III. — Circonstances principales du mouvement des machines

Lois générale» du mouyement.

27. Nature particulière du mouvement des machines. — Après avoir examiné à part l'influence des différents termes de réquaiion des forces vives (22) sur l'effet utile, nous allons maintenant en déduire les lois mêmes du mouvement des machines.

Les machines sont en effet assujetties à exécuter des périodes de mouvement qu'on nomme tours^ révolutions^ et au bout desquelles la position des différentes masses redevient la même qu'auparavant; or, toutes les pièces étant solidaires, la vitesse se communique de proche en proche, par c^s lois purement géométriques, de façon que celle des divers points peut s'exprimer en fonction de la vitesse de l'un quelconque d'entre eux et de la variable qui fixe sa position à chaque instant. L'équation des forces vives donnerait donc celte vitesse à un instant quelconque, si l'on connaissait, pour cet instant, les quantités d'action totale imprimées au système par les différentes forces, et, sous ce point de vue, elle contient implicitement les lois du mouvement de toutes les machines.

Si l'on suppose que le système soit parti du repos, on fera i/= o dans l'équaiion

Imt;* — 2mv/»=: 2 2/F(//— al/Rrfr- 2lfQdq =t aPH,

et elle donnera la valeur de la vitesse v de la masse quelconque m, puisque, d'après la nature des machines, les vitesses des diverses autres masses ont avec v des rapports donnés et dépendant seulement des grandeurs qui fixent la forme et la position des différentes parties du système à chaque instant.

Si l'on veut seulement considérer ce qui se passe dans l'in-

APPLIQUÉE AUX MACHINES. 3l

tervalle de temps infiniment petite//, pendant lequel Taccroissement de vitesse de m est dvy correspondant aux espaces élémentaires df^ dr, dq, on aura, en différentiant Téquation ci-dessus, par rapport au temps,

Imvdv^lFdf-lKdr — lQdqzïz^dE,

équation qui servira à faire connaître l'accroissement de vitesse reçue à chaque instant p^r l'un quelconque des points de la machine et par suite la loi du mouvement.

Pour le démontrer, nous remarquerons que, si l'on nomme e le chemin total décrit par la molécule m à l'instant où sa vitesse est w, de sorte que udt = de, puis que l'on représente par cp(p)en général la fonction purement géométrique qui exprime le rapport de la vitesse v d'un élément de masse quelconque de la machine à la vitesse u au même instant, on pourra remplacer les quantités Imv*, 2m/% par leurs équivalentes

dans les équations précédentes, qui deviendront ainsi, en représentant par k et A^, pour abréger, les valeurs de 2mq>(e) , 2m<p(e') relatives aux deux positions distinctes considérées,

ku' — A-'tt" = 2 If^df-- 2 2/R rfr - 2 IfQ dq rb PH, kudu + \u'dk = lFdf-^lKdr - IQdq ± Vdh,

et comme df, dr et dq ont aussi avec de des rapports qui sont purement fonctions de e et des constantes qui fixent la grandeur et la position relative des parties matérielles du système, qu'enfin F, R et Q sont censées constantes ou variables, suivant des lois qui sont données a priori, en fonction du temps, ou des variables/, r eiq, c'est-à-dire de e, on voit que la dernière de ces équations donnera, par les méthodes connues, la loi effective du mouvement, de sorte qu'étant réunie avec la précédente elle doit contenir implicitement touiaa.ies propriétés essentielles des machines telles que nous^m'^nvisageons ici.

Mais, pour qu'il en puisse être ainsi, il faut supposer que

32 COUAS DB MÊGAlflQUB

Ton tienne compte de toutes les circonstances qui surviennent pendant le travail des forces, et notamment de celles qui peuvent momenlanément suspendre ou modifier leur action et le mouvement des différentes parties matérielles, comme il arrive, par exemple, dans le jeu des pilons ou des marteaux, cil certaines masses quittent et reprennent alternativement la machine : les intégrales doivent alors évidemment se prendre dans les intervalles distincts à considérer.

28. Du mouvement à partir du repos. — A l'instant où une machine sort du repos, le travail élémentaire Fd/du moteur surpasse nécessairement celui de toutes les résistances réu» nies, c'est-à-dire que ¥df— Kdr— . . .^o. Cela arrive ordinairement, ou parce que la résistance utile Q a sa valeur mi-nimum, ou parce que la pression motrice F a le maximum de la sienne (25). La force vive augmente ainsi à chaque instant d'une quantité d[mv^) = 7,mvdv, égale au double des quantités d'action élémentaires imprimées par les puissances.

L'accroissement de la force vive continuera tant que le moment Ydfon le travail élémentaire du moteur l'emportera sur celui Rrfr-i- Qdq. . . des diverses résistances ( '); mais il faut admettre, conformément à l'expérience et à la nature des machines industrielles, que la force vive ne croîtra pas indéOnlment, du moins d'une manière appréciable, et atteindra plus ou moins rapidement une limite ou maximum pour laquelle on aura

-i d[mv^) = Fdf— Rrfr— Qrfg dt ?dh = o,

(*) Période de mise en marche des machines. — Il est bien rare, dans la pra. tique, que le travail élémentaire moteur puisse rester supérieur au trarail élémentaire résistant pendant tout le temps nécessaire à la mise en marche du système; mais il résulte des dispositions des machines industrielles, du mode d'action du moteur sur le récepteur, qu'il existe des périodes de mouvement telles que le travail moteur total correspondant à chacune d'elles puisse être maintenu supérieur, égal ou inférieur au travail résistant, quelle que soit d'ailleurs la loi de variation des travaux élémentaires. Ce résultat est obtenu à l'aide do dispositiAi particuliers tels, que les distributeurs et les régulateurs, dont il est question pioc loin (n^* 43). Pour que la machine sorte du repos et prenne des forces vives de plus en plus grandes, au bout des évolutions successives, 11 faut que le traviU moteur soit plus grand que le travail résistant pour l'ensemble de

ce qui exprime, d'après le principe des vitesses virtuelles, qu'il X ^.f û^ même instant, équilibre entre les forces mo^ triées et les résistances y abstraction faite des forces d'inertie

— m -7- (14.) des diverses masses, dont la somme des moments

virtuels est naturellement égale à zéro.

En effet, si la force vive croissait sans cesse et d'une manière sensible à chaque révolution de la machine, il en résulteraitque la vitesse d'une pièce quelconque, par exemple celle du point d'application du moteur, croîtrait également et atteindrait bientôt un terme pour lequel ce moteur ne serait plus capable (25) d'aucun effort, circonstance qui n'a pas lieu pour les résistances, puisqu'il arrive souvent qu'elles croissent avec la vitesse,

La force vive et la quantité de travail communiquée ayant donc atteint leur maximum, il pourra arriver ou qu'elles restent constantes, ou qu'elles décroissent pendant un certain temps pour recroître ensuite, et ainsi alternativement, puisque le mouvement n'est pas censé s'éteindre.

29. Conditions du mouvement uniforme. — Considérons d'abord le premier cas, qui est le plus simple; l'accroissement élémentaire 2,mvdv de la force vive étant nul, ainsi que la somme Fdf—Qdq,.. des quantités de travail élémentaires imprimées, il y aura à chaque instant équilibre pour toutes les positions de la machine et abstraction faite des forces d'inertie; la vitesse redeviendra par conséquent la même

chaque période. Cette condition est suffisante; en d'autres termes, si le travail moteur qui correspond à une période est supérieur eut travail résistant à vaincre pendant la même période^ il existe au moins une position de départ de la machine, à partir de laquelle le mouvement commencera et continuera, quelles que soient d* ailleurs les variations ou les intermittences des travaux à chaque instant. Ce théorème se démontre aisément par la considération des aires de la courbe du travail; nous l'indiquons ici parce qu'il est d'une certaine importance dans l'étude du mouvement des machines; il fait reconnaître nettement les erreurs souvent commises au sujet du rôle des volants, notamment quand on veut en démontrer la nécessité pour entretenir un mouvement périodique, pour franchir les points morts, même dans les cas où le travail moteur, par tour, est égal ou supérieur au travail résistant. (K.)

pour les mêmes positions, et, puisqu'on aura, entre deux instants quelconques,

mv* — mv'' = 2 (F/— Qq — Rr)± PH = o,

l'inertie n'exercera plus aucune influence directe sur la transmission du travail.

Le cas le plus général et à la fois le plus ordinaire où ces circonstances peuvent se présenter est celui où les différentes masses du système posséderaient séparément des vitesses constantes ou uniformes, car on ne conçoit pas, a priori, comment ces^vitesses pourraient varier de façon que l'accroissement des forces vives de certaines pièces fût constamment égal au décroissement de celles de toutes les autres, ce qui est nécessaire pour que la somme des forces vives reste constante. De plus, il est évident que les vitesses effectives

(iéi (if' c/^" ^, v\ v", ... ou (13 et \k) -r-'i —, --TTy' des différentes

masses ne peuvent rester constantes si les vitesses virtuelles de^ de' y de'^y, . ., qui dépendent uniquement de la nature géométrique des liaisons du système, ne sont elles-mêmes dans des rapports invariables, pour toutes les positions qu'il pçut prendre ( • ).

