II existe des exemples du contraire
On pourrait dans chaque cas particulier, étant donnés les diagrammes P et Q, la masse du volant, sa vitesse au point mort, analyser complètement les vitesses pendant une révolution entière, et vérifier, en faisant usage de la formule du mouvement varié, s'il ne se produit aucune discontinuité dans le mouvement.
Sans traiter le problème avec cette généralité,^ nous admettons, ce qui est le cas pour la majeure partie des pompes à réservoirs d'air, que le mouvement de rotation de l'arbre est uniforme, et nous établirons dans cette hypothèse les conditions nécessaires pour que les colonnes d'eau restent en contact avec le piston.
Rappel de quelques propriétés cinématiques des systèmes à bielle infinie.
35. — On a dans la figure 96, la vitesse angulaire w étant supposée constante :
I) = V sin a = (0 r sin a
A un facteur constant près, la loi des vitesses est donnée par le demicercle I, fig. 97, oU par la sinussoïde I, fig. 99, suivant qu'on porte en abscisses les positions du piston ou les angles a de la manivelle.
; 36. — La force vive du système à mouvement alternatif (y compris les colonnes d'eau) étant proportionnelle à
est donnée par la parabole II, fig. 97, oii par la sinussoïde II, fig. 99. 37. — L'accélération est donnée par :
dv doL
— - rr w r C08 a —r- := a>*7' COS a
dt dt
c'est-à-dire par la ligne droite III dans la figure 97 et par la sinussoïde III lorsque l'on porte les angles en abscisses, fig. 99 ; pour le second demitour, si l'on veut tenir compte du signe de l'accélération, il faut observer que la vitesse v change de signé à partir de 180^, et remplacer la courbe pleine par la partie pointillée (fig. 99) entre 180 et 360*^. 38.— La résistance statique étant donnée enïonction de l'espace par-
• ' • ■»- "ÏJP*. !* r.
— Secouru par le piston, par le rectangle Q, fig. 98, si la force motrice est représentée par la droite P, le diagramme des forces vives des masses à mouvement alternatif ou intermittent est donné par une parabole ; or la parabole II, fig. 97, représente cette force vive dans le cas où la vitesse angulaire de rotation est constante ; on en déduit que le mouvement de rotation uniforme se produit effectivement lorsque la loi des efforts moteurs est donnée par une droite inclinée P, l'inclinaison étant convenablement calculée; cela devait être, car la droite III, fig. 97, représente la
valeur de — , ou, à un facteur près, celle de mj — ; on peut donc dire et t , (t t
que les valeurs telles que ? — Q sont en chaque point convenables pour donner aux masses à mouveipent alternatif ou intermittent les accélérations compatibles avec une vitesse de rotation uniforme 'de l'arbre, si elles le sont pour un seul point.
39. — La représentation du débit ou de l'espace parcouru est donnée dans la figure 99 par la courbe IV, et les ordonnées de la courbe I représentent les vitesses du piston, ou les débits instantanés ; les angles portés en abscisses ne diffèrent des temps que par un facteur constant, puisque le mouvement est uniforme ; le débit depuis l'origine est donc représenté par l'intégrale de la courbe I ; en fait, la courbe IV n'est autre chose que cette intégrale. Lorsqu'on prend en abscisses les déplacements du piston, la loi des débits depuis l'origine est donnée parla droite IV, fig. 97.
40 — Examen de la pompe, fig. 44, pi. 2.— D'après ce qui a été dit de cette pompe (16), on sait que chaque manivelle passe par une période active entre les positions om' et om" fig. 43 bis, c'est-à-dire entre les angles 30 et 150^
On déduit facilement de cette remarque la loi du débit instantané, courbe I,fig. 100; celui-ci oscille entre deux valeurs extrêmes : le débit instantané maximum (pour a = 90°) est double du débit minimum.
La loi des accélérations est représentée par la courbe III ; on voit que l'accélération varie brusquement trois fois par tour.
41 . — Coups de bélier des pompes actionnées par un mouvement de rotation uniforme, — Admettons qu'il n'y ait pas de réservoirs d'air, fig. 101 , et supposons que le tuyau d'aspiration soit évasé à l'entrée ; le mouvement du piston étant ici déterminé, il suffit d'exprimer que cet organe ne se détache en aucun point de la colonne d'aspiration ; il faut aussi exprimer que pendant le refoulement, la colonne /' ne devance pas le piston.
On voit qu'on peut indifféreminent considérer ici une pompe à simple effet ou une pompe à double effet, car le mouvement du piston est donné à l'avance, tandis que, dans les pompes à action directe, la marche du piston est influencée à la fois par les conditions de l'aspiration et par celles du refoulement.
48. — Continuité du liquide pendant V aspiration, — Si on suppose que, pour un angle a de manivelle, le piston puisse se détacher de la colonne d'aspiration, la vitesse du piston étant à ce moment w r sin a, celle de l'eau dans le tuyau est :
— w r 8in a
S et S désignent les sections du corps de pompe et de la conduite ; on a donc pour l'eau, en négUgeant la partie comprise dans le corps de pompe :
l dv Pa 7 S^ 0)2 ,.2 ^
g dt 11 8^ 2g
L'accélération du piston est à ce moment:
dv' .,
-— = (ii^r cos a
dt •
il faut pour qu'il n'y ait pas séparation :
S dv' = dv s dt < dt
ou :
• S 2 =g/Pa A S2o)2r2" . 2
ou :
^^r^U'^' + l''^)=<U'lf''^)
le maximum de l'expression :
cos g , S sin^ a
se produit pour :
«n flt | S gin a cott a
c'est-à-dire pour sin a = ; et pour ;
mais cette dernière valeur ne serait admissible que si :
Jl= 1
rS < ^
or, / étant toujours considérable à côté de r tandis qae s est comparable à S, nous écarterons cette valeur (*,.
Puisque sin a= rend maximum le premier membre de Féquation de condition (I), il suffira que Ton ail :
w-'-!<Ut-0
Cette équation ^st difficilement satisfaite pour de grandes valeurs de h lorsque l augmente.
43. — Les courbes en trait plein (fig. 103) représentent la loi des espaces parcourus par le piston à partir du point mort inférieur (le temps d'une révolution étant porté en abscisse) pour des pompes ayant même course, mais une marche de plus en plus ralentie ; la courbe pointillée représente la loi approximative des espaces parcourus par l'eau en supposant que le piston s'en détache, ce qui arrive si la condition I n'est pas remplie ; on voit que dans la pompe I, le coup de bélier se produit en à dans la course de retour; pour la pompe II, il se produit en a pendant l'aspiration; enfin pour la pompe III, on voit que, l'eau ne pouvant devancer le piston en aucun cas, il y a toujours contact.
44. — Continuité du liquide pendant le refoulement, — Pendant le
l. Ce cas pourrait se rencontrer lorsque le réservoir d*air d'aspiration se trouve très près de la pompe, mais l'inertie de l'eau du cylindre ne pourrait plus alors être négligée.
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mouvement ralenti du piston, son accélération négative est, en valeur absolue : ' r
at
l'eau possède à ce moment dans le tuyau de refoulement une vitesse donnée par :
— - w r sin a
on peut écrire pour Teau, si la séparation se produisait à cet instant à la base du tuyau de refoulement :
g'dt~''~JÏ~' ~? '~2g
pour que la séparation n'ait pas lieu, il faut, en tenant compte du signe, que :
8 dt < dt OU :
ou :
^e premier membre atteint son maximum pour :
8in a , S 8in a co8 a
c'est-à-dire pour :
sin a = et pour :
