EFFET D'UN ELARGISSEMENT BRUSQUE

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des forces intérieures n'est plus négligeable comme nous Favons supposé jusqu'ici, et le théorème de Bernoulli doit être modifié par Taddiâon d'un terme qui corresponde à ce travail.

81. U perte de forces vives peut s'évaluer en appliquant au syâtèuie fla'de le théorème des quantités de mouvement projetées. On choisît ce théorème parce qu'il élimine les actions intérieures, lesquelles sont inconnues ici. C'est aussi ce théorème qu'on emploie pour étudier le choc des solides dans la mécanique rationnelle.

Soit ABCD un orifice par lequel s'écoule une veine liquide; on suppose que l'orifice soit disposé de telle sorte qu'il n'y ait pas contraction h la sortie (§ 66) ; la section BG débite Teau par filets parallèles, perpendiculairement au plan de cette section. La veine jaillissante est reçue dans un tuyau EFGII, de diamètre plus grand qne la section BC.

Ce tuyau est fermé sur toute la couronne annulaîie EB, CF, comprise entre la veine et sa ])aroî latérale.

A une petite distance de l'orifice BC, on fait dans le tuyau une coupe GH, parallèle à cet orifice, et l'on constate * 2' que l'écoulement se fait dans la sec-

î'on GH par filets parallèles, dirigés normalement à cette section. Eotre les plans BC et GH, il y a donc des tourbillonnements de iquide qui détruisent le parallélisme dos filets, et qui donnent nai.^sance au travail moléculaire dont on se propose de chercher la valeur.

Considérons à un certain instant le système matériel compris ntre les plans EF et GH; il se compose de deux parties : l'une, re- .ré'^ntacnt la veine qui sort de BC et la veine qui traverse GH, est animée de vitesses perpendiculaires aux plans de ces sections; i autre partie n*a pas de mouvements bien définis, mais on peut admettre que son mouvement général consiste en oscillatioiis pea sen-

\2i EFFET

sibles qui la laissent à peu près à l'état d'immobilité. Cela revient à admettre, pour ainsi dire, dans l'eau qui occupe le fragment de tuyau EFGH, une porûonvive, alimentant la veine, et une portion morte, qui reste immobile. L'écoulement en BG se faisant par filets parallèles» nous en conclurons que la pression de l'eau morte qui touche au plan EF et la pression de l'eau vive satisfont aux lois de l'hydrostatique (§64), et nous adopterons uçe pression moyenne y^ pour tout le liquide qui baigne'la section EF.

Appelons p* la pression moyenne qui règne dans la section GH où l'écoulement a aussi lieu par filets parallèles, ce qui rend encore l'hydrostatique applicable, et écrivons l'équation des quantités de mouvement pour le système matériel compris entre ces deux plan?, en projetant tout, forces et quantités de mouvement, sur un axe XV parallèle au tuyau ; les quantités de mouvement se projetteront sur cet axe en vraie grandeur.

Soit (I) l'aire de la section BG, et Û l'aire de la section GH, qui est aussi Taire de la section EF. Cherchons l'accroissement des quantités de mouvement pendant un temps très petit, 8, pendant lequel les sections BG, GH, viennent en BG', G'H'. En raisonnant comme nous l'avons toujours fait en pareil cas, nous verrons qu'il suffit tie retrancher la quantité de mouvement de BGG'B' de la quantité de mouvement de GHH'G'. Appelons t? la vitesse en BG, et «' la vitesse en GH; l'accroissement des quantités de mouvement sera égal à la différence

OU bien en observant que ûî;' = <o« = Q, dépense par unité de temps,

Les forces extérieures qui agissent sur ie système sont la pesaii teur et les pressions.

