partie cylindrique, on pourra supposer
et remarquant que, pour la partie cylindrique, — est constant, que d'ail-
ctt
leurs Vo est négligeable en comparaison de v^ il vient :
On peut remarquer, pour l'application de cette formule, que s^ — s^, représente la longueur de la conduite ; h^ — - h^ est la dénivellation entre les extrémités, cette dénivellation devient négative pour une conduite
qui se relève dans le sens du mouvement ; ^ est la hauteur due à la vitesse
dans la partie cylindrique des tuyaux.
26. — Prenons le système représenté sommairement par la fig. 41, dans lequel nous supposons le tuyau d'aspiration évasé à l'entrée; négligeons la masse des pistons et de leurs tiges, ainsi que la quantité d'eau contenue dans le corps de pompe (*) .
1. Ce système est employé dans les pompes Worthington qui refoulent le pétrole dans des conduites de longueur considérable ; les hypothèses dans lesquelles nous nous plaçons sont admissibles.
Soit Pq Tefifort moteur par unité de surface à l'origine, et Q Teffort résistant, abstraction faite de Tinertie, admettons que le piston puisse devancer la colonne d'aspiration ; celle-ci, soustraite dans le corps de pompe à toute pression, prendra un mouvement pour lequel on peut écrire, en vertu de l'équation (1):
et comme on a au départ • - = 0, il reste
at "~ l Vil V
dv Cette accélération, —, dans le tuyau correspond dans le corps de pojnpe
à une accélération :
8 dv
S ^/f"" 7 S VI' /
L'eau de la colonne de refoulement, soumise à la pression produite par le piston, prend un mouvement pour lequel on peut poser la relation :
g df^ n II 2g
pour la position de départ, — = 0, on a donc :
V dv* Po Pa 7 ,
g dt ~" n n et l'accélération du piston est :
s dt -^ 8 V V n II ^ )
Il faut, pour que la séparation n'ait pas lieu au point de départ, que
8 dv^ ~ s dv SW <'8dt
- -<r^^ -,V;J'^.-JïjÇF ,-
ce qui donne :
sz'Vn n"'^;<7svn V
ou
Q étant la pression statique par unité de surface, on a : qui, introduite dans l'équation ci-dessus, donne
(I) To-Q=(pa -my-à^
Il serait aisé de voir, par une application numérique, que cette condition est toujours remplie lorsque l' est grand en comparaison de l.
On pourrait suivre, dans toute la longueur du corps de pompe, la valeur de l'accélération, ce qui nécessiterait la connaissance des termes tels que
^y car ces termes ne sont pas nuls comme a l'origine du mouvement;
ils pourraient s'obtenir par le diagramme des forces vives (flg. 13), mais l'allure de P, décroissante en général, fait que la séparation est moins à craindre qu'au commencement de la course.
27. — Pour l'extrémité de la course, la séparation pourrait se produire entre le piston et l'eau de refoulement, auquel cas le vide absolu existerait sur la face droite du piston, ainsi qu'à la base de la colonne de refoulement.
II est facile de voir que le mouvement du piston ne peut être ralenti que si cet organe est soumis à une force extérieure résistante P^ ; en d'autres termes, le diagramme de l'effort P doit affecter la forme de la fig. 13 bis 0).
Si cet effort avait, à la fin, une valeur positive comme dans la figure 13, on serait assuré, par là même, que la séparation ne se produit pas sur la face droite du piston, car cette force positive viendrait s'ajouter à l'effet
1. Il en est ainsi dans les machines à forte compression finale.
de la pression du liquide sur la face de gauche pour l'obliger à continuer son mouvement. ^
Admettons donc que P, soit négatif à la fin de la course; on a, pour le mouvement de la colonne d'aspiration :
l dv Pa Pj T £^
g dt~n n '2g
L'accélération dans le cylindre est :
£ ^ __ « .^ />« __ Pi , __ j^Y S e/^"" S 7 Vu n '^ 2g)
Pour la. colonne de refoulement, abandonnée à elle-même, on a :
"g dt^\ n *" 2g) et dans le cylindre :
'-"SfV II 2g)
8 dv' 8
Pour que la séparation n'ait pas lieu, il faut, si l'on remarque que les valeurs des accélérations sont négatives :
8 dv' =^ 8 dv Slt <Sdi
et comme alors w'et v représentent la même vitesse, puisque les colonnes restent liées, on a :
r\ n ^ 2g)<\U n "^ 2g) ou changeant les signes :
Si, d'ailleurs, il y a égalité entre les surfaces des diagrammes P et Q,
-- = 0, puisque la force vive est nulle à la fin de la course ; enfin, en teig
nant compte de l'équation :
.'^'■'■"^vmwf
Q = n (A + A') il vient :
(II) F,+.(i^(pa+my-±I
Cette condition n*est nécessaire que si P^ est négatif.
