Notions et principes sur lesquels se fonde la science

DES moteurs et DES MACHINES.

Travail des moteurs et des machines.

1. Objet des machines industrielles. — Les machines, considérées sous le point de vue industriel, ont pour objet l'exécution de certains travaux des arts, à l'aide des moteurs ou

2 C0U18 BB MÉGANIQUB

forces motrices (*) que présente la nature, tels que les animaux ^ le vent. Veau, le calorique,

2. Manière dont on évalue la puissance des machines et des moteurs. — Ldi force ou puissance productive des machines ei des moteurs, c'est-à-dire leur pouvoir, leurs effets ou qualités mécaniques, s'évaluent dans les arts par la quantité de travail, d'une espèce déterminée, qu'ils peuvent produire dans un temps donné. Leur valeur absolue dépend d'autres éléments, qui ne sont pas du ressort de la Mécanique et dont il faut néanmoins tenir compte dans la pratique; tels sont : le prix du travail, l'entretien, la mise de fonds, la durée, etc.

3. Choix de V unité de travail, — Si le genre du travail était toujours le même, il serait facile d'apprécier, d'après l'expérience, la valeur mécanique des moteurs et des machines, puisqu'elle aurait pour mesure la quantité de matière confectionnée, dans un temps donné; or il n'en est pas ainsi : les travaux des moteurs et des machines sont infiniment variés, et, pour pouvoir les comparer entre eux, les mécaniciens ont dû adopter une unité, d'espèce particulière, une sorte de mon-naie mécanique^ comme l'a dit M. Navier, qui pût servir aisément de mesure à tous les genres de travaux et ne laissât absolument rien d'arbitraire dans leur évaluation en nombres.

k, L* unité du travail se rapporte à l'élévation verticale des corps pesants,— C'est d'après ces considérations, et plusieurs autres que nous ferons connaître, qu'on a choisi, pour cette unité, l'effet qui consiste dans l'élévation des corps pesants. Rien de plus facile, d'ailleurs, que d'évaluer en nombres le travail dont il s'agit : car, si l'on prend pour unité le travail qui

(') Les expressions /brctf motrice et moteur qui, dans le langage indastriel, sont généralement regardées comme synonymes, ont, en Mécanique, des significations distinctes. Le moi force a un sens spécial qui est défini dans le u^* 5, et Ton appelle moteur tout corps ou tout système de corps qui est capable de développer, sur un autre corps, une force, et do faire décrire, au point d'ap~ plication de celle-ci, un certain chemin, dans le sens de son action : la vapeur est un moteur: la pression de cette Vapeur sur le piston d'une machine est une force motrice. (K.)

consiste à élever Tunité de poids à Tunité de hauteur, il paraîira évident qu'élever à une hauteur quelconque H un poids donné P, c'est répéter autant de fois l*etfel partiel qui répond à l'unité de travail, qu'il y a d'unités de longueur dans H et

d'unités de poids dans P; le produit PH est donc la mesure naturelle de l'effet ou du travail utile total de la force motrice qui, par son activité, a élevé le poids P à la hauteur H ; peu importe, au surplus, la manière dont ait varié la vitesse propre de l'agent, en intensité ou en direction: car l'effet dont il s'agit ne suppose en lui-même autre chose qu'un effort vertical constant, mesuré par P, et dont le point d'application décrit un certain chemin H dans sa direction propre.

Cette déOnition et cette mesure du travail mécanique cadrent d'ailleurs avec la manière dont se payent, dans les arts, tous les travaux qui se rapportent à l'élévation verticale des fardeaux; par exemple, quand il s'agit de tirer de l'eau du fond d'un puits, d'élever des terres, des matériaux quelconques à certaines hauteurs.