Cette condition exclut, comme on voit, tout à fait les pièces à mouvement alternatif, puisque leurs vitesses effectives et leurs vitesses géométriques ou virtuelles ne pourraient être en rapport constant avec celles des autres; mais elle ne suffit pas pour assurer l'uniformité du mouvement de la machine, il faut encore qu'on ait, à chaque instant,

Frf/- Qrfqr - Re/r±: PrfH = o ,

(') Soient K, K',... ces rapports constants, de sorte qu'on ait

</e'=K' </<?"= Krfe...;

on aura donc aussi, entre deux positions quelconques du système,

e'=Ktf, tf''=K'«?,...;

c'est-à-dire que les espaces entiers décrits entre ces positions par les différents points seront également dans les mômes rapports.

APPLIQUÉE AUX MACHINES. 3f5

OU qu'il y ait équilibre, abstraction faite toujours des forces d'inertie, nouvelle condition qui ne pourra être remplie d'une manière générale si la puissance et les résistances agissent par intervalle d'une manière discontinue, ou varient en intensité ou en direction, par des lois quelconques et indépendantes, dans les diverses positions de la machine. Or, en supposant même les forces F, R et Q constantes avec la vitesse, ainsi que les angles qu'elles forment avec la direction des chemins élémentaires décrits par leurs points d'application, condition qui rend les moments virtuels Qdq, Rrfr, Fdf constants, et qui se trouve remplie dans beaucoup de machines, il faudra encore que le poids p de chaque pièce conserve (22) son centre de gravité à la même hauteur, à moins qu'ayant une vitesse uniforme il ne fasse partie de la puissance motrice ou de la résistance ulile, car dans tout autre cas il imprimera évidemment des quantités de travail instantanées ±pdli qui seront variables pour les diverses positions du système.

D'après ce qui a été dit précédemment, il ne peut entrer dans la machine de pièce à mouvement alternatif; elle, devra donc se composer uniquement de pièces de rotation ou de roues exactement centrées (22), de courroies et de chaînes sans fin, etc.

30. Du temps nécessaire à l'établisse ment du mouvement uniforme. — Cet examen peut servir à montrer combien il est difQcile d'établir le mouvement rigoureusement uniforme dans les machines; on peut même dire qu'il ne s'y présente jamais dans toute l'exaclilude mathématique, car il suppose non-seulement que les forces restent constantes en intensité et en direction, etc., mais encore que les vitesses virtuelles des différentes parties de la machine soient entre elles dans des rapports indépendants de la position du système, ce qui exige que les quantités représentées ci-dessus par (f[e) soient constantes, pour toutes les positions. Enfin on démontre trèssimplement, soit par la considération de l'équation

dt' dt de de , de

36 COUBS DE MÊGÀlfIQUB

dans le second membre de laquelle ^> ^' ;/ seraient supposées constantes, soit par des considérations directes de Géo« métrie, que, lorsque l'action des différentes forces est soumise à des lois continues, analogues à celles de la pesanteur et dépendant uniquement des variables qui déterminent la position ou la vitesse du système, ce n'est, pour ainsi dire, qu*au bout d'un temps infini que la vitesse acquiert, en général, sa limite, quoique, dans un temps souvent fort court, elle n'en diffère que d'une quantité inappréciable et qu'on peut négliger pour la plupart des cas de pratique.

Il sufflt pour cela de remarquer que, d'après les notions précédentes, la fonction représentée par ce second membre a sa plus grande valeur quand la machine part du repos ou que 1^ = 0, et qu'elle décroît plus ou moins rapidement à mesure que la vitesse v augmente, de manière à devenir complètement nulle pour une certaine valeur finie de cette vitesse» ce qui lui suppose implicitement la forme

ou toute autre forme équivalente, N étant une fonction de v et de constantes, essentiellement positive, et a la vitesse limite dont il s'agit. On tire, en effet, de l'équation posée en dernier lieu,

f r Krf. r d.

intégrale qui, d'après les règles connues, étant prise depuis (; = o jusqu'à v = a, doit renfermer au moins un terme de la forme — Alog(a--v), si n est impair, ou de la forme — A(a — i')"""^', si /i est pair; or ces fonctions sont l'une et l'autre susceptibles de devenir infinies quand la vitesse v atteint sa limite a.

Ce fait est analogue à celui qui se présente dans le mouvement des parachutes, des fluides qui s'écoulent par les orifices des vases, et il avertit des précautions à prendre dans certains cas, quand on ne veut pas courir le risque de se tromper sur le régime ou l'état de mouvement d'un système.

