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APPt-IQUCB IVX MÂCHinES. 149
FA
ou du travail moyen — a sur le travail variable FA de la
force F supposée constante, etc.
Il est évident que la question ne serait pas beaucoup plus difficile à résoudre si F variait avec h, suivant une loi donnée, par le tracé d'une courbe, par exemple; car les valeurs des
quantités de travail J Ydh, j fda. seraient alors immédiatement données par les métbodes de quadrature mentionnées au n" {((Section 1).
On Joint briià on onlrerael.
71. Description de l'appareil.— Le 'ioini brisé ou universel a pour objet de transmettre le mouvement de roution d'un ixe k un autre, qui le rencontre sous un angle quelconque, plus grand que l'angle droit; il est ordinairement compost' d'un croisillon {fg. 26) ou d'une boule de métal portant deux
Fie. »"■
axes rectangulaires et qu'on interpose entre les mâchoires qui terminent, vers leur point de rencontre, les deux axes proposés. Ce mécanisme est principalement employé en Hollande pour transmettre le mouvement des moulins à vent aux ■xes inclinés des vis d'jirchimtde qui servent pour les épuisements. Son principal avantage consiste dans la faculté qu'il offre de pouvoir changer à volonté, quoique entre des limites données, l'angle des axes de mouvement. Généralement on
l5o COURS DE MÉCANIQUE
n'en fait usage que pour les machines peu puissantes, à cause de l'irrégularité du mouvement qu'il occasionne et de l'énorme pression ou résistance que supportent les axes des croisillons, dont les bras sont toujours fort petits par rapport aux rayons des roues d'angles qu'on leur substitue ordinairement.
Prenons {fig* ^7) pour plan horizontal celui des deux axes de rotation donnés CL et CM; soient DD', EE' les projections,
Fïff. 27.
sur ce plan, des cercles respