II. — Applicatio!Y du principe des forces vives au mouvemekt

DES XACUINES.

Gonditiona spéciales que présentent les machines.

17. Idée de la constitution physique des machines. — Pour appliquer le principe de la transmission du travail ou des forces vives à la théorie des machines telles qu'on les con^i-

dère dans les arls, nons devons remarquer qu'elles se composent, en général, d'une suite de pièces matérielles, qui se communiquent le mouvement de proche en proche, depuis celle qui est immédiatement soumise à l'action du moteur, et qu'on nomme le récepteur, jusqu'à celle qui opère immédiatement le travail utile et qu'on nomme Voutil ou Vopérateur. Or on donne toujours, tant à ces pièces extrêmes qu'à celles qui servent d'intermédiaires, et qu'on nomme les communicateurs du mouvement, un degré de solidité, de rigidité ou d'inextensibilité suffisant pour que, sous les efforts qu'elles ont à supporter, elles conservent une forme sensiblement invariable et transmettent la vitesse, sans perte appréciable, d'une extrémité à l'autre de la machine, c'est-à-dire par des lois dépendant uniquement de la constitution géométrique du système.

C'est en effet dans cette supposition qu'on envisage ordinairement la théorie des machines, afin d'éviter des difficultés qui seraient souvent insurmontables dans l'état actuel de nos connaissances mécaniques, si l'on voulait tenir compte de toutes les réactions moléculaires et intimes qui naissent de la compressibilité des corps, même les plus solides. Mais il ne faut pas oublier, pour cela, que cette compressibilité existe, et qu'elle est la cause de certaines pertes de travail, de certaines résistances qiji'il n'est pas permis de négliger dans le calcul des effets des machines et dont on apprécie la valeur d'une manière approximative, soit à l'aide de l'expérience, soit à l'aide du calcul et du raisonnement ('].

(') Cette hypothèse permet d'étudier d'une manière simple les circonstanceH principales du mouvement d'ensemble des machines. H faut remarquer toutefois que les machines industrielles comprennent le plus souvent des arbres de grande longueur, des courroies et d'autres organes qui, sous l'action des efforts Tariables qu'ils transmettent, subissent des déformations très-appréciables; il faut alors tenir compte non-seulement des pertes de travail qui en résultent, ainsi que cela est dit dans, le texte, mais encore des modifications souvent trèsconsidérables qu'éprouvent les mouvements relatifs des pièces du système. Une étade spéciale est nécessaire, dans ces cas, pour déterminer les vitesses relalÎTcs des divers points qui ne peuvent plus être calculées par la simple considéntioD du tracé géométrique. 11 est nécessaire de tenir compte de ces déforma-

20 GOUBS DB HÉGAlflQIJB

18. Pertes de travail provenant de la réaction des ressorU moléculaires. — Les frottements, l'adhérence, la roideur des cordages sont des résistances qui tiennent à des causes de cette espèce et qui sont étrangères au travail utile, car elles supposent des déplacements moléculaires dus, les uns au mouvement tangentiei des corps soumis à des pressions normales, les autres à leurs flexions plus ou moins grandes et continuellement renouvelées ; ces résistances et quelques autres, telles que celle des milieux dans lesquels les corps se meuvent, accompagnent d'une manière constante le meuve'ment des machines, et il arrive rarement qu'on puisse se dispenser d'en tenir compte.

Quant aux actions moléculaires qui sont mises en jeu parle changement de forme général des pièces solides qui se communiquent le mouvement, c'est-à-dire par la flexion, l'exten* sion, la torsion, etc., que ces pièces éprouvent sous les efforts dus à cette réaction réciproque, l'expérience démontre qu'on peut négliger la considération de leur travail toutes les fois que l'état de compression reste sensiblement le même pendant la durée entière du mouvement, ou qu'il n'éprouve que des variations très-faibles.

Mais lorsque ces variations sont fréquemment répétées et suivies de déformations permanentes des corps, lorsque surtout elles sont dues aux forces d'inertie, aux réactions de toute espèce qui se développent dans les changements brusques du mouvement, par suite des chocs dus à la rencontre de corps animés de vitesses contraires ou inégales, il devient indispensable de tenir compte des pertes de travail qui peuvent résulter, tant de ces déformations en elles-mêmes que des mouvements relatifs imprimés aux molécules, mouvements étrangers à celui par lequel s'opère le déplacement

lions dans Tétude d'un grand nombre de questions pratiques dont rhypothèsc de l'invariabilité des or^^anes ne peut pas donner la solution. II est à remarquer que, m6me dans le mouvement uniforme, le rapport des vitesses n'est pas rigoureusement celui qui résulterait du tracé, dans les cas fort nombreux aujourd'hui où l'on se sert de courroies pour transmettre le mouvement {^-voir les Notes des n»* 39, 41, Section 1; du n» 15, Section III). (K.)

général des corps du système et qui s^éteignent rapidement, comme on sait, par leur opposition réciproque ei parleur dissémination générale dans les masses environnantes.

Nous exposerons plus tard les principes d'après lesquels on estime approximativement cette perte de travail; quant à présent, il nous suffit de remarquer : i® que la durée des chocs, tels qu'en éprouvent les machines, est généralement négligeable par rapport à celle du temps où l'on considère le mouvement de la machine; i^ que, les pièces qui subissent ce choc étant constituées de façon que les altérations de forme qu'elles éprouvent sont en elles-mêmes fort petites, le système se retrouve après le choc sensiblement dans les mêmes conditions de liaisons géométriques qu'auparavant, l'intensité de la vitesse absolue de chaque point étant seule changée ; 3® qu'enfin le résultat du choc a été simplement une perte de force vive éprouvée par les différents corps et qui est mesurée par la différence de celle que le système possède avant et après le choc.

Équations générales du monyement des machines.

19. Établissement des équations générales d'après le principe des forces vives. — D'après ces diverses considérations, on voit que les seules forces dont il soit nécessaire de tenir compte dans la pratique sont : i® les forces motrices destinées à produire le travail utile et à vaincre toutes les résistances nuisibles : leurs travaux instantanés ou élémentaires peuvent être représentés (10) par des expressions de la forme ¥df, qui seront essentiellement positives; 2? les résistances nuisibles ou passives de toute nature (18) et qui agissent d'une manière continue ou intermittente, pendant la durée entière du mouvement : leurs quantités de travail élémentaire négatives pourront être représentées par des expressions de la forme — Rdr; 3'* les résistances utiles qui constituent le travail des dernières pièces de la machine et jouent le même rôle que les précédentes, de sorte que leurs quantités de travail élémentaires peuvent être représentées par des termes de la forme — Qdg; 4^ les poids des divers éléments matériels

du système, qui, agissant tantôt dans le sens du mouvement, tantôt dans le sens contraire, donnent lieu à des quantités de travail que nous représenterons, en conséquence, par des expressions de la forme ±pdh ou ± mgd/i, m étant la masse d'une molécule matérielle quelconque, mg^ ou p son poids (11) et dzdh la hauteur dont elle s'abaisse ou s'élève selon la verticale et dans l'élément du temps où l'on considère le mou-

vement de la machine; 5** enfin la force d'inertie — ^-^n (*8)

des diverses molécules dont il s'agit, produisant dans le même élément du temps des quantités de travail reprcsen-tées (14) par — mvdv et qui s'ajoutent à celles des puissances ou s'en retranchent, selon que la vitesse de chaque molécule décroît ou augmente, c'est-à-dire selon que le produit rc/v est négatif ou positif.

Ainsi on aura, en conservant du reste les notations et conventions des n" 15 et 16

lmvdv = lYdf'-'l\{dr — lÇidq±lmgdh

pour chaque élément du temps, cl

lmv'-lmv''='2lf¥df'-2lfî{dr^iilfQdq±2lfmgdh,

entre deux instants quelconques dont le premier correspond à la vitesse v\ antérieurement acquise par la molécule m, ei dont le dernier correspond à la vitesse v qu'elle a reçue sous l'influence des forces proposées.

20. Termes relatifs au poids des pièces en mouvement. — Avant d'aller plus loin, nous ferons observer que les termes Imgd/i, Ifmgd/i peuvent être mis sous une forme plus simple en les supposant intégrés, soit pour toute l'étendue de la machine, €oit pour l'intervalle de temps qui répond aux vitesses v et v' de la masse m; nommant en effet h la hauteur dont s'est élevée, dans cet intervalle, la masse élémentaire dont il s*agit; M et P la somme des masses et des poids de toutes les parties matérielles qui constituent le système, c'està-dire la masse et le poids total des pièces mobiles de la machine; enfin H la hauteur dont s'est élevé, toujours dans cet

ÀPPUQUÉE AUX HACHIIOES. 23

intervalle de temps considéré, leur centre de gravilé général, on aura évidemment, par la théorie du centre des forces parallèlesy

lmgdh = VdU, Ifmgdli = Imgh = PH,

relations qui n'auront lieu qu'autant que le poids P restera le mènre à chaque instant, ou qu'aucune des masses m ne quittera le système pendant l'intervalle auquel s'appliquent les sommations et intégrations. Généralement nous supposons qu'on n'applique le principe des forces vives aux machines que pour chacun des intervalles où les conditions restent les mêmes, ou plutôt que, si ces conditions sont susceptibles de changer, soit dans chaque élément du temps, soit à des instants déterminés, on y ait égard lors de l'intégration des différentes quantités de travail, ce qui est bien évident a priori, d'après la manière dont nous envisageons ( 16) le principe des forces vives, mais ce qui demande quelque attention dans les applications de ce principe aux divers cas.

. 21. Forme abrégée des équations du mouvement. — En supposant la seconde des équations (19) intégrée de la même manière,* par rapport à chacun des termes dont elle se compose, nous pourrons, dans la vue de simplifier les énoncés, récrire ainsi sous une forme abrégée,

mt/- — mi''»^: 2(f/— Rr— QgdiPH);

mais il ne faudra pas oublier la manière dont elle a été obtenue, ni la signification véritable de chacun de ses termes.

Nous représenterons de même son équation différentielle, qui a lieu à chaque instant du mouvement (9), par

mvdv = Frf/- Rrfr - Qrfy ± PrfH.

Ces notations reviennent simplement à supposer que les forces variables qui agissent sur le système ont été remplacées par les valeurs moyennes (9) qui leur correspondent entre les deux instants où l'on considère le système.

24 ODUIS BB HÉCAKIQ»||ir

DiscnstioB des éqoationi ^foèrales.

22. Influence de la gravité sur V effet utile. — Les équations que nous venons de poser ei de définir contiennent implicitement toute la théorie des machines en niouvement; mais, pour en bien saisir l'esprit, il est nécessaire d'examiner à part la signification de chacun de leurs termes et son in* fluence sur les effets généraux de la machine, et principalement sur l'effet utile Q9, qu'il s'agit évidemment de rendre le plus grand possible, eu égard à la quantité d'action F/dé-^ veloppée par le moteur.

Pour cela, résolvons la première de ces équations par rapport à Q9, nous aurons

Qî = F/-Rr±PH+2^-^^î:!.

Considérons d'abord le terme PH qui concerne les poids des pièces matérielles de la machine; on voit qu'il disparaîtra de l'équation toutes les fois que le centre de gravité de tout le système restera constamment à la même hauteur, car H sera alors égal à zéro; autrement il ne disparaîtra de l'équation que les parties de ce terme relatives à des poidç dont le centre de gravité ne monte ni ne descend, comme cela a lieu, par exemple, pour les diverses roues centrées ou dont l'axe passe par le centre de gravité, pour les courroies et chatnes sansfin^ pour les chariots ou pièces qui glissent sur des plans horizontaux, etc. Dans tous ces cas, il ne faudra pas oublier que, si le poids de ces pièces disparaît de l'équation ci-dessus, il n^en est pas moins nécessaire de tenir compte des résistances de toute espèce qui en résultent et dont l'influence se fait sentir dans les termes relatifs aux frottements et aux forces vives du système.