5. Définition et mesure des forces. — C'est ici le lieu de remarquer que nous n'entendrons désormais par le moi force que la pression, l'effort simple dont est capable un agent quelconque, dans une direction et un point déterminés, pression et effort qui sont toujours comparables et peuvent se mesurer par des poids, à l'aide d'instruments à ressorts, tels que le dynamomètre de Régnier, certains pesons du commerce, etc., qui ont été tarés ou vérifiés à l'avance, en y suspendant des poids étalons. On conçoit, en effet, que le même degré de flexion de ces ressorts, en supposant leur élasticité parfaite et indépendante du temps et de la fatigue (ce qui n'est pas, et exige de fréquentes vériOcations), indique constamment le même effort absolu, la même pression, pourvu que cet effort, celte pression s'exerce au même point et dans la même direction. Ainsi, pour nous, les forces seront toujours exprimables en unités de poids, en kilogrammes, par exemple, et nous n'en reconnaîtrons pas d'autres; mais, comme c'est un fait d'expérience que l'intensité de la pesanteur varie selon la position des lieux, il faut bien sous-entendre que cette unité de poids se

4 COUES DE HÉGAlflQUB

rapporte à un lieu délerminéy ou aux différents lieux pour lesquels Tintensité absolue de la gravité reste constante, ce qui est sensiblement vrai pour l'étendue entière d*un pays tel que la France.

6. Dénominations et valeurs diverses attribuées à l'unité de travail, — Le produit PH a reçu des mécaniciens diverses dénominations, qu'il importe de connaître: Smeaton, ingénieur anglais, auquel on doit de nombreuses expériences sur les roues hydrauliques, le nomme puissance mécanique; Carnot, dans ses Principes fondamentaux de V équilibre et du mouve-ment, le nomme moment d'activité; Monge et Hachette (voir le Traité des Machines de ce dernier) Tont appelé simplement effet dynamique, expression qui a le défaut d'être un peu vague dans sa généralité ; enfln Coulomb, suivi en cela par beaucoup d'autres. Ta nommé quantité d'action^ mots expressifs, dont il nous arrivera souvent de faire usage, concurremment avec celui de travail^ qui se présente naturellement à l'esprit, mais qui ont l'inconvénient de s'appliquer à une autre espèce de quantités déjà en usage dans la Mécanique rationnelle.

Quant à la valeur absolue de l'unité d'action ou de travail,

divers auteurs, à compierde MM. Montgolfier et Hachette, l'ont supposée égale au poids du mètre cube d'eau, ou looo kilogrammes, élevé à I mètre de hauteur; c'est ce produit que M. Hachette nomme la grande unité dyinamique^ M. Clément dynamicy et, en dernier lieu, M. Coriolis, dynamode (Du cal-cul de l'effet des machines), M. Charles Dupin a aussi proposé de prendre pour unité le poids de i mètre cube d'eau, élevé à I kilomètre de hauteur, unité qu'il nomme dyname (Cours de Mécanique, t. III, p. 4^7); mais il suppose que ce travaH s'est opéré régulièrement, en un jour, ce qui fait rentrer le dyname dans l'espèce d'unités dont il sera fait mention plus loin (n»7).

La notation employée par M. Navier (Architecture hydraulique de Bélidor, t. I, addition au Livre I), et qui consiste à placer l'indice *'»^*" ou *"*•" à droite et un peu au-dessus du produit du poids en kilogrammes par la hauteur en mètres, revient« prendre pour unité de travail i kilogramme, élevé à

ÀPPLIQUfiB AUX MACHIIfBS. 5

I mètre de hauteur, unité que nous nommerons simplement kilo gramme tre y afin d'abréger et d'éviter le rappel d'un travail particulier, l'élévation des corps pesants, qu'il n'est point indispensable d'exprimer, comme nous le verrons bientôt. D'ail* leurs> cette dernière convention et celle qui précède peuvent s'étendre à toutes les hypothèses qu'on pourrait avoir à faire sur les unités de poids ou de longueur qui entrent dans l'expression des unités de travail (^).

7. Définition du cheval dynamique. — Lorsque l'action des moteurs et des machines est longtemps continuée d'une manière uniforme, les nombres qui servent à évaluer le travail peuvent devenir embarrassants parleur longueur, et alors on convientde ne prendre pour sa mesure que celui qui se rapporte à l'unité de temps, par exemple à la seconde, à la minute, etc. C'est ainsi que les mécaniciens ont été amenés à introduire, dans la notion du travail servant d'unité, l'idée de la durée, qui y est totalement étrangère et ne peut s'appliquer avec exacttrtude qu'aux travaux où la même quantité d'action est développée régulièrement dans chaque unité de temps; encore ne faut-il pas perdre de vue la durée totale et effective du travail et tenir compte, par conséquent, de ses intermittences plus ou moins fréquentes, etc.

Les fabricants de machines à vapeur, entre autres, ont généralement adopté une unité d'action de cette espèce, nommée improprement par eux force de cheval, d'après l'expression anglaise horse-power, qu'il serait plus exact de traduire par celle de pouvoir de cheval on de cheval dynamique^ attendu que le mol force a un sens bien déterminé ( 5 ) en Mécanique, et qui ne cadre nullement avec l'idée qu'on attache à la quantité d'action ou de travail. Quoi qu'il en soit, l'expression de force de cheval^^zni généralement prévalu, nous pourrons en faire usage dans les applications de ce Cours, malgré le défaut qu'elle a de ne présenter en elle-même rien de précis, car sa valeur, qui ne peut être que purement fictive, a été différemment définie par les mécaniciens constructeurs (voir l'en-

(') Introduction à la Mécanique industrielle (3* édition, p. 76).

6 COURS DB MÉCANIQUB

droit cilé (6) de la nouvelle édition de V Architecture hydraulique de Bélidor). Celle qui paraît le plus universellement accréditée de nos jours représente une quantité de travail de 75 kilogrammètres, développée en chaque seconde, et se rapporte plus particulièrement à l'unité, diie routinière, adoptée en Angleterre d'après Watt et Boulton : telle est aussi la valeur que nous lui supposerons par la suite.

8. Travail des forces constantes agissant dans le sens du chemin décrit par leur point d'application. — Voyons maintenant comment on peut généralement évaluer le travail mécanique des forces quelconques, et ramener l'expression de sa mesure aux mêmes unités que celle qui se rapporte à l'élévation des fardeaux, suivant la verticale (').

En y réfléchissant un peu, on voit qu'exécuter un travail mécanique quelconque, c'est vaincre, d'une manière utile pour le besoin des arts, des résistances telles que la force d'adhésion des molécules des corps, la force du calorique et des ressorts, la force de la pesanteur, la résistance des fluides, les frottements et quelquefois l'inertie de la matière, comme lorsqu'il s'agit de lancer des projectiles, de mettre en action des marteaux, des pilons, etc.; les exemples de toute espèce ne sauraient ici manquer; mais, pour vaincre et détruire successivement des résistances continuellement renouvelées le

(.* ) Définition du travail mécanique, — Le but de ces considérations préli> minaires est d'établir une corrélation entre le travail^ tel qu'on le définit en Mécanique, et Veffet produit ou exigé par l'exécution d'un ouvrage. Pour éviter toute incertitude, il convient, dans les théories mécaniques, de n'attribuer à l'expression traveUl d^une force d'autre signification que celle de produit de ïa force et du chemin décrit par ion point d' application ^ estimé suivant la direc^ tion de la force, produit déterminé d'après les règles exposées aux n^* 8, 9 et 10, par simple définition, et abstraction faite de toute idée sur la constitution ou le mode d'action des moteurs, sur l'efiet obtenu dans la confection de l'ouvrage. V unité de travail est le produit de l'unité de force par l'unité de longueur.

Ce n'est qu'après avoir démontré divers tfiéorèmes relatifs au travail des forces dans les machines, que l'on peut établir nettement une relation entre un effet produit et la dépense correspondante, et se rendre un compte exact des raisons qui ont fait choisir le mot travail^ pour désigner le produit qui vient d'être défini i^iwir la note du n^ 46). (K.)

long d'un certain chemin, il faut un effort de traction ou de pression agissant au point d'application de cette résistance, et qui se renouvelle en se déplaçant lui-même constamment. Or il peut arriver, ou que l'effort soit dirigé à chaque instant dans le sens du chemin décrit par son point d'application, ou que cet effort varie d'une manière quelconque, en grandeur et en direction, sans cesser néanmoins de faire constamment équi* libre à la résistance que lui oppose directement son point d'application, en vertu du principe de l'action égale et contraire à la réaction.

Considérons d'abord le premier cas, et supposons que l'effort et par suite la résistance conservent une valeur constante à tous les instants, ou pour chacun des éléments de chemin parcouru; on pourra évidemment appliquer à cet effort le même raisonnement que pour le cas où il s*agissait (i) d'élever directement un poids à une certaine hauteur sans lui faire quitter la même verticale. La quantité d'action qu'il développera, dans une longueur de chemin donnée, sera donc ici encore directement proportionnelle et à Tintensité constante de cet effort et au nombre de fois qu'il a été répété, ou au nombre des résistances partielles et égales qui ont été vaincues, c'est-à-dire au produit de cet effort, exprimé en unités de poids (5), par la longueur effective du chemin parcouru dans sa direction propre, estimée en unités de distances. Q étant donc le nombre des kilogrammes qui mesurent l'effort, q celui des mètres qui mesurent la longueur du chemin, la valeur du travail pourra encore être exprimée par le produit

Q'^'Xg" ou Qç^«">,

en faisant attention qu'ici l'unité de travail, i kilogrammètre, se rapporte à un effort constant de kilogramme, qui se répète le long d'un chemin de i mètre dirigé d'une manière quelconque.

Si, d'ailleurs, on veut se rendre compte, dès à présent, comment cette unité a, sous le point de vue purement mécanique, la même valeur que l'unité analogue relative à l'élévation des fardeaux, suivant la verticale, il suffira de considérer que les machines offrent en général les moyens de transformer un

8 GOUftS Dl HÉGAHIQVI

travail industriel quelconque en un autre» et qu'elles opéreraient même cette transformation sans aucune perte, si l'on pouvait y éviter complètement les résistances étrangères, qui absorbent toujours une portion plus ou moins grande du travail moteur; mais c'est ce qui sera démontré directement et généralement un peu plus loin, quand nous aurons établi quelques autres données ou principes indispensables.

9. Travail des forces d'intensité variable. — Les raisonnements qui précèdent supposent que l'efTort exercé demeure constant et toujours dirigé dans le sens du chemin parcouru par son point d'application; s'il était variable, il faudrait considérer ce qui se passe dans chaque élément du temps pendant lequel son point d'application a décrit le chemin total q dans sa direction propre. Qdq sera évidemment la quantité de tra-vail élémentaire développée par Q le long de dq et

fodq.

pris entre deux positions quelconques du point d'application de la force, exprimera la quantité de travail totale développée dans rétendue de chemin comprise entre ces mêmes positions, quantité qu'on pourra calculer analytiquement, toutes les fois qu'on aura Q en fonction de </, et dans tous les cas, par approximation, au moyen du théorème dé Thomas Simpson, si l'on connaît seulement, par expérience ou autrement, chacune des valeurs de Q, qui répondent aux différentes valeurs de (/(»).

Nommons X l'effort moyen constant que devrait exercer une autre force, dirigée dans le sens dq^ pour produire la même quantité de travail; q' et q" les valeurs de q relatives à la première et à la dernière des positions du point de X et de

(') Introduction à la Mécanique industrielle (3^ édition, p. ig^); on trouve également dans cette édition, p. 197, une autre méthode de quadrature qui a été exposée par Poncelet dans ses Leçons à la Faculté des Sciences de Paris, et qui a été publiée, en premier lieu (i852), dans les Éléments de Mécanique de M. Resal. (K.)

APPLIQUÉS AUX MACHIHSS. 9

Q, de sorte que q' — q' soit la longueur de chemin qui a été parcourue; il est évident qu'on aura pour déterminer X la relation

X(9"-9')= r Qdq d'où X^-V^; .

La considération de cette valeur moyenne nous sera utile dans plusieurs circonstances.

10. Travail des forces variables d*une manière quelconque en intensité et en direction. — Enfin la force Q pourrait varier à chaque instant de direction, par rapport à l'élément de chemin ^/i décrit par son point d'application; a étant Tangle variable formé par ces directions, on concevra cette force décomposée en deux autres. Tune Q cosa, agissant suivant le prolongement de ds, l'autre Q sina, agissant normalement à la courbe décrite par le point d'application de Q. Celle-ci sera évidemment détruite parla résistance ou l'obstacle, quel qu'il soit, qui oblige le point d'application dont il s'agit à demeurer sur ds; de plus, l'élément de chemin décrit dans sa direction propre étant nul, il en est de même de sa quantité de travail, dont on pourra ainsi faire abstraction; mais comme elle tend à produire des compressions qui, dans'les systèmes-matériels, tels que les machines, fontnattredes résistances tangenlielles, étrangères aux forces actives de ces systèmes, et que, pour cette raison, on nomme nuisibles ou passives, il y aura lieu de tenir compte du travail dû à ces nouvelles résistances dans l'évaluation générale des effets mécaniques de pareils systèmes. Quant à la quantité de travail produite par l'autre composante Q cosa, elle aura évidemment pour valeur, d'après ce qui précède, rintégrale générale