Des observations analogues sont applicables d'ailleurs aux machines qui, par leur constitution et celle des moteurs ou des résistances, ne pourraient acquérir qu'un mouvement périodique constant ou permanent, c'est-à-dire tel que la vitesse, quoique variable dans l'étendue de chaque révolution, revienne constamment la même pour les mêmes positions.

31. Avantages du mouvement uniforme. — L'importance qu'il y a de satisfaire, dans chaque cas pariiculier, sinon rigoureusement, du moins le plus possible, aux conditions propres à établir l'uniformité du mouvement des machines, sera sentie si l'on met en parallèle les avantages inhérents à ce mouvement avec les inconvénients qui résultent du mouvement variable.

Dans les machines qui possèdent le mouvement uniforme, el ou les puissances et les résistances agissent d'une manière continue et avec la même intensité d'action ('), les pièces se conduisent toujours de la même manière et demeurent sans cesse en contact, sans éprouver aucune secousse nuisible, aucun changement brusque de vitesse; et, comme les quantités de travail élémentaires reçues et transmises par chacune d'elles sont égales et constantes, ou qu'il y a équilibre à chaque instant, de même que pour la machine entière, les chances de destruction sont moindres, et l'on peut apprécier, dans chaque cas, les efforts qu'elles supportent, les flexions qu'elles éprouvent et la solidité minimum qui leur convient. Mais ces avantages ne sont pas les plus importants de ceux qui appartiennent à l'uniformité du mouvement; car, puisqu'il existe (25) pour chaque moteur une vitesse de son point d'application qui rend un maximum la quantité de travail

(') Du régime uniforme, — Il résulte de ces considérations que, pour que les machines se trouvent dans les meilleures conditions do fonctionnement, il ne suffit pas qu'elles possèdent un mouvement uniforme : il faut encore que toutes les forces qui agissent sur elles consenrent, pendant toute la marche, la même intensité et la même direction, condiUon qui n'est pas nécessairement remplie dans le mouvement uniforme. Ces circonstances pourraient être caractérisées par la dénomination de mouvement régulier^ ou mieux, par celle de régime uniforme. (K.) •

4o COURS DE MÉCANIQDB

jours à ce qu'on atteigne le but d'une manière satisfaisante; du moins on doit chercher à en approcher le plus possible» dans chaque cas particulier, en évitant les principaux inconvénients du mouvement variable que nous venons de signaler.

Or nous remarquerons qu'il n'existe en réalité que trois causes essentielles du mouvement varié des machines, et qui consistent dans l'irrégularité d'action, soit du moteur, soit de la résistance utile, soit de l'un et de l'autre réunis; il n'arrivera donc pareillement que trois circonstances où l'on soil forcé de faire usage de pièces à mouvement alternatif, et, dans ces trois circonstances, on devra éviter de multiplier inutilement ces pièces.

Ainsi, le récepteur devant posséder un mouvement alternatif et l'opérateur un mouvement de rotation continu, uniforme» on transformera immédiatement, à l'aide de manivelles, d'excentriques, etc., le premier mouvement en un mouvement pareil au second; toutes les pièces intermédiaires seront ainsi des roues, des courroies à mouvement continu. On en fera autant quand, au contraire, le récepteur devra posséder une vitesse uniforme, et l'outil un mouvement alternatif; mais, si l'outil et le récepteur doivent à la fois posséder un mouvement alternalif, il y aura à examiner si le premier peut immédiatement s'appliquer au second, sans interposition de pièces quelconques, de façon que les oscillations' et les alternaUves d'action coïncident parfaitement, que la vitesse et la pression s'éteignent par degrés vers la fin et le commencement de chacune d'elles; car alors il ne pourra y avoir de perte d'effet sensible, et la machine travaillera presque aussi avantageusement que si elle possédait le mouvement uniforme. Mais cela arrive rarement, et presque toujours on se voit obligé de faire usage de pièces intermédiaires auxquelles on donne, quand le cas l'exige et qu'il y a de l'avantage à régulariser l'action, un mouvement de rotation continu dans le même sens.

Moyens généraux de régulariser le mouvement des machines (*).

35. Précautions à prendre au sujet des tracés et de la répartition des ejforts. — Laissant donc de côté le cas où toutes les pièces ont un mouvement alternatif, il n*y aura plus qu'à s'occuper des trois autres, auxquels on pourra joindre celui où toutes les pièces mobiles ont un mouvement de rotation continu, quoique la puissance ou la résistance agissent sur la première et la dernière pièce, d'une manière intermittente, variable; or, dans tous ces cas, mais surtout dans celui où il est avantageux (31) que Tune de ces pièces extrêmes possède la vitesse uniforme, il paraît convenable de régulariser le plus possible le mouvement de la machine, et ce qui précède nous en indique les moyens principaux: i"" on tracera les parties par lesquelles le mouvement de rotation continu se transmet d'une pièce à l'autre, de façon que la vitesse géométrique reste

(') Des conditions de bon fonctionnement des machines. — Pour apprécier la valeur des divers mojens de régularisation , il est nécessaire de définir d'abord les conditions qui assurent le bon fonctionnement des machines.

