AB

APPLIQUÉE AUX MACHINES. l4l

sera nul, et celle qui est verticale ne sera autre que la force F agissant avec le bras de levier AO.

64. Principe général relatif aux vitesses de déplacement simultanées des différents points d'un système matériel, — Mais on arrive aux mêmes conséquences encore à Taide d'un principe que nous croyons utile d'énoncer ici, parce qu'il jette un grand jour sur la loi du mouvement des systèmes articulés, en général, principe qui nous avait été communiqué dès 1829 par M. Bobillier, savant professeur aux Écoles d'Arts et Métiers, et que M. Chasles, aulre géomètre distingué, a de son côté publié, parmi beaucoup d'autres, dans le tome XIV du Bulletin des Sciences mathématiques de M. Férussac, p. 321. Ce principe consiste en ce que, si une figure plane de forme et de grandeur invariables, quoique arbitraires, éprouve un déplacement quelconque, infiniment petit, sans quitter ce plan, elle tendra à tourner, sans glisser, autour d'un certain point fixe qu'on obtiendra par la rencontre des normales aux éléments courbes que décrivent simultanément deux quelconques des points de la figure.

Ainsi, par exemple, dans le cas qui nous occupe, tous les points de la bielle BC tendent à tourner simultanément autour de l'intersection I des normales IC et IB, aux éléments dli et bda décrits par les points C et B, de manière que l'angle BIC reste invariable dans ce déplacement supposé infiniment petit. On a donc, en ne considérant que les grandeurs absolues,

dh'.bdx:: CI-.BI.

Ce théorème est très-important, en ce qu'il donne sur-lechamp la vitesse d'un point quelconque lié d'une manière invariable à la droite BC, au moyen de la vitesse de l'une de ses extrémités B ou C, ce qui permet aussi d'obtenir la force vive d'un élément matériel quelconque, faisant corps avec la bielle, et par suite la force vive même de la masse de cette bielle, etc.

65. Application de ce principe à la recherche de la force vive et de la force motrice des bielles conduites par une ma--

l42 COURS DE MÉGANIQUB

nivelle. — Nommant dB l'angle infîniment petit décrit par autour du point I, tandis que B parcourt l'arc hduy ou l'arc rf/= - dh,

m un élément de masse quelconque de la bielle, situé à la^ distance p de Taxe de rotation instantanée, perpendiculaire^^ au plan de la Ogure en I,

dd sa vitesse virtuelle, dirigée suivant la perpendiculaire à

l'extrémité de p,

da enfin (ù la vitesse angulaire ^ de AB ou (i)6 la vitesse effeciive,

on aura d'abord

df=: -dh = CIc/9, bda = Bide, da z= pde= 2-^,

et ensuite

. . d(T b da bp

vitesse de m ou ^7-51^^^ = 51"'

force vive totale de la bielle = -r^ lmp\ somme qu'il Taudra

étendre à la masse entière de celte bielle.

Nommant de plus M cette masse, G la distance de son centre de gravité à l'axe instantané de rotation, I son moment d'inertie pris par rapport à un axe parallèle, passant par son centre de gravité, on aura plus simplement encore

-2mp':--^(M.GM-r).

BP '^ Bl

On trouvera de la même manière l'expression de la force motrice ou d'inertie totale de la .bielle, etc.

Au moyen des différentes données contenues dans ce paragraphe, il sera facile de découvrir et de discuter toutear les circonstances du mouvement et de la transmission des ftrces dans le système à manivelle et à bielle qui vient de nous occuper en dernier lieu. En particulier, il sera très-facile d'étendre à ce système général les considérations que, dans le paragraphe précédent, nous avons appliquées au cas où la bielle reste constamment verticale ou parallèle à elle-même*

APPLIQUE! IDX «ACHIHBS. l43

Dm aantnUu oondnisatit nn balancier à mouTement altamatif.

66. Description de l'appareil. — La J!g. a4 représente un balancier conduit par la manivelle AB et servant à communiquer le mouvemeni recliligne aliernaiif à la tige verticale FP

d'un piston. Dans ce système, les choses sont ordinairemeni disposées de façon que la verticale du point A passe par les positions extrêmes de l'arlicutation C, répondant aux instants où la bielle BC et le bras AB de la manivelle sont situés en ligne droite; par suite, l'horizontale DL du centre de rotation D divise en deux parties égales l'angle total décrit par ce dernier.