Le poids total P du système est le poids d un cylindre liquida ayant pour base û et pour longueur Ë6 ; c'est donc DÛ x £6 ; l'im j

D'UN ÉLARGISSEMENT BRUSQLE. l2o

pulsion de cette force est IIUxEGÔ; elle est dirigée suivant la verticale, et fait avec Taxe XX' un angle a, égal à l'angle que la verticale fait avec le tuyau. Pour la projeter, il suffit de projeter EG sur la verticale, ce qui donne EG cos a, ou la différence de hauteur des points E et G, pris sur une même génératrice du tuyau, ou encore la (lilïérence de hauteur des centres de gravité N et N' des sections égales GH, EF. Désignons par z et z' les distances des centres de gravité M, N des sections BG, GH, au-dessus d'un même plan horizontal m. Les points M et N ne sont pas généralement situés sur une parallèle à XX'; soit donc h la hauteur verticale du point M audessus du centre de gravité N' de la section EF ; nous aurons

EGcosa= NN'cosa= (;ï— A) — z' = r— 2' — A.

DoDcenrin l'impulsion projetée des forces dues à la pesanteur est

Les pressions en EF et GH se projettent sur Taxe en vraie grandeur, et ont pour mipulsion

Les autres pressions sont supposées normales aux parois du luyau, et par suite normales à Taxe XX'. Elles ne donnent rien en projection.

Nous avons donc l'équation : î

Divisons par nû6, et remplaçons ^ par v\ il viendra

Or, Ja pression iHoyenne p qui règne dans la section EF est égale

26 J'ËJITË

à celle qui a lieu au centre de gravité N' de celte section {§ 21), etp — Uh est la pression qui a lieu au point M, centre de gravité

de la section de la veine. A la place des termes ^ — A, nous j^ou-

vons donc mettre ^ , p^ étant la pression moyenne dans la veine jaillissante. L'équation prend alors la forme :

On peut récrire

v'^ !?•/ ^.Px P^\ (p-yy'

ou encore

-s-fX^-^èV

Les hauteurs

^■*' n ^^' ^ ^^'^Tg'

définissent les i)lans de charge pour la section BC et pour la section GH (§ 54) ; on voit que ces deux plans ne sont plus à la nièiiie hauteur, et que le second est au-dessous du premier d'une quantité égale à

c'est-à-dire égale à la hauteur due à la différence des vitesses, ou à la vitesse relative de la veine choquante, qui passe en BG, par rapport à la veine choquée, qui passe en GH.

82. Cet abaissement du plan de charge, d'une section à l'autre, lorsqu'il- y a tourbillonnement entre les deux sections, a reçu le nom de perte de charge. Le théorème de Bernoulli pourra s'appliquer à des filets qui subissent de telles perturbations, pourvu qu'on

DE CHARGE. Ul

ait égard à la pei'te de charge; cette perte provient d'une brusque variation des vitesses, analogue à ce qui.se passe dans le choc des solides naturels. Il n'y a pas de perte de charge quand les sections du filet liquide varient par degrés insensibles^ car alors Texpression

de la perte entre deux sections très voisines, serait Ur^ , c'est-

à-<lire un infiniment petit du second ordre, et l'intégrale, de ces inliiiiment petits donnerait une somme rigoureusement nulle entre deux sections séparées par une distance finie.

SI). La formule que nous avons déduite (§ Si) du théorème des quantités de mouvement, peut aussi s'établir par le théorème des f< rccs vives, en s' aidant de l'observation.

Supposons qu'une masse M de liquide, animée d'une vitesse v, \ienne tomber dans un vase de profondeur indéfinie, rempli d'un ii';ui(Je en repos. La masse allluente pénétrera dans le liquide en repos à une certaine profondeur, et se mélangera au liquide environnant, en perdant sa vitesse. La surface libre du liquide dans lequel se fait le mélange reste sensiblement horizontale pendant l'expérience.

La demi-force vive de la masse afïluente au moment où elle pé-

netre dans le vase est égale à ^ Mv* ; cette masse est réduite au

repos par les résistances que lui oppose le liquide immobile. Sa force vive devient donc sensiblement nulle, et par suite le travail

ré<i>tant accompli par le liquide immobile a pour mesure ^ Me;*.

î^i au lieu de tomber dans un liquide stagnant, la veine aflluente tOQjbait dans un liquide animé d'une vitesse v\ de même direction qùo la vitesse v, tout se passerait à Tiutérieur du vase comme si le li'iui'le était ramené au repos, et que la vitesse d'affluence iïit éi^Je à t? — v\ vitesse relative des deux liquides en présence, de SOI te que le travail négatif des actions moléculaires développées p?.rla pénétration des deux fluides sei^ait égal en valeur absolue à