ensuite à g^eule-bée^ ou i plein ruyou, par Forifice EF. Le mouvement pernument est alors établi; on mesure la dépense de T orifice , et , au lieu de la trouver égale à
0,62 X A \/2ghy
valeur correspcuidante à l'écoulemaiit en mince paroi, on la trouve plus grande et égale à
0,82A\/2ÎgrÂ,
A étant toujours la sectioade Torifice CD, ou du tuyau EF.
L'élargissement que Ton a constaté dans la veine résulte de T entraînement de Tair qui se trouvait compris, au commencement de l'expérience, entre la veine et la paroi interne du tuyau. La pression dans l'ajutage décroît graduellement à mesure que Taîr est entraîné, et la veine fluide en s' élargissant vient en remplir la section. Le mouvement des molécules liquides continue néanmoins à se faire suivant des trajectoires courbes, qui les amènent toujours à passer
(') G€ rapport d'une fois et demie doit être considéré comme une limite extrême, aude^ftotts de laquelle récoulement à gaeule-bée n'est pas possible. Des ex()ériences récentes, laites à Palerme par M. Bficheie Gapitè^ ont même montré que, sous une faible charge de 0*.lSj l'écoulement ne s'établit pas à plein tuyau dans un ajutage de 0".0S de longueur et de 0*.03 de diamètre. Le rapporti-limite dépendrait donc de la hauteur du plan d'eau dans le réservoir. Les expériences de M. Michèle Capitd ont porté sur des ajutages de 0*.03 et de 0*.03976 de diamètre, dont les longueurs Tariaient de 0".10 à 3". Les grandes longueurs changent le phénomène; au lieu d'un ajutage, on a affaire à un tuvaa où le frottement des parois joue unr61e. C'est pour pouvoir éliminer cette complication qoe la théorie des ajutages Impose au tuyau la condition d'être court. Les premières expériences de M. Capitô ont été publiées dans les Atti dcl coUcgio degVlngegneri ed Ârekitetti di Palermo, 1878«
132 AJUTAGES
dans une section contractée, HG; mais, plus loin, la section augmente brusquement, et prend la dimension MN, L'intervalle annulaire CHM, DGN, compris entre la veine et le tuyau, se remplit d'eau sans vitesse, ou d'eau morte, qui maintient tout autour de la veine •> une certaine pression moindre que la pression de l'atmosphère, et il
y a de HG et EF une perte de charge, due au changement brusque de la vitesse entre les sections voisines HG, MN, et à la rupture du parallélisme des filets.
Pour soumettre cette question au calcul, appelons A la section de l'orifice CD, et w la section contractée HG; soitr la vitesse du liquide en IIG, t?' sa vitesse en MN, ou en EFà la sortie du tuyau. Soient enfin p^ la pression atmosphérique, p la pression du liquide dans la section HO, et p' la pression en EF, pression que nous regarderons d'abord comme différente de p^, pour prévoir le cas ou le tuyau EF ne déboucherait pas dans l'air libre.
Prenons pour plan de comparaison le plan horizontal ZZ' mené par Taxe de l'ajutage, et appliquons le théorème de BernouUi ; nous aurons, entre le niveau AB et la section contractée HO, l'équation
^ n 2^ ^ n* et entre la section HG et la section EF,
en tenant compte de la perte de charge.
Appelons m le coefficient de contraction ou le rapport ^ ; les vitesses v et v' sont entre elles dans le rapport inverse des sections ; donc t) = — . Des équations précédentes on déduit :
et par suite