/ Qcos <xds ou I Qdq,

qu'il faudra prendre entre des limites convenables, en observant que nous supposons ici dq = ds cos a, c'est-à-dire égal à la projection de l'élément de chemin ds sur la direction de

lO COUES PB MtCAlflQUB

la force Q; or il est très-digne de remarque que la quantité d'action ou de travail élémentaire

Qdtj = Qcos<xds

n'est autre chose que ce qu'en Mécanique rationnelle on nomme le moment virtuel de la force Q, pour le mouvement infiniment petit attribué à son point d'application; de plus, on voit qu'elle est la même que celle que l'on obtiendrait directement, en raisonnant con^me on l'a fait pour le premier cas ci-dessus, et considérant que l'espace élémentaire dq décrit par ce point dans le sens de la force est réellement cosads. De cette identité de nature entre les moments virtuels elles quantités de travail élémentaires ou instantanées des forces, pour le cas où le mouvement virtuel considéré est précisément le mouvement actuel et infiniment petit du point d'application de ces forces, on conclut de suite diverses conséquences relatives aux lois que suit, en général, la transmission du travail dans les systèmes matériels soumis à des puissances et à des résistances quelconques, et qui sont d'une application immédiate à la science des moteurs et des machines. Mais, pour bien faire saisir cette application, il est nécessaire de rappeler succinctement les notions élémentaires sur lesquelles elle repose et qui ont servi à en établir le principe ( ' ).

Théorèmes relatifs à la quantité de mouvement et à la force vive.

11. Ce que Von nomme proprement vitesse et quantité de mouvement. — On sait que deux forces appliquées tour à tour à un même corps qui cède librement à leur action, en se mouvant parallèlement à lui-même, dans le sens de cette action.

(') L'édition do i83i porte la note suivante : « Nous renverrons, pour tous les développements, aux Traités de Mécanique de MM. de Prony et Poisson, en observant que l'expérience de l'enseit^nement à l'École d'application nous a fait apercevoir l'utilité de revenir sur ces notions, ainsi que sur la démonstration des principes généraux qui en dérivent, et sans la parfaite intelligence desquels il serait impossible de bien comprendre la théorie du mouvement des machines. » Les principes rappelés dans les n*** 11 à 16 n'étaient pas reproduits dans les éditions antérieures à i836. (K.)

APPLIQUÉB AUX HAGHIlfSS. II

lui impriment, dans le même élément de temps dt, des vitesses qui sont inOniment petites, proportionnelles à leur inten site respeciive, et indépendantes du mouvement précédemment acquis. Ainsi p étant le poids absolu d'un cerlain corps ou point matériel, dans un lieu pour lequel la gravité lui imprime la vitesse gr = 9'"» 8088, au bout de la première seconde de sa chute, ou gdt dans chaque élément dt du temps, puisqu'il s'agit ici d'une force accélératrice sensiblement constante, et 9 étant une autre force motrice quelconque, capable d'imprimer au même corps et dans l'élément du temps dt l'accroissement de vitesse rff, on aura, d'après la loi énoncée:

<^:p\\dv:gdt, d'où 9 = ~^-

Soit pareillement />' le poids absolu (5) de ce corps dans un autre lieu quelconque, pour lequel la vitesse imprimée au bout de la première seconde serait g:'; on aurait également

9 = ^» d ou — , =-^ =:consl. = m;

S es

ce qui est évident a priori, puisqu'en vertu de la même loi

on a

p:p' ::gdt:g'dt.

Or le rapport m, qui demeure indépendant de l'intensité de la gravité en chaque lieu, est précisément ce que Ton est convenu de nommer la masse dû corps; définition qu'il faut admettre, sans s'embarrasser des idées physiques ou métaphysiques qu'on y attache quelquefois, en sorte qu'on a aussi par

simple convention

p=nig{').

(*) On voit que dans un même lieu, ou pour une contrée entière telle que la France (3), la masse reste sensiblement proportionnelle au poids, et l'on en conclut que les poids peuvent ôtre substitués aux masses ou pris pour les masses ; mais cela n'est vrai qu'autant qu'il s'agit de les comparer entre elles dans les formules où elles entrent d'une manière homogène par rapport aux autres quantités; car, puisque l'hypothèse mz=.p revient à prendre g pour l'unité de longueur, on voit qu'il peut arriver bien des cas, dont nous aurons des exemples par la suite, où l'on tomberait dans des erreurs grossières en substituant les poids aux masses.

12 COURS DB MÉGAIflQUE

Du reste» comme le rapport m ne change ni avec le Yolame, ni avec la formé, ni avec le poids absolu d'un corps» il arrive souvent que, sous le point de vue mécanique, on désigne sim» plement les corps par leurs masses, et c'est ainsi que nous en agirons par la suite. La première des équations ci-dessus nous donne en conséquence, v' étant la vitesse du corps à Tinsuim où Taction de la force commence, et (^ celle qui correspond à un temps quelconque écoulé depuis cet instant,

en supposant toujours que la force 9 entraîne le corps ^ dans

S le sens de sa propre direction, qui est invariable, comme pour

la gravité. Or les produits me, mv', qui correspondent aux vitesses v et v' possédées par le corps à la fin et au commencement de l'intervalle de temps où Ton considère l'action de la force, sont précisément ce qu'on est convenu de nommer les quantités de mouvement de ce même corps, relatives aux instants dont il s'agit; expression à laquelle il ne faut également attacher aucune idée métaphysique, et qui n'a, comme la précédente, pour objet que de faciliter l'énoncé des théorèmes de Mécanique, où les quantités telles que mvr=iE. ^^ se

reproduisent fréquemment.

D'ailleurs, on voit que la quantité de mouvement répondant

à une intégrale de la forme / (^dt, prise entre des limites déterminées, a une significalion très-distincte de celle qui se rapporte à la quantité d'action ou de travail (8), de sorte qu'il n'est pas permis de les confondre avec ces dernières, dans les applications.

12. Définition et mesure de la force vive. — En effet, nommant toujours, dans les hypothèses ci-dessus, de l'élément de chemin décrit par le point d'application de la force 9, pendant dty la quantité de travail élémentaire qu'elle aura développée dans le même temps sera (^de^ de sorte qu'on aura, entre les

APPLIQUÉE AUX MACHINES. l3

de mêmes limites de vitesses v' et v, et attendu que -77 = t^,

ai

I (fcle= 1 m-T:de= 1 mvdv=^\{mv^ — mv'*),

pour l'expression de la quantité de travail imprimé depuis la position où le corps possédait la vitesse /jusqu'à celle où il a acquis la vitesse v^ et qui d'ailleurs sera, comme on voit, positive ou négative, selon que v sera plus grand ou plus petit que c', ou selon que la force 9 tendra à accélérer ou à retarder constamment le mouvement primitivement acquis par le corps, l'accroissement instantané dv de la vitesse prenant dans ce dernier cas un signe contraire à v.

Les quantités mt'S m/' sont ce que les géomètres sont convenus de nommer une force vive, expression impropre, puisque nous n'admettons point d'autres forces que celles de pression, comparables à des poids, et à laquelle il ne faut encore attacher aucune idée métaphysique, mais qu'on doit considérer comme une définition abrégée du produit de la masse

2 d'un corps actuellement en mouvement par le carré de sa

vitesse effective. Par ce moyen, on évitera d'ailleurs de confondre entre elles la force vive et la quantité de travail qui se rapportent à des phénomènes et à des effets physiques'distincts, quoique, numériquement parlant, elles soient du même ordre et aient une mesure commune. En effet, l'équation ci-dessus exprime, quand on y suppose c' =0, ce qui répond au cas où le mouvement commence avec l'action de la force, que la force vive acquise par le corps est égale au double de la quantité de travail totale qui lui a été imprimée par cette force.

13. Définition et mesure de la force d'inertie dans le mouvement rectiligne. — C'est encore un axiome reçu généralement en Mécanique que Vaction d'une force en son point d'application est toujours égale et directement contraire à la réaction que lui oppose ce point. Or il en résulte que la force motrice 9, considérée ci-dessus, doit éprouver, de la part de

la masse m, une réaction mesurée par — m -tt» qui lui fait

l4 COUES DB MÉCANIQUE

équilibre et provient évidemment de la résistance opposée par l'inertie du corps à tout changement de mouvement; c'est pourquoi on nomme quelquefois cette résistance la force d'inertie, relative à la variation de vitesse dv. On voit gu'elle se. comporte comme une simple résistance quand le mouvement s'accélère, et comme une puissance véritable quand il se ralentit, la force motrice 9 jouant elle-même alors le rôle de résistance.

Du reste, la force d'inertie ne préexiste pas à l'instant où la variation du mouvement commence; elle naît, elle coexiste avec elle, de la même manière que la réaction d'un ressort par rapport à la force qui le presse, c'est-à-dire sans en détruire les effets physiques; car, si l'on appliquait à cet instant même au corps une autre force égale et directement contraire

dv à la force motrice 9, ou m ^»qui est capable de produire l'altération de vitesse dv, celle aUération n'aurait pas lieu, le mouvement demeurerait uniforme pendant l'instant dt, et il y aurait simplement équilibre cnlre les forces, dans le sens où on Tentend ordinairement, quand on applique le principe de d'Alembert, en remplaçant les forces du système par les quantités de mouvement qu'elles seraient capables d'imprimer ou ' qu'elles impriment en effet dans l'élément du temps. On voit donc que ces différentes manières d'envisager les choses reviennent, quant au fond, à la même; mais les considérations des forces d'inertie offrent l'avantage de faire concevoir a priori l'état des questions relatives à la transmission du mouvement.

14. Force d'inertie dans le mouvement curviligne, — Supposons maintenant que la force 9 change à chaque instant de direction, de façon que le corps, censé concentré en un seul point matériel et libre, décrive une ligne courbe quelconque sous l'action de cette force, combinée avec sa vitesse initiale. Le principe de la réaction égale et contraire à l'action n'en subsistera pas moins, c'est-à-dire que la résistance absolue et totale, opposée par l'inertie au changement du mouvement, sera encore égale et directement opposée à 9; ce qui devra avoir lieu, de la même manière d'ailleurs, pour leurs compo-

APPLIQUÉE AUX MACHINES. l5

santés respectives suivant la tangente et la normale de la courbe au point d'application. Mais la composante tangentielle, pour la force motrice, produisant la variation de vitesse dv^ éprouvée par le corps dans la direction rectilignede Télément qu'ildécrit pendant rinstani infinimentpetitûf/, on aura, comme on sait et comme il est évident a /^r/or/, pour sa valeur, la quan-

lilé — m -1- relative au cas du mouvement rectiligne (12),

tandis que la composante normale, qui empêche le corps de s'écarter de la courbe, devra être égale et précisément contraire à \di force centrifuge^ dont la valeur est, comme on sait encore, exprimée par

wc'

r étant le rayon de courbure au point considéré.

Donc la composante normale de la force d'inertie n'est

autre chose que celte même force centrifuge, et sa compo-

dv santé langentielle a pour valeur la quantité — ni-j-'» dont le

signe doit toujours être contraire à celui de dv\ donc la force d'inertie totale de la masse m a pour valeur absolue la quantité

qui est aussi celle de la force motrice 9.

Quant à la quantité de travail développée par chacune de ces forces, pendant l'élément du temps A, il est clair (9) qu'elle se réduit simplement à celle de leurs composantes tangentielles, c'est-à-dire (13) à

m-f-de = mvdv dt

pour la force motrice, et à — mvdv pour la force d'ioerlie, de sorte que, dans toutes les questions où l'on n'a à,s^QCCuper que des quantités de travail développées par les forces d'inertie des différentes masses d'un système, on peut, à la rigueur, faire abstraction des composantes normales de ces forces, c'est-à-

l6 COURS DE ■ÉCàMIQUB

dire des forces centriruges, pour ne tenir compte que de celles qui agissent dans le sens de Télémentdu chemin décrit» et que» à cause de leur activité parliculîère, on pourrait nommer les forces vives des corps; mais, comme cette expression est universellement admise pour désigner la valeur de leur travail, dans un intervalle de temps Oni et déterminé, nous la remplacerons par celle ûe force d'inertie tangenlielle^ et quelquefoiSy dans la vue d'abréger, simplement par celle de force d'inertie. Au surplus, en faisant de telles absiraciions, on ne devra pas perdre de vue que les forces centrifuges des différentes masses, bien qu'elles n'aient par elles-mêmes aucune activité, sous le rapport du travail, n'en exercent pas moins une certaine influence sur le mouvement des systèmes matériels dont elles font partie, en concourant (9) simultanément avec les composantes des autres forces normales aux courbes décrites par leurs points d'application respectifs à développer sur les points d'appui, sur les articulations de ce système, s'il en possède, des pressions qui font naître des résistances passives analogues au frottement, et qu'on devra pouvoir calculer lorsque la loi du mouvement, à un instant donné, sera connue pour les points matériels du système.