La question industrielle se résume à fabriquer, au moindre prix total, l'unité d'ouvrage, arec la perfection voulue. La bonne exécution du produit, laquelle constitue le but final, dépend uniquement des conditions du mouvement de l'outil et des organes accessoires qui règlent l'arrivée de la matière à travailler. Quelquefois il est nécessaire d'adopter, pour ces pièces, des vitesses déterminées; le plus souvent elles peuvent fonctionner à des marches^ c'est-à-dire à des vitesses moyennes, assez éloignées l'une de l'autre, pourvu que, pour une même marche, la vitesse reste sensiblement constante, ou que du moins les variations se fassent avec lenteur ; ce sont, en effet, les variations brusques de la vitesse qui occasionnent, suivant les cas, la rupture des fils, les arrachements ou déchirements de la matière soumise au travail. De même, la bonne action du moteur sur le récepteur, la régularité de la distribution dépendent de conditions analogues; enfin, si Ton étudie la question au point de vue de la conservation des organes, dont dépend l'importance des frais d'entretien et de réparation , on reconnaît que la cause la plus énergique de destruction réside dans les secousses, les chocs dans les articulations, qui, pour chaque pièce en particulier, dépendent directement de la grandeur de l'accélération.

En résume, le bon fonctionnement de l'ensemble exige que les vitesses et les

accélérations des diverses pièces restent comprises entre des limites spéciales à

chacune d'elles. Or, dans l'hypothèse de la rigidité des organes qui est ici

dv

faite, les vitesses v et les accélérations ~ de tous les points de la machine

4^ COUBS DE MÉCANIQUB

dans un rapport donné, ce qui constitue véritablement le problème des engrenages pris dans toute sa généralité; 2** on centrera exactement (22) les roues, ce qui aura pour avantage d'annuler TefTet de la force centlfuge ou la pression qui en résulte sur les axes; B"" on mettra pareillement en équilibre le poids des pièces à mouvement alternatif, ou l'on fera concourir ce poids, s'il y a lieu, à régulariser l'action de la puissance et delà résistance dans chaque position du système; 4'' on diminuera autant qu'il est possible la vitesse, l'amplitude du mouvement et la masse de ces mêmes pièces, c'eslà-dire autant que le permettront la solidité et l'usage qu'on on veut faire; 5** enOn on régularisera l'action même du moteur ou de la résistance par djss contre-poids, ou par toute autre disposition qui peut résulter de l'examen de chaque cas individuel : par exemple, si TefTet de l'une ou de l'autre de ces forces se compose d'effets partiels égaux, distincts et répétés plusieurs fois dans une même révolution de la machine, il conviendra de les distribuer de façon qu'ils se succèdent à

peuvent s'exprimer (27) en fonction des vitesses et des accélérations d*un même point, que nous supposerons choisi sur une pièce à rotation, de vitesse angulaire ta, k l'unité de distance de l'axe. On a ainsi, en désignant par K une fonction connue pour chaque point considéré de l'espace s décrit, depuis l'origine, par le point dont la vitesse est u,

<iv -, ''w , </K Ht dt ds

et l'on peut déterminer les valeurs entre lesquelles doivent rester compris

u et -j- pour que la vitesse v et l'accélération -y des organes les plus exposés dt dt

ne dépassent, pour aucune position, les limites dangereuses; ces valeurs Ûient les deux conditions de réguhrité de la vitesse, de l'ensemble de la machine, en fonction de la vitesse et de l'accélération de l'un des arbres du système.

On voit, d'après la seconde équation, que, quels que soient les procédés de régularisation que l'on emploie, il existe pour toute machine une limite supérieure de la vitesse w, pour laquelle le fonctionnement deviendrait inadmissible,

lors même que -j- serait toujours nul, c'est-k-dire que le mouvement des pièces dt

à rotation fût parfaitement uniforme.

Il faut remarquer que les deux conditions nécessaires que nous venons d'in* diquer ne peuvent pas, à elles seules, régler les tensions des pièces, lesquelles dépendent encore de l'intensité des forces qui agissent sur les machines et de la répartition des masses en mouvement. (K.)

des intervalles réguliers et en quelque sorte sans discontinuité, ou que les plus grands efforts des uns aient lieu en même temps que les plus faibles des autres, etc.