Application numérique, — Soit le diagramme d'efforts donné par la figure 13 bis où les valeurs de P et Q sont rapportées à Tunité de surface [rnF) du piston de la pompe :
Q étant Teffort dû à la colonile, h-{- K est égal à 58*000\ On mesure sur le diagramme :
Vo -~ 133000«'
P, = eoGoo"-
Les conditions (I) et (II) deviennent respectivement ;
Ce qui fait voir que l'eau devancerait le piston à la fin du refoulement. Pour satisfaire à la condition II, on devrait avoir :
Pi+ Q < 60812'' ou :
On peut en conclure que la compression finale est toujours assez dangereuse dans ce genre de pompes.
28. — Moyens employés pour obtenir des vitesses de fonctionnement pratiques. — Ainsi qu'il a été dit plus haut, le mode de fonctionnement avec arrêt des colonnes aux extrémités, a l'inconvénient d'imposer la
vitesse, qui ne dépend que de la forme relative des diagrammes P et Q ; on peut se convaincre par un calcul numérique que la marche serait extrêmement ralentie pour le plus grand nombre des cas de la pratique. Cette lenteur tient à ce que la force vive MM^ (fig. 13) s'applique à une masse d'eau considérable. Aussi, le mode de fonctionnement que nous avons supposé n'est que purement théorique.
L'emploi de réservoirs d'air assez grands, placés près de la pompe, tant sur la colonne d'aspiration que sur le refoulement, permet d'isoler, dans l'ensemble de la masse liquide, un tronçon de longueur très limitée qui participe seul aux changements de vitesse des pistons. Ces réservoirs sont disposés comme dans la figure 404, pi. I ; nous y reviendrons plus lom.
29. — On conçoit que, par ce moyen, la majeure partie de l'eau des colonnes puisse continuer son mouvement, et si les réservoirs étaient assez grands pour rendre négligeables les variations dé pression, le mouvement serait uniforme et pourrait sans inconvénient acquérir une vitesse quelconque. La théorie des coups de bélier,, exposée plus haut, est néanmoins applicable au système compris entre les réservoirs; on démontre facilement que si on néglige l'eau du cor^s de pompe, les formules (I) et (II) sont encore vraies, ^et V désignantles tronçons compris entre chacun des réservoirs et la pompe.
Z et ^' sont alors des longueurs comparables, qu'on peut supposer égales, et s'il en est ainsi, les applications numériques démontrent que le diagramme de l'effort P n'admet plus des variations aussi grandes que dans le premier cas; ce diagramme doit se rapprocher de la forme rectangulaire sans toutefois l'atteindre, caria force vive du système compris entre les réservoirs doit être nulle aux extrémités de la course et prendre une valeur finie en un point intermédiaire.
30. — Les moteurs à vapeur à pleine pression donnant toujours une légère détente finale et pouvant se régler avec un peu de compression conviennent pour ce cas, mais d'autres combinaisons peuvent aussi être réalisées; nous en rencontrerons quelques-unes par la suite.
31. — Cas où Von ne peut employer les réservoirs d'air, — Pour les machines à très haute pression (^), les réservoirs d'air sont d'un emploi dif-
1. Les machines des conduites à pétrole refoulent parfois sous une pression de plusieurs centaines d'atmosphères, employée surtout à vaincre le frottement.
ficile, à cause du danger d'explosion, et de la solubilité de l'air, qui doit être renouvelé par une pompe spéciale ; divers dispositifs ont été imaginés pour remplacer les réservoirs de refoulement, mais parfois on les supprime tout à fait; on obtient dans ce cas une solution assez satisfaisante par l'accouplement de deux pompes comme dans le système Worthington; les deux machines sont disposées de manière que le piston de l'une d'elles occupe la zone moyenne de la course lorsque l'autre est dans le voisinage des extrémités ; les conduites étant communes aux deux corps, à l'exception des. tubulures de raccordement de longueur négligeable, l'eau peut toujours continuer son mouvement à travers Tune ou l'autre des deux pompes ; les masses à lancer ou à ramener à l'arrêt sont de peu d'importance, et le diagramme P peut se rapprocher du rectangle ; c'est surtout par la compression finale produite sur une faible partie de là course, que la force vive est éteinte.
L'emploi de ce genre de machines, qui paraissaitimpossîbleily a quelques années, a fait des progrès rapides.
TROISIEME CAS