Quant à la lige FP, elle ne reçoit ordinairement son mou-

l44 COURS DB MÉCANIQUE

vement que par riniermédiaire du parallélogramme articulé EFHN, imaginé par Watt, et qui est dirigé par la tige ou brid^ SH, tournant autour du point fixe S, dont la position est réglée de façon que le sommet F décrive sensiblement une droite verticale pendant les oscillations du balancier, ce qui se fait ainsi : Supposons le parallélogramme EFHN établi et uniquement dirigé par le mouvement du balancier autour de D et du sommet F sur la verticale FG; on détermine la suite des positions correspondantes occupées par le sommet H, puis on fait passer au travers de ces dilTérentes positions un arc de cercle qui s'en écarte le moins qu'il est possible de part et d'autre, et dont le centre détermine l'axe de rotation S de la bride SH.

On peut voir, dans le tome XIX, année 1823, des Annales de Chimie et de Physique ^ et dans le tome XII, année 1826, des Jnnales des Mines, un Mémoire de M. de Prony, dans lequel cet illustre ingénieur indique les moyens de disposer le parallélogramme de manière à rendre les déviations de la tige aussi petites qu'il est possible. On consultera aussi, au sujet des divers dispositifs qui peuvent servir à atteindre le même but, le Traité des machines à vapeur de l'ingénieur anglais Tredgold, pages 892 et suivantes, PL XII. Il nous suffit ici de savoir que l'articulation commune aux tiges FP et £F décrit sensiblement une ligne droite.

67. Relations entre les forces et les vitesses des différentes parties. — Supposons, pour la clarté, toutes les pièces réduites à leurs axes {Jig. 25); la loi du mouvement du point C, sur l'arc de cercle qu'il décrit autour de D, esta peu près la même que pour le cas précédent (^g^. 23, p. 187), où ce point étaitassujetli à parcourir la verticale AC; car ici l'arc dont il s'agit s'écarte toujours fort peu de cette verticale; mais l'expression analytique de cette loi, quoique facile à obtenir, serait trop compliquée pour qu'on pût en tirer un parti avantageux, et II conviendra de recourir au tracé de la ligure, en se servant du principe énoncé au n^ 6i, qui donne immédiatement le rapport des vitesses des différents points et des forces qui leur sont appliquées.

APFLIQUtB AUK «ACHIHBS. l45

Ainsi, par exemple, si, pour une position quelconque, on détennine t'inierseciion I du prolongement de la direction AB de la manivelle avec la ligne d'axe DC du balancier, cette intersection pourra êire considérée comme le centre de rotation instantanée du système de la bielle BC et du triangle BCI, supposé de grandeur invariable, de sorte que les vitesses des points B et C seront entre elles dans )e rapport de Bl à CI.

Pareillemeni, si l'on détermine le point de rencontre 1' du prolongement de DE avec l'horizontale l'F perpendiculaire au chemin décrit par F, ce point pourra être considéré comme le centre de rotation instantanée du sj'stême de la tige FE et du triangle EFI', supposé de forme invariable, de sorte que les vitesses des points F et E seront entre elles comme les c6tés FI' et El', qui leur correspondent dans ce triangle.

Prolongeant FE jusqu'à son intersection 0' avec l'horizontale du centre de rotation D, le rapport de l'E à l'F pourra être remplacé par celui de DO' à DE; menant par le centre A la parallèle AO à DC, qui rencontre BC prolongé en 0, le rapport de Bl à Cl poiura être pareillement remplacé par celui de

ABà AO; posant enfin AB = 6,CD=DE = /, AO = fi, DO'=tt', angCDL = ô, angCAB = d.

Nommant de plus &> la vitesse angulaire ^ de la manivelle,

dh la vitesse virtuelle du point F, et F la force verticale qui lui

est appliquée; U et X les forces qui, appliquées tangentielle-

ment aux arcs décrits par les extrémités E ou C et B seraient

équivalentes à F ou lui feraient équilibre, abstraction faite de

toute autre force, on aura, sans avoir égard au signe négatif

de rf9,

U hdoL BI AB b

d'où

IdB '

IdB ' dh