Tous ces moyens étant épuisés et les causes de Tirrégularite d'action étant par là corrigées autant que possible, il restera une dernière ressource que nous allons faire connaître, attendu qu'elle se rattache aux lois générales du mouvement des machines, dont nous avons un instant abandonné la discussion.

36. Influence des pièces à mouvement alternatif, — Nommons, en général, m la vitesse angulaire ou la vitesse à Tunité de distance de Tune des pièces de rotation de la machine; sa force vive aura pour expression

^mv^=^^m(jii'* r^ ^cù^lmr^f

r étant la distance à l'axe d'une molécule matérielle quelconque, m sa masse et Imr^ le moment d'inertie ûeh pièce; la force vive totale possédée par les pièces semblables à un Instant donné, et en général par toutes celles qui ont des vitesses continues, dans des rapports donnés (29), pourra donc être représentée par A w% A étant une constante qui dépend des rapports de vitesses et des moments d'inertie des pièces. Quant' à la somme des forces vives des pièces à mouvement alternatif, nous continuerons à la représenter par l'expression générale /w('S de sorte que les équations du n*> 27 donneront, pour déterminer à chaque instant la vitesse angulaire (ù,

Aa)'=:2(F/-Q9...^V

A û) rfw = Fdf — Qdq — ... — mvdv.

L'effet des pièces à mouvement alternatif se bornant ainsi à diminuer le travail élémentaire Fe/f imprimé à chaque instant par les puissances, d'une quantité variable mvdvy on pourra

n'est autre que la résultante générale des forces d'inertie tangentielles relatives à ces pièces, et comprendre explicitement cette force, dont la quantité de travail instantanée est.

44 COURS DE MÉCANIQUB

abstraction faite du signe, —mi'dv=^(^dey au nombre de celles qui sollicitent réellement la machine et qui sont étrangères k l'inertie.

On remarquera d'ailleurs que, puisque la vitesse v des pièces dont il s*agit devient nulle à la fin et au commencement des oscillations de chacune d'elles, il en est de même de la quan* tité de travail (fde ou mv^ que développe leur inertie, ce qui suppose 9 (/« tantôt positif et tantôt négatif, ou que la force f , relative à une même pièce, restitue et détruise constamment» dans chaque demi-oscillation, des quantités de travail égaies et qui n'altèrent ainsi aucunement reiTetr utile de la machine. Sous ce point de vue donc, l'action de celte force peut être «nssimilée à celle de la pesanteur (22) sur les pièces à mouve* ment allernatif, de sorte que les moyens de corriger son influence sont entièrement analogues; ainsi, indépendamment de ceux qui ont déjà été indiqués au n°35 ci-dessus, on pourra opposer à la masse de ces pièces d'autres masses douées d'un mouvement oscillatoire précisément contraire, c*est-iK dire tel, que l'accroissement ^mvdif de leur force vive soit à chaque instant égal, quoique de signe contraire, à celui qui est relatif à ces mêmes pièces; pareillement encore on pourra disposer les périodes de mouvement de ces pièces de façon que la force 9, qui remplace leur effet, détruise en partie Tîrrégulariié d'action des puissances et des résistances. Mais ces divers moyens sont rarement applicables avec simplicité, quoiqu'on ne doive aucunement les dédaigner dans chaque cas particulier; on préfère généralement augmenter l'inertie de quelqu'une des pièces de rotation de la machine, conformément aux principes que nous allons exposer.

37. Lois du mouvement varié des machines. — Reprenons les raisonnements du n"* 28; il résultera des équations posées ci-dessus: i® que lorsqu'une machine est partie du repos, la vitesse &> qu'elle a acquise, au bout d'un certain temps, est d'autant plus grande que la quantité de travail communiquée par les différentes forces l'est elle-même davantage, et que la quantité A, uniquement relative aux moments d'inertie et aux rapports constants des vitesses géométriques des pièces de

rolalion, est au contraire plus petite; 2® que raccroissemenl élémentaire don de la vitesse, à une époque quelconque du mouvement, est directement proportionnel à la quantité de travail élémentaire imprimée au même instant, et inverse de la vitesse acquise &) et de la quantité constante A. La vitesse o) croîtrait donc sans cesse à chaque révolution si, comme nous lavons déjà expliqué (28), la somme des forces vives du système n'atteignait bientôt, du moins sensiblement, une limite absolue qu'elle ne peut dépasser, d'après la nature même des moteurs et des résistances. La machine étant parvenue à cet état de mouvement, la force vive Aw' et la vitesse w ne pourront plus varier, soit dans un même tour, soit d'un tour à l'autre, qu'entre des limites plus ou moins resserrées et relatives aux variations mêmes de la quantité d'action totale F/— Qq — ' . • qui lui aura été imprimée dans les intervalles correspondant à ces tours ou révolutions. Ainsi ces diverses quantités atteindront successivement et simultanément une valeur maximum, puis une valeur minimum, pour chacune desquelles il y aura équilibre entre toutes les forces considérées (36), attendu qu'on aura

A&x/o) = Fdf — Qdq— RJriPrfA — mvdv=o.