15. Principe delà transmission du /rava//. — Tout ceci étant bien entendu, il ne sera pas difficile de démêler le rôle que joue chaque espèce de force dans un système quelconque de corps matériels en mouvemenl, sous des conditions données, et tels que ceux qui constituent les moteurs et les machines de Tindustrie. En effet, considérons à un instant donné, ou pour une position déterminée des différentes masses, l'ensemble de toutes les forces, tant intérieures qu'extérieures, tant actives que passives (autres que les forces d'inertie), qui

agissentsimullanémentsurle système etcxercent une influence appréciable, mais quelconque, sur l'état du mouvemenl de ses divers éléments matériels; puis supposons qu'on applique à chacun de ces éléments d'autres forces capables d'empêcher la modification qu'éprouve réellement ce mouvement, sous la seule action des premières et pour la durée infiniment petite du temps dt qui suit l'instant dont il s'agit, il est clair que ces

ÀPPUQUÉB AUX HACHilTBS. I7

nouvelles forces, détruisanl l'effet des autres, elles leur feront nécessairement équilibre. Mais ces mêmes forces sont précisément égales en intensité et en direction aux réactions ou forces d'inertie (13 et 14) qui naissent du changement de mouvement des différentes masses; donc il y aura simplement équilibre entre toutes les forces qui agissent efficacement sur le système et ces mêmes forces d'inertie.

Représentant donc par IQdq la somme des quantités de travail élémentaire développées par les forces efOcaces dont il s'agit, en prenant positivement celles de ces quantités qui appartiennent à des forces agissant dans le sens du mouvement de leur point d'application et négativement celles des forces qui agissent dans le sens contraire; désignant pareillement par 1 — mvdv = — Imvdv la somme des t]uantités de

travail relatives aux forces d*inertie — m -y- des différentes

al

masses du système, quantités dont le signe doit toujours être opposé à celui que prend naturellement le produit vdv pour chaque masse m, attendu que la force d'inertie agit comme résistance (10) quand le mouvement de cette masse s'accélère, c'est-à-dire quand dv^ le sens et le signe de v, et comme puissance quand il diminue, ou que dv a un signe contraire à i^; en faisant, dis-je, ces suppositions, et observant que les quantités de travail ne sont ici autre chose que les moments virtuels relatifs à chaque force et au mouvement effectif du système, on aura, d'après un principe bien connu, la relation

IQdq — Imvdv = 0j

qui exprime que

La somme des travaux élémentaires développés, tant par les différentes forces qui produisent la modification du mouvement, que par les forces d'inertie qui naissent de cette modijîcation, est constamment égale à zéro,

16. Principe des forces vives. — L'équation ci -dessus ayant lieu pour tous les instants et étant indépendante d'ailleurs du mode d'action des forces, qui peut être quelconque

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et même discontinu, pourvu qu'on ait égard aux intermittences de cette action, dans l'appréciation des quantités de travail relatives à chaque force, il en résulte que son second membre sera susceptible d'être intégré, dans tous les cas; elle donnera lieu à ce qu'on nomme le principe des forcer vivesj envisagé dans l'acception la plus générale. Nommant en effet

i/ la vitesse de la masse quelconque m au premier instant^ ou pour la première position où l'on veut considérer le système ;

V ce que devient cette vitesse, pour un autre instant, ou pour une autre position donnée de ce système;

désignant d'iailleurs par / Qdq la quantité de travail déve-

loppée par la force quelconque Q dans le même intervalle, travail qui peut être intermittent et prendre des valeurs quelconques, on aura la nouvelle équation

qui exprime que :

Entre deux positions quelconques et données du système, l'accroissement de la somme des forces vives de différentes masses est égal au double de la somme des quantités de travail positives ou négatives, imprimées dans le même inteivallepar toutes les forces distinctes de l'inertie qui ont agi sur le système.