Mettant d'ailleurs de côté le cas où l'un des corps de la machine s'élèverait ou descendrait constamment pendant la durée du mouvement, puisque son poids p (19) ferait partie de la résistance utile Q, ou de la force motrice F, il restera à examiner celui où il baisserait et monterait alternativement, comme cela aurait lieu pour une roue non centrée ou qui ne

APPLIQUÉE AUX HAGHIlfES. lS

tournerait pas rond^ pour une scie yerticale qui recevrait le mouvement d'une manivelle, etc. ; alors, s*ll ne quitte jamais la machine, son poids ne produira d'autre effet que d'augmenter ou de diminuer périodiquement et de quantités égales la somme des quantités d'action imprimées par les autres forces, c'est-à-dire de manière que cette somme et Teffet utile Q^ ne seront nullement altérés entre deux instants où sa position sera redevenue la même, attendu qu'on aura entre ces instants fpdh = o ; mais si le poids des pièces à mouvement alternatif n'exerce directement aucune influence nuisible sur l'effet utile, il n'en fait pas moins naître des résistances en chargeant les points d'appui et en altérant, comme on le verra plus tard, la vitesse et la force vive du système relatives à chaque instant.

23. Influence des résistances passives et des chocs, — Il n'y a rien de semblable à dire sur le terme Rr, qui contient les quantités de travail dues aux résistances passives de toute espèce; car elles tendent constamment (19) à détruire une certaine portion du travail moteur F/. C'est pourquoi l'on aura, dans chaque cas, à examiner les moyens de diminuer le plus qu'il est possible leur influence, en recherchant la forme, la vitesse et la disposition qu'il convient de donner aux parties qui y sont soumises, pour rendre le produit Rr un minimum.

D'ailleurs, il est essentiel de distinguer (18) les résistances passives qui agissent d'une manière continue pendant la durée du mouvement, telles que les résistances du milieu, le frottement, etc., de celles qui ne se reproduisent que par intervalles et dans des Instants excessivement courts, telles -que celles que développent les chocs ou changements brusques quelconques de la vitesse des corps du système ; les premières opérant à la manière de la pesanieùr ou des forces motrices quelconques, on conçoit très-bien comment on peut évaluer leurs quantités de travail, dans tous les cas où la loi de leur intensité est connue (10). Quant aux autres, il faut supposer que, pendant le temps très-court où les corps réagissent et se compriment, les forces moléculaires sont mises en jeu, de manière à développer, en sens contraire du mouvement, des

26 COURS DB HftCÀNIQCE

quantités de travail qui sont numériquement (18) la moitié de la somme des forces vives détruites pendant l'acte du choc. somme qui est toujours comparable, comme nous le verrons par la suite, h la force vive totale du système, même quand les corps qui y entrent seraient ce qu'on uoiamt parfaitement élastiques, c'est-à-dire tels qu'ils reprissent exactement après le choc la forme qu'ils possédaient auparavant.

24. Inconvénients des chocs; moyens de les éviter. — On remarquera au surplus que, si le choc est destiné à produire un effet utile, comme lorsqu'il s'agit de comprimer, d'écraser un corps sous l'action d'un pilon ou d'un marteau, une partie de la force vive perdue par les pièces de la machine doit être censée appartenir au terme Qg : c'est celle qui est strictement nécessaire pour produire le changement de forme qui a lieu dans la matière à comprimer ou à diviser. On conçoit même que la majeure partie de la force vive du pilon serait utilement employée, si ce dernier était parfaitement rolde et élastique, si sa forme et sa constitution physique ne s'altéraient pas dans un même choc oa par la répétition des chocs, et si, enfin, il ne conservait après le choc, ainsi que la matière qui y est soumise, aucune vitesse relative et étrangère a l'effet utile ; mais, comme il en est tout autrement, comme le mouvement est toujours accompagné de résistances passives, on voit qu'il y a nécessairement une portion notable de la force vive imprimée au pilon, ou du travail que suppose cette force vive, qui est consommée en pure perte. Voilà pourquoi aussi, et indépendamment des autres raisons à alléguer, il vaut mieux produire les effets ci-dessus par de simples pressions, ainsi qu'il arrive dans les machines à cylindres, à meules, etc., que les bons constructeurs substituent, avec raison, aux pilons et aux marteaux.

Si donc il est utile d'éviter les chocs dans le cas actuel, à plus forte raison en est-il ainsi quand ce choc n'est pas indis* pensable à l'effet qu'on veut produire. C'est ce qui a lieu, par exemple, lorsque des pièces se quittent et se reprennent brusquement avec des vitesses finies, soit qu'elles abandonnent entièrement la machine, soit que, servant à communiquer

le mouvemenl, elles offrenl beaucoup de jeu dans leurs articulations et éprouvent des changements de vitesse en intensité et en direction, telles que les pièces à mouvement aîiernaiif, etc. On évite en partie ces cfiFets en diminuant ce jeu le plus qu*il est possible et en employant, pour transformer le mouvement continu en mouvement alternatif, des ressorts, ou, ce qui vaut mieux, des manivelles, des excentriques qui éteignent et restituent graduellement la vitesse au commencement et à la fin de chaque oscillation; enfin en disposant les parties qui transmettent le travail par leur contact et en général toutes les pièces de la machine, de façon qu'elles soient rigoureusement assujetties dans leur tracé et leur mouvement à la loi de continuité.

L'effet des changements brusques quelconques esl, d'ailleurs, de faire éprouver aux machines des secousses qui détériorent leur constitution en fatiguant les assemblages, en désunissant les parties et augmentant le jeu, ce qui a pour résultai inévitable une augmentation progressive des pertes de travail. On peut en dire autant des fortes pressions en général, lorsqu'elles éprouvent des alternatives fréquentes et longtemps répétées en direction et en intensité.

25. Influence de la forme et de la vitesse du récepteur. — Passons maintenant à ce qui concerne le terme F/, relatif aux quantités de travail développées par les forces motrices, et remarquons que les moteurs peuvent èire primitifs, tels que la gravité et le calorique, ou secondaires, tels que lesaniniaux, le vent, les cours d*eau et la vapeur. Il ne peut être ici question du mode d*agir des uns et des autres; tout ce qu*il importe de remarquer, c'est que la pression F, exercée par le moteur secondaire sur le récepteur, est, en général, susceptible de varier avec la vitesse propre v de cette pièce, de telle sorte que, étant nulle pour une vitesse de son point d application égale à la plus grande vitesse Y que puisse prendre librement le moteur, elle est, au contraire, la plus grande possible quand le récepteur est immobile ou que v = o.

La quantité d'action F/, communiquée par le moteur à la machine, étant ainsi nulle pour les cas extrêmes dont il s'agit.

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on voit qu'il y aura une valeur de v, comprise entre o ei V, qui rendra le produit F/ un maximum ('); cela paraîtra évident, si Ton considère la manière d'agir de quelques-uns des moteurs secondaires, tels que les animaux et l'eau. D'ailleurs, il y aura, dans chaque cas particulier, d'autres conditions à remplir pour rendre F/ le plus grand possible : il faudra notamment éviter les chocs et toute décomposition de la force et de la vitesse du moteur qui serait nuisible à l'effet, ou ferait croître inutilement la pression sur les appuis et les résistances passives, etc. ; mais il est impossible de donner des préceptes généraux a cet égard, et ce ne serait pas le lieu d'entrer dans des détails.

26. Influence de la forme et de la vitesse de V outil. — /»• fluence de V inertie des masses, — Il nous reste à dire un mot des termes de notre équation (22) qui concernent l'inertie ou les forces vives de la machine; car il est assez évident qu'on peut répéter à l'égard de i'effot utile Q^ ce qu'on a dit des résistances passives en général : ainsi l'on aura à examiner la vitesse, la forme, etc., qui conviennent à V outil o\x opérateur, pour qu'à dépense. égale de travail il produise le maximum d'ouvrage d'une espèce déterminée; l'expérience a, en effet, appris que chaque outil offre une vitesse qui est la plus avantageuse possible, ei dont on ne saurait s'écarter sans inconvénients, soit pour la qualité, soit pour la quantité des produits.

Passant donc aux termes qui contiennent les forces vives mi/' et mv'S possédées par les différentes pièces de la machine.

(*) Plusieurs auteurs ont reproduit ce raisonnement, dans le but de démon* trer que, pour tout moteur, il existe une vitesse du récepteur qui donne liea au meilleur rendement ; nous croyons devoir faire remarquer que le raisonnement du texte ne s'applique pas à la question ainsi posée; il répond à la détermination de la vitesse qui conduit au maximum de travail dans Tunité de temps, vitesse qui, {généralement, n*est pas celle qui se rapporte au meilleur rendement. Quant à la vitesse à laquelle il convient de faire fonctionner les machines industrielles, et que Ton nomme vitesse de règle ou lùtesse normale^ elle ne correspond, le plus souvent, ni au meilleur rendement, ni au maxîmam de travail par unité de temps. Des considérations d*un autre genre doWent encore intervenir pour déterminer cette vitesse, dans chaque cas ( voir la Note du n« 42). (K.)

à la fin et au commencemeni de Tintervalle de temps pendant lequel on considère son mouvement, on remarquera que l'un tend à augmenter et l'autre à diminuer l'effet Q^ ; mais, comme les machines partent nécessairement du repos et qu'elles n'acquièrent de vitesse que celle que leur communique le moteur, on voit que la quantité de travail mesurée par la force

vive en suppose une autre primitivement dépensée par

ce moteur et qui lui est toujours supérieure, à cause de résistances nuisibles inhérentes à la constilution de la machine.

mv'

Quant à la force vive — j qui se présente comme une* perte

véritable de travail, on pourra l'utiliser en partie vers la fln du mouvement de la machine en laissant agir celle-ci seule et en vertu de sa seule inertie, contre les résistances que présente la matière à confectionner; ce que, d'ailleurs, ne permet pas toujours la matière du travail et le genre de l'outil; mais comme, dans tous les cas, les résistances passives en absorberont une portion notable, on voit qu'il y a, de toute manière, de l'inconvénient à laisser acquérir une certaine force vive aux différentes pièces, indépendamment de ce que l'influence des chocs et des résistances nuisibles croît avec l'augmentation des masses et de la vitesse. Néanmoins, si le mouvement de la machine doit être longtemps continué, la perte de travail,

représentée par — j devient négligeable par rapport à l'effet

utile total, et son influence est nulle comparativement à celle qu'elle exercerait dans le cas où le mouvement de la machine serait interrompu par de fréquents repos.

On voit aussi que, si l'effet utile consiste à élever ou mouvoir des corps dans une direction quelconque, il y a toujours une certaine perte de force vive ou de travail, lorsque ces corps quittent la machine avec une vitesse acquise; cette vitesse doit être nulle ou la moindre possible.

Quant aux pièces à mouvement alternatif, dont la vitesse s'éteint à la On et au commencement de chaque oscillation, on voit aisément que, si cette vitesse varie par degrés insensibles, leur force vive n'aura d'autre effet que de diminuer et

3o COURS DE HÉGAMIQUI

d'augmenter périodiquement celle de la machine, de façon qu'elle redeviendra la même à la fin et au commencement de chaque oscillation, et qu'il n'y aura, sous ce rapport, aucune perte de quantité de travail.