Or, quelle que soit la loi suivant laquelle varie l'intensité absolue de ces forces, et pourvu qu'elle ne soit pas tout à fait irrégulière et qu'on puisse déterminer, soit par le calcul, soit par l'expérience, la quantité de travail imprimée entre les deux instants où la vitesse o, relative à un même tour ou à plusieurs tours successifs, atteint sa plus grande et sa plus petite valeur absolue, on sera toujours le maître de rendre le mouvement des pièces de rotation de la machine aussi approchant qu'on le voudra de l'uniformité.

38. Moyen général de régulariser le mouvement des ma^ chines. — En effet, soient tù" et o' la plus petite et la plus grande valeur de la vitesse &>, S la somme des quantités d'action imprimées, dans l'intervalle qui leur correspond, par les différentes forces, en y comprenant <p (§ 36), on aura

coins DE >IÉt:.\MnUi:

Discussion des équations (i*:

22. Ifi/ïm nrc dtf la ffim'ifé sur /'» ''• lions i\\w iKMis viMions (i»» poser o[ (!«• ■ |)li( iliMiMMil loulo la llirorit' (Ji'S li;.; mais, nom- en bit'n saisir ri'spiil, ii • à {Kirt la si;;niriealioii de rhariin llurupi' Mir les elViîls f^iMiérniix <!■:• ineiil MIT l'elVel utile O7, (jifil *»' ■ \r plus i^raiid ])OS>il)le, eu éijard M'ioppéi». par le moleur.

Pour cela, résohons la iireini* port a Or/, nous aurons

(!onsi{lér(Mis (rabiu'd 1<» lern.pirecs ninlrrltdlcs do la ni:* l'ôipuiimn louies les fois •■ sNstrnii* restera oonslanin alors «'«i^al à zi'»ro; aulrenîi* l«'s pariics d(» ce UM'ine i- ^ravili» ne monte ni ir «•xeniplc, pour les divi par 1(» ccnlre de jçravil»

pour 1rs chariots ou p luux, elr. Dans tous l(* poids dt» ces pièci est pas moins nérc louie espèce qui c.

«lans les termes rr« s\>it»me.

Mettant d*aill(M rhine s'élèverait du mouvement, résisr^ 1 futile min ^i^i'

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" <<up de jeu dans leurs arti-

-■nienis de vitesse en inten-

]> s pièces à mouvement alter-

' ; > l'ilels en diminuant ce jeu le

tii employant, pour transformer le

mouvement alternatif, des ressorls,

'les manivelles, des excentriques qui

graduellement la vitesse au commen-

rliaquG oscillaiion; enrui en disposant

>i'Uenl le travail par leur contact et en

' rs de la machine, de façon qu'elles

.ii-'iijeilies dans leur tracé cl leur mou-

luiilc.

ii-r;iii^iU5 brusques quelconques est, d'ail-

■jirouver aux machines des secousses qui dé-

l'jii^tiluiion en fatiguant les assemblages, en

^ parties et aLigmcniani le jeu, ce qui a pour

liile une augmenlaiîun progressive des pertes de

it en dire autant des fortes pressions en général,

jirouvent des alternatives fréquentes et longtemps

lireciion et en intensité.

'ifc de la forme et de la vitesse du récepteur. —

louant à ce qui concerne le terme F/, relatif aux

[r,ivail développées par les forces motrices, et re-

rons que les moteurs peuvent èlre primitifs, tels que la

ret le calorique, ou secondaires, tels que lesanin:aux,

i, les cours d'eau et la vapeur. Il ne peut èlre ici ques-

9u mode d'agir des uns et des autres; tout ce qu'il îm-

E de remarquer, c'est que la pression F, exercée par le

;ur secondaire sur le récepteur, est, en général, suscep-

(ile de varier avec la vilesîc propre p de cette pièce, de telle

te que, étant nulle pour une \ ilcssc de son point d'applica-

1 égale à la plus grande vitesse V que puisse prendre libre-

il le moteur, elle est, au contraire, la plus grande possible

liand le récepteur est immobile ou que v=o.

f La quantilé d'action F/, communiquée par le moteur à la

bachine, étani ainsi nulle pour les cas cxlrèmes dont il s'agit.

