R« GN

FORCES D INERTIE Dl( MÉCANISME 5S

R étant le rayon de giration pour un axe passant par le centre de gravité.

On construit le point S en portant la perpendiculaire GTzz R^ el menant TS perpendiculaire à NT. La force d'inertie étant de sens contraire à l'accélération G"0, sera dirigée dans le sens de la flèche.

Pour tenir compte de la variation de w, nous remarquerons que les forces d'inertie qui résultent de cette variation pour tous les points, ont également une résultante unique donnée en grandeur et direction par le mouvement du point G; donc, d'après ce qui a été dit, par :

M^OG dt

le point G' étant choisi d'après la proportion :

Cette force est perpendiculaire à OG', et passe par un certain point que nous allons trouver. Abaissons lU perpendiculaire à AB, le point U n'a qu'une simple translation suivant la bielle, translation accompagnée d'une*force d'inertie qui coïncide avec AB; tous les autres points sont en outre animés d'une rotation autour de U, et la résultante des forces d'inertie de ce mouvement de rotation passe par le centre de percussion S' relatif à l'axe U. Les deux composantes de la force d'inertie supplémentaire passent donc par le point S', c'est-à-dire que la résultante additionnelle cherchée passe elle-même par le point S', ce qui achève de la déterminer.

24. — La connaissance des forces d'inertie dépend de w; réciproquement, dans un système donné, &> dépend de l'inertie des pièces. Le problème général qui se pose est le suivant :

Étant donnée la loi des forces motrices qui se développent sur le piston, ainsi que la composition du système, et les forces résistantes à vaincre, déterminer la loi du mouvement de rotation et l'état de sollidtation de chaque pièce.

On pourrait y arriver par l'équation des forces vives (l®"" fascicule, n** 118), dont on déduirait la valeur de o* en fonction du temps. Connaissant cette relation, on appliquerait les théories précédentes pour trouver l'état de sollicitation de la bielle et de la tige. Ce procédé est long, mais

il est le seul praticable; d'ailleurs, la loi des forces motrices tout au moins est donnée par une courbe d'indicateur plus ou moins irrégulière ; c'est donc un procédé par points qui doit conduire à la solution.

Gomme les machines à grande vitesse de rotation sont celles pour lesquelles la considération des forces d'inertie présente de l'importance, et que le mouvement de l'arbre est toujours dans ce cas très rapproché du mouvement uniforme (l®'' fascicule, n*' 112), nous pouvons supposer que w est constant, et chercher la force à appliquer suivant la tige du piston, au pied même de la bielle, pour obtenir ce mouvement; en retranchant ou en ajoutant cette force à celle qui provient de l'action de la vapeur sur le piston, combinée avec la force d'inertie du piston, de sa tige et de la croissette, nous obtiendrons un diagramme modifié qui pourra nous servir à trouver le couple moteur.

Suivant les cas, on peut pousser plus loin la simplification, et faire abstraction de l'inertie de la bielle pour ne tenir compte que de celle des pièces à mouvement rectiligne ; c'est ce qu'on fait le plus souvent, en ajoutant à ces pièces une partie du poids de la bielle.

25. — Remarques. — I. La construction est en défaut aux points morts ; mais pour ces positions on calcule facilement l'accélération d'un point G quelconque de la bielle ; en effet, l'accélération du point A est dirigée suivant AO (fig. 38), et, comme elle résulte de l'accélération due à la translation empruntée au point B, qui, au point mort, est dirigée suivant la tige et des accélérations kp et Aw, il faut que Ap soit nulle. Au point mort, kn a pour valeur, après division par cd* :

é'xAB et comme :

'tl= BK'^ r'

^" = fi

L'accélération totale sera donc, pour le point mort d'arrière :

ou, en désignant par b la longueur de la bielle :

iii*r — i —

et, pour le point mort d'avant, en tenant compte du sens de l'accélération de B :

Lorsque Ton néglige l'obliquité de la bielle, les accélérations sont égales aux deux points morts, et ont pour valeur wV. Pour un point quelconque C, on aurait î

oT(l:^BCf.)

Les figures 41 et 42 donnent en ordonnées les valeurs de l'accélération de A pour les différentes positions du pied de la bielle portées en abscisses sur la droite A,A,, qui représente la course du piston, la mani' velle étant supposée à droite; pour la figure 41, le rapport de la bielle à la manivelle est de 3,8; pour la figure 42, ce rapport est égal à 8; les lignes pointillées correspondent à une bielle infinie.

;(5v, ev^

Fig. 41

Fig. 42

Le point où le diagramme coupe l'axe est celui pour lequel l'accélération du pied de bielle est nulle; la construction employée pour trouver le point a'' (fig. 38) montre que la position correspondante du point B est dans le premier quadrant, et que la bielle et la manivelle doivent faire alors un angle aigu.

II. La figure 43 est l'application, à une machine existante, des théories exposées précédemment. On s'est proposé de chercher l'effort à exercer constamment au pied de la bielle pour donner à la manivelle un mouvement uniforme, c'est-à-dire sans qu'il en résulte jamais un effort

moteur ou résistant appliqué tangentiellement au bouton de la manivelle. Pour faire cette recherche, on a séparé la bielle de la tige, et on Ta considérée comme si elle fonctionnait seule.

Les données du système sont :

Rayon de la manivelle.

Longueur de la bielle •

Il s'agit de la bielle, relativement courte, de la machine verticale représentée figure 13. Le nombre de tours est de 90 par minute. Les poids qui participent au mouvement de translation du pied de la bielle sont de 911 kilogrammes; le poids de la bielle avec ses coussinets est de 395 kilogrammes; le diamètre du piston est de 0",610.

La seule simplification admise est de négliger Tefifort statique dû au

Fig. 43

poids, et de supposer la bielle prismatique, ce qui place le centre de gravité au milieu de la longueur, et facilite le calcul du moment d'inertie, mais il n'y a aucune difficulté à opérer exactement s'il le fallait.

La figure 43 donne le tracé complet pour la position 2, choisie parmi 16 divisions égales de la trajectoire du bouton. La résultante des forces d'inertie sur la bielle est la force P appliquée au point S; cette force, prolongée jusqu'à son intersection avec la manivelle, donne les deux composantes M', Q'; celle-ci est choisie de manière à passer parle pied de la bielle. Il faut donc, pour équilibrer la force d'inertie P, exercer la force M au point B, force produite par l'extension de la manivelle; en

FORGES d'inertie DU MÉCANISME

outre, il faut, au pied de la bielle, exercer l'effort H suivant la lige, et guider Tarticulation, le guide exerçant alors sur Tarticulation la force V dirigée de haut en bas.

t-M by

Fig. 44-45

Les tensions s'exerçant sur la manivelle sont données, pour toutes les positions, par les portions de rayon comprises entre le cercle de la manivelle et la courbe en trait pointillé. Les composantes verticales V sont représentées par les ordonnées de la courbe V (fig. 44), les abscisses représentant les positions de l'articulation; ces forces ne sont données que pour un demitour, c'est-à-dire pour la marche directe ; dans la course rétrograde, elles agiraient vers le haut.

^fir

Fig. 46

La composante H est donnée par la courbe ab de la figure 45 ; elle est portée vers le bas lorsqu'elle agit vers la droite, et mce versa.

La courbe cd est celle que Ton obtiendrait en supposant le poids de la bielle concentré au pied, et participant au mouvement alternatif de la tige.

La courbe I (fig. 46), donne la force à exercer sur la tige pour vaincre rinertie des pièces à mouvement alternatif (piston, tige et crosse) ; la cçurbe II donne ces efforts totalisés avec ceux de la courbe aô; enfin, la courbe II' serait obtenue en substituant la ligne cd à ab, ou en considérant globalement tous les poids comme concentrés sur la tige.

On voit que Terreur due à cette dernière hypothèse n'est pas grande, elle le serait encore moins si, au lieu de compter en entier le poids de la bielle, on n*en prenait qu'une certaine fraction, environ les deux tiers.

L'échelle des efforts est indiquée de deux manières ; en kilogrammes, et en kilogrammes par centimètre carré de la surface du piston. Ces échelles sont faciles à obtenir après coup, et dans le tracé du diagramme il est inutile de se préoccuper des constantes.

La composante V ne donne que la réaction partielle du guide due à rinertie de la bielle, elle se modifie nécessairement lorsque Ton tient compte de l'inertie des autres pièces ainsi que de l'effort amené par la vapeur; on trouve alors en général que la réaction du guide est dirigée de bas en haut pour les deux courses, c'est-à-dire que l'effort V est trop faible pour faire changer de sens le portage des patins. Il peut cependant y avoir des positions pour lesquelles la compression changerait le signe de Teffort de guidage vers les extrémités de la course (26), mais cet effort est alors très faible.

Enfin, nous négligeons le frottement des tourillons et des patins, mais il pourrait y avoir intérêt à en tenir compte (1" fascicule, n® 87).

III. — Pendant la période d'arrêt des machines, l'inertie du volant et de toutes les transmissions commandées entraîne la bielle et les organes à mouvement alternatif; on peut se proposer de trouver la valeur de l'effort circonférentiel qui en résulte sur le bouton de manivelle, effort tantôt moteur, et tantôt résistant, ainsi que la réaction sur les guides; on trouvera nécessairement que celle-ci change de sens pendant la course. Ce problème ne présente pas de difficulté.

26. — Couple moteur, — La loi des efforts que la vapeur développe sur le piston dépend de la pression initiale, du rapport de détente, du degré plus ou moins grand de compression, du mode de marche avec ou sans condensation, et enfin, des forces d'inertie; nous pouvons continuer l'hypothèse que la vitesse de rotation de l'arbre est constante, et chercher la loi suivant laquelle se développe le couple moteur. On ne devra pas s'attendre à déduire de cette recherche des conclusions très

générales, vu le grand nombre d'éléments qui entrent en jeu, mais on devra voir dans ce qui suit un procédé de recherche applicable à chaque cas particulier.

Premier cas : absence de compression. — Le diagramme des pressions de la vapeur a, pour les deux courses, la forme représentée flg. 47; celui

des forces d*inertie rapporté à l'unité de surface du piston, est limité à la courbe II. En opérant comme il est expliqué dans le 1®' fascicule, n^^HS, on obtient, suivant que Ton néglige les forces d'inertie ou qu'on en tient compte, le diagramme des moments moteurs pour le tour entier (fig. 48). Les forces d'inertie exercent ^*^* ^^ donc un eôet régulateur, puisqu'elles li-

mitent le couple maximum sans altérer le couple moyen. Toutefois, en augmentant la vitesse de rotation d'une machine donnée, on constate

Fig. 48

qu'au delà d'une certaine allure, Teffet des forces d'inertie est défavorable à la régularité.

On peut mettre le diagramme des moments moteurs sous la forme polaire, ce mode de représentation ne présente pas d'avantage particulier.

Deuxième cas, — Compression complète. — Pour obtenir l'effort dû à l'action de la sapeur sur le piston, il faut considérer ensemble la pression motrice sur l'une des faces, et la pression résistante sur la face opposée, ce qui donne, pour la ligne des efforts, et en tenant compte du signe, la courbe ABCD, dont les ordonnées doivent être rapportées à l'axe XX (flg. 49). La combinaison de ces efforts avec ceux dus à l'iner-

lie donne les efforts moteurs résultants, ils sont mesurés par les segments des lignes verticales comprises entre les lignes ABCD et II; ces efforts changent de sens à partir de l'intersection ii, et il en est de même du couple moteur. La figure 80 se rapporte à la course rétrograde.

txx^itt*

Fig. 49-50

On constate que la pression transmise à la manivelle change de sens graduellement, en passant par une valeur nulle, circonstance propre à diminuer les chocs de la tête de bielle (*). Au point mort, la traction passe de la valeur ID à la valeur TA*, ces quantités peuvent différer sans quil en résulte d'inconvénients, parce qu'elles sont de même- sens sur le bouton de la manivelle. La compression, indépendamment des autres raisons qui la motivent, est donc avantageuse à la douceur de marche.

11 existe j pour toute machine, une vitesse de rotation qui donne au couple moteur la loi la plus satisfaisante. Comme dans le premier cas, cette vitesse est d'autant plus grande que la pression initiale est

1. Pour plus de développements sur cette question, on consultera utilement l'ouvrage cité de Radinger (note 1 du n» 22); voir aussi une étude de R, Stribeck {ZeiUcàrift des V. D. /., 1893, p. 10 et 547).

FORCES d'inertie DU MECANISME 63

plus élevée et que la détente est plus prolongée. Dans les deux cas, qu'il y ait compression ou non, une vitesse trop grande aurait bientôt pour effet de donner au couple moteur une loi peu satisfaisante, la manivelle devrait faire efiort, au commencement de la course, pour entraîner le piston, la pression de la vapeur étant insuffisante à vaincre les forces d'inertie, tandis que les efforts vers la fin de la course seraient exagérés et produiraient des pressions intenses sur les articulations.

27. — Vitesite la plus avantageuse. — Cette question peut être envisagée à différents points de vue : on peut chercher à réduire au minimum les dimensions du volant pour une régularité donnée, ou viser à réduire, soit l'effort maximum dans la tige, soit le couple maximum de torsion de Farbre, soit la fatigue de Tarbre due à la fois à la flexion et à la torsion.

Quelle que soit la solution que Ton poursuive, elle serait donnée par une série de tâtonnements faciles.

L'étude n'est pas d'ordinaire abordée d'une manière aussi générale ; dans les types ordinaires de machines, on ne s'est pas d'abord préoccupé des forces d'inertie; les vitesses devenant de plus en plus grandes, on a dû finir par en tenir compte, mais on se borne à vérifier si elles ne donnent pas au diagramme des forces motrices une allure trop défavorable, sans rechercher les meilleures conditions à remplir.

On peut se guider d'ailleurs sur quelques propriétés qui résultent de la simiUtude, et que nous allons signaler.

Pour tous les mécanismes semblables, c'est-à-dire dans lesquels le rapport de la longueur de bielle au rayon de la manivelle est constant, les accélérations ont même direction pour les mêmes positions de la manivelle; elles sont proportionnelles à wV, et la force d'inertie est proportionnelle à MwV, M étant la masse des pièces. Les vitesses de piston, pour des positions homologues, sont proportionnelles à wr.

Si on suppose aux machines la même vitesse de piston, les forces d'inertie varieroTjt comme le produit Mco.

Supposons en outre que les pièces soient de même métal, et que la similitude s'étende à toutes leurs dimensions, même au diamètre du ■cylindre; leur masse variera comme r", et le produit Mw sera proportionnel à r*, puisque (o est en raison inverse de r.

La composante à appliquer à la tige suit la même proportionnalité, «c'est-à-dire qu'elle varie comme r*, ou comme la surface du piston ; cette

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composante peut donc être considérée comme due à une pression fictive tantôt résistante, tantôt motrice, agissant sur le piston et variable d'un point à l'autre, mais non avec les dimensions. En d'autres termes, si l'effet des forces d'inertie pour un angle déterminé de la manivelle est de réduire la pression effective sur le piston d'un certain nombre de kilogrammes par centimètre carré, cette réduction sera la même pour toutes les machines quelle que soit leur course, pourvu que la vitesse du piston soit la même, et que les pièces soient semblables.

On conçoit que cette similitude ne saurait être rigoureuse ; le mode de construction et le taux de travail admis pour la matière ont de l'influence sur le poids des pièces ; mais en supposant ces facteurs les mêmes de part et d'autre, les règles de la construction des organes, règles basées sur la résistance élastique, ainsi que la résistance à réchauffement et à l'usure, conduisent effectivement à cette similitude lorsque la pression initiale est la même par unité de surface du piston (*).

Lorsque la pression change à dimensions égales de cylindre, les sections transversales des tiges et des bielles augmentent un peu moins rapidement que la pression, il en est de même de leur poids et de la force d'inertie ; les machines à haute pression admettent donc une vitesse linéaire de piston supérieure.

Les pièces à mouvement alternatif comprennent encore le piston de la pompe à air et ses organes de commande; quelles que soient les dispositions adoptées, l'inertie de ces organes s'ajoute à celle des pièces déjà considérées, et elle suit la même loi.

28. — Les considérations développées ci-dessus justifient la règle adoptée au n® 21 et qui est exprimée par l'équation (3); on ne doit pas perdre de vue que, par l'allégement des pièces mobiles dû à l'emploi de métaux plus résistants et de formes spéciales (tiges creuses, bielles plates, piston en acier coulé à âme simple, crosses évidées), il est possible d'augmenter la vitesse linéaire moyenne.

Voici à ce sujet quelques données relatives à des machines de marche rapide, à l'exclusion des machines marines :

1. Ce n'est pas ici le Jieu de démontrer cette similitude, qui s'étend jusqu'aux pivots des articulations et aux crossettes, et qui n'a rien d'empirique; elle est assez réelle pour que les dessinateurs habitués au tracé des machines à vapeur déterminent, pour ainsi dire au simple coup d'œil, certaines dimensions d'organes. Dans certains cas, on a pu se servir des mêmes plans pour deux machines de dimensions différentes, en altérant simplement l'échelle.

FORCES d'inertie DD MÉCANISME

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