C. — Pompeiâ À réaction et pompes eentrIAigee
121. — La pompe à réaction et la pompe centrifuge forment, parmi les machines à élever l'eau, une catégorie spéciale dont on pourrait rattacher la théorie aux turbines; en dernière analyse, on trouverait qu'elles, communiquent l'énergie sous forme de force vive (3), mais on ne pourrait les envisager comme des appareils à jet sans entrer dans des développements assez longs qui offriraient peu d'intérêt.
Première variété, pompes à réaction.
122. — La pompe à réaction peut être représentée par la fig. 121 (construction deM. Ch.Beer). L'eau pénètre dans la partie mobileM,par un distributeur fixe D, dont l'objet est de donner aux filets la direction verticale; lorsque la pompe est amorcée, la vitesse absolue d'entrée est w^Ja combinaison de Uo et de la vitesse d'entraînement v, des aubes, produit par rapport à celles-ci une vitesse relative d'entrée Wo. Le travail négatif de la pesanteur, ainsi que des pressions dans les sections x eiy, transforme la vitesse Wo en une vitesse relative de sortie Wi, produisant, avec la vitesse d'entraînement î), une vitesse absolue Wj dans la section y. Cette vitesse u^ est utilisée pour l'élévation, grâce à la présence d'aubes fixes D, dirigées d'une manière convenable, et qui ont pour effet de diminuer progressivement la vitesse en évitant lés remous. Abstraction faite des frottements, ces pompes devraient donner un rendement très élevé, mais le résultat obtenu ne paraît pas jusqu'ici justifier ces prévisions, ce qui tend à faire croire que les frottements jouent un rôle important dans la valeur de l'effet utile. Cette variété de machines n'a pas encore une importance industrielle bien marquée ; sa théorie présente avec celle des turbines la plus grande analogie.
f*-TV^iTT^'^
Deuxième variété, pompes centrifuges.
123. — Les pompes centrifuges peuvent être montées sur un arbre vertical, flg. 122 et 122 6^5, elles aspirent alors par une seule ouïe AB, et refoulent sur le pourtour ; à moins d'employer des dispositions spéciales comme dans la fig. 122 bis, la pression sur la paroi CD, correspondant à rorifice d'aspiration, n'est pas équilibrée, et contribue à augmenter la charge sur le pivot, de tout le poids d'une colonne d'eau ayant pour base la section CD, et pour hauteur la différence des niveaux d'aspiration et de refoulement.
124. — La même observation s'applique aux pompes à axe horizontal n'aspirant que sur une face, flg. 123 ; il vaut mieux soustraire l'arbre à toute pression suivant son axe en le disposant horizontalement, flg. 129, et en partageant le tuyau d'aspiration en deux branches dont chacune aboutit à une face de la roue à ailettes, c'est sous cette forme que la pompe centrifuge se présente le plus souvent.
On a aussi réalisé le système représenté flg. 130, il est connu sous le nom de pompe Maginot et participe à la fois du système à réaction et du système centrifuge.
125. — Historique, — La pompe centrifuge paraît avoir été inventée en 1751 ; elle était en usage dans les chantiers de la marine, à New-York, en 1838. Combes, en France, fit la théorie des appareils centrifuges, et montra l'avantage que présente pour les ailes la forme courbe de la fig. 129.
On doit à Appold les premières pompes centrifuges de construction simple ; celles-ci sont entrées dans les applications courantes depuis l'exposition de Londres de 1851.
Les pompes Appold furent soumises à des expériences, par Morin, qui détermina leur rendement mécanique pour une vitesse de rotation sensiblement constante, mais avec des hauteurs croissantes d'élévation : d'abord pour des aubes courbes, puis pour des aubes droites inclinées à 45** en arrière du rayon, enfin pour des aubes planes radiales.
Les expériences de Morin ont donné les conclusions suivantes : 1° Pour une vitesse donnée, la pompe acquiert son maximum de rendement en refoulant à une certaine hauteur ; pour des élévations plus grandes ou plus petites, le rendement décroît. 2<». Les aubes courbes de la pompe Appold ont donné le rendement le
plus élevé, environ triple de celui des aubes plaues dirigées suivant le rayon.
126. — Théorie des pompes centrifuges, — Admettons les notations suivantes (fig. 124 et 126). *
A, hauteur de l'arbre au-dessus du puisard.
h\ hauteur de là nappe refoulée au-dessus de Tarbre.
H = A-h /i', hauteur totale d'élévation.
p^^, pression à l'entrée de la pompe amorcée.
l\, pression à la sortie de la roue à ailettes à la hauteur du centre.
Vp, y^, vitesses d'entraînement à l'entrée et à la sortie.
tt^^, Wi, vitesses absolues à l'entrée et à la sortie. I iL\, w^^ vitesses relatives par rapport à l'aube à l'entrée et à la sortie.
I I (ù, vitesse angulaire.
V, vitesse dans les conduites, supposées d'un diamètre uniforme, si I Ton en excepte les évasements à la base et au sommet (fig. 126).
f }\^ Tp rayons intérieur et extérieur de la roue.
6(j, ôj, largeur des aubes à l'entrée et à la sortie. 1, ^ Q, le débit en m' par seconde.
■q, l'ensemble des pertes de charge depuis le niveau d'aval jusqu'à rentrée.
-ïj', l'ensemble des pertes de charge depuis l'enveloppe de la pompe, à la hauteur du centre, jusqu'au niveau d'amont.
II, le poids spécifique du liquide.
S11 n'y a pas de discontinuité depuis le niveau d'aval jusqu'aux orifices d'cnlrée de la roue à ailettes, on peut poser
Pq
On peut écrire aussi pour le tuyau de refoulement, en admettant que l'eau se trouve en repos dans l'enveloppe de la pompe après sa sortie de la roue à ailettes, hypothèse permise, et que le tuyau de refoulement soit évasé :
i), = n(Ha+V + n') d'où
(1) £LZL&^H + n+n'+"^-
Lorsque le tyau d'aspiration est évasé à l'entrée, yi ne comprend que la perte de charge due au frottement et aux coudes, t;' comprend en outre la perte de charge à l'entrée du tuyau de refoulement, mais on peut la négliger parce que l'hypothèse consistant à supposer toute vitesse anéantie dans l'enveloppe n'est pas entièrement conforme à la réalité.
L'équation fondamentale du mouvement peut s'obtenir en appliquant
le principe des forces vives au mouvement relatif de la masse qui
s'écoule pendant le temps élémentaire dt.
On trouve facilement :
Terme des forces vives :
Travail de la pression à l'entrée :
i>o Q dt Travail de la pression à la sortie :
— Pi Q dt
Travail de la pesanteur dans le mouvement sur Taube :
Ce travail est positif pour une partie des aubes, négatif pour l'autre ;
nous pouvons le supposer nul; nous avons d'ailleurs mesuré la pression
Pi à la hauteur du centre.
Travail de la force d'entraînement prise en signe contraire (*) :
IlQdt
(ii^r dr
On a donc en posant l'équation, et simplifiant au moyen de la relation (1) :
W\^ = Wç^
1. On sait que c'est la seule force fictive à considérer dans l'application du principe des forces vives au raouveraent relatif.
Si Ton suppose, flg. 124, que u^ est dirigée suivant le rayon, on doit avoir à l'entrée :
relation qui, introduite dans l'équation précédente, donne :
(2) w,^ = vC 2^ (H + 7] + V)
Le débit peut être évalué en fonction des orifices de sortie, et de la vitesse relative dans ces orifices; si Yi désigne Tangle des aubes avec la circonférence, mesuré à leur extrémité, on a :
(3) Q = 2 ;t 5, Ti u\ 8tn y.
Pour trouver le rendement U, il est nécessaire de prendre le rapport entre le travail effectué : *
HQ H,
et le travail dépensé; celui-ci doit être évalué en tenant compte de toutes les portes de charge ; indépendamment de t; et t;* qui proviennent des tuyaux, il faut analyàer les pertes depuis les orifices d'entrée de la roue jusqu'à la base du tuyau de refoulement ; le frottement sur les aubes et liîH parois des disques sera négligé ici, Texpérience démontre que dans les pompes dont les disques ont un diamètre modéré, ce frottement est assez faibUî en comparaison de la perte due à l'anéantissement de la vitesse absolue d(î sortie u^ ; celle-ci rencontre les parois de l'enveloppe sous un angle défavorable, et donne lieu à la perte de la hauteur :
On a donc finalement :
H + Tj-fri + —
ainsi que hi relation géométrique :
(5) u\^ "- Vi^ + n\^ — 2vi M'i cas y«
Ohsfnutlion. — Vu examen allentif du tracé de l'aube à l'entrée (flK. Ii24), fait voir (luo celle-ci a été menée tangentiellement à ivo; il est
toujours possible de déterminer Yo pour qu'il en soit ainsi ; quand on suppose cette condition réalisée, on voit qu'il n'y a pas lieu d'introduire une perte de charge à l'entrée.
127. — Conditions du maximum d'effet, — On peut se proposer de rechercher les conditions de fonctionnement qui rendent U maximum ; pour ne pas comphquer le problème, nous négligerons dans la valeur du rendement le terme t; -4- vi' ; nous serons conduits ainsi à une vitesse de marche légèrement différente de celle à réaliser, mais les fonctions variant toujours très peu dans le voisinage de leur maximum, la suppression du terme tj -f- vi' est permise.
Nous aurons donc à chercher le maximum de :
On voit que la question revient à chercher dans l'équation (5) la valeur de v^ qui donne le minimum de u^ après y avoir remplacé w^ en fonction de V, au moyen de l'équation (2) dans laquelle on négligera aussi , |
On trouve en posant
dv\
et résolvant :
d'où, substituant dans l'équation (2) débarrassée du terme vj -+- 1\ : L'équation (3) devient alors :
(8) Q=:2r, bi 7*1 fjsin yi (1 — sin yi) \!gR
et le rendement maximum est :
1 + sm Yi
Ce dernier résultat indique qu'il existe pour chaque valeur de Yi un maximum différent, d'autant plus voisin de l'unité, que y< est plus faible.
D'autre part, l'équation (8) fait voir que pour des valeurs de b^ r, et H données, le débit de la pompe est maximum pour y, = 30**, il diminue pour des valeurs plus faibles, mais l'effet utile de la pompe augmente (*).
Certaines considérations, tirées des difficultés que présente le moulage des roues à ailettes, de la possibilité de l'obstruction des canaux, etc., conduisent à admettre pour de grandes pompes
ce qui donne :
Lorsque :
on a
Yi = 30*»
i;i2 = 3(7 H Wi^ r= ^ H
Lorsqu'on passe de y, = SO** à Yi = 20^ le débit Q subit une réduction de 10 pmr cent, les dimensions doivent doncétre légèrement augmentées puisque le débit est toujours une donnée du problème ; par contre, le rendement augmente dans une proportion assez notable (de 0,66 à 0,78).
128. — La perte de charge ^ est inévitable lorsque l'on adopte
1. Il conviendrait de remarquer ici que i/^i augmente lorsque yi diminue, voir l'éq. (7) ; or les frottements que nous avons négligés sont une fonction de m?!*; Yi ne peut donc diminuer indéfiniment.
^^^^fjl^^w^^-'
pour Yi un angle fini, ce qui est indispensable, puisque le débit deviendrait nul pour Yi = 0.
Il serait possible, cependant, d'utiliser Wj au moyen de directrices fixes, formant autour de la roue à ailettes des canaux évasés, comme on le fait dans les pompes à réaction (122) ; mais il en résulterait une complication très sérieuse au point de vue de la construction, et même il est douteux qu'on parvienne ainsi à améliorer le rendement d'une manière notable, à cause des résistances supplémentaires que produiraient ces directrices. Jusqu'ici les aubes fixes à la sortie ontété réservées pour les ventilateurs (fig. 170, pi. 9). '
129. — Equations de conditions entre les éléments inconnus» — Pour une pompe en projet, on connaît Q, H et Yi ; remarquons d'abord qu'on peut diminuer r^ et r/ en réduisant la vitesse dans les tuyaux ; on admet généralement dans les grandes pompes :
V — l^.ôO à 2"*,00
le diamètre d de chaque branche (*) du tuyau d'aspiration est donné , par !
d'où :
Pour compenser l'obstruction due à la présence de l'arbre et du moyeu, on donne à Touïe un diamètre un peu plus grand, par exemple. :
(11) ^ ro =: 0,6 c/ = 0,6 y/||
On fait en sorte que la vitesse u,, à l'entrée soit égale à V, approximativement ; or, la section à l'entrée prise normalement à la vitesse absolue est :