48 COURS DE MÉGàMQCB

le volant assure runiformité de vitesse de son axe, indépendamment de rinertie propre des pièces de rotation qui ne sont pas directement interposées entre lui et la force dont il doit régulariser Taction, condition qui tend d'ailleurs à simpliOer le problème de son établissement (').

Le poids des volanls occasionnant un surcroît de frottement sur les axes, il convient, en outre, de les rendre aussi légers que possible pour la même énergie; celle-ci étant proportionnelle (36) à la force vive o>)'2mr% il faut donner à la matière dont se composent les volants une grande densité et en rejeter la masse à une certaine distance de l'axe de rotation.

Ce n'est point ici le lieu d'entrer dans des détails sur la construction et le calcul des volants; nous nous bornerons à remarquer que leur fonction consiste, d'après ce que l'on vient de dire, à convertir en force vive ou à emmagasiner^ selon l'expression admise, une certaine portion du travail moteur, lorsque l'énergie des puissances surpasse celle de toutes les résistances ou que la vitesse du mouvement augmente, et & convertir ensuite celte même force vive en travail employé contre les résistances, quand le mouvement vient à se ralentir, par suite de la prépondérance de ces dernières sur les puissances. Ce sont les propriétés des volants qui les font appeler quelquefois des réservoirs de force vive ou de travail^ et qui sont surtout précieuses quand il pourrait résulter de l'irrégularité du mouvement des pertes de travail ou d'autres inconvénients (32 et 33); niais il ne faut pas oublier qu'ils introduisent dans la machine de nouvelles causes de résistances, des pertes de force vive (26) qui doivent les faire proscrire

(*) Emplacement du volant. — L'emplacement du volant parait indifférent, quand on n'étudie la régularisation qu'au point de vue des variations de la vitesse; la meilleure répartition à adopter, pour les diverses masses en mouvement, ne peut être déterminée que par les conditions relatives aux tensions (note du n» 7G, Section II). Dans cette étude, il devient indispensable de renoncer à l'hypothèse de l'invariabilité des dimensions des organes, et de tenir compte de leur élasticité, qui constitue une sorte d'indépendance relative des diveflmi parties des machines; de là, la nécessité d'assurer la régularité du mouvement de chaque arbre en particulier, précaution recommandée dans le texte. (K.)

APPLIQUAI AUX màcbuibs. 49

dans bien des circonstances. Par exemple, l'emploi d'un volant ouy en général, tout surcroît donné aux moments d'inertie au delà de ce qui est strictement nécessaire, serait plus nuisible qu'avantageux dans les machines qui posséderaient par ellesmêmes un mouvement uniforme ou suffisamment uniforme, dans celles qui seraient susceptibles de s'arrêter fréquemment et tout à coup, enGn dans toutes celles où la constance de la vitesse serait nuisible et même dangereuse.

40. Nécessité et avantages de régulariser le plus possible le mouvement, indépendamment de Vemploi du volant. — On voit, par cette discussion, combien il est essentiel de chercher à régulariser l'action des puissances indépendamment du volant, et quand bien même on serait flnalement obligé d'y avoir recours; car, la valeur de S qui doit entrer dans l'équation du n^ 38 étant alors très-faible, on se trouvera dispensé de donner à ce volant les dimensions et la vitesse qu'il devrait recevoir dans la supposition contraire. Nous avons indiqué précédemment quelques-uns des moyens généraux de remplir le but dont il s'agit, et il pourra s'en offrir d'autres dans chaque cas particulier; mais la condition la plus importante est de régler l'intensité absolue de la puissance et de la résistance utile, de façon que les quantités de travail qu'elles développent sur la machine, supposée parvenue à un état donné de mouvement, soient constamment égales pour chaque révolution ou tout au moins pour chaque deux, trois révolutions, afin que la quantité S n'acquière pas de valeurs trop grandes, ou que la force vive et la vitesse, si elles ne peuvent être constantes, restent du moins comprises entre des limites fixes, et redeviennent périodiquement les mêmes au bout d'un temps donné, en prenant ainsi ce qu'on nomme un régime de stabilité.

Les moyens qu'on emploie pour atteindre ce but se rattachant à la question de rétablissement des machines, nous croyons devoir en résumer succinctement les conditions principales, et tracer en peu de mots la marche qui est ordinairement suivie dans la pratique, pour parvenir à une solution, sinon rigoureuse, du moins sufQsamment approchée. C'est par là que nous terminerons ces considérations sur les machines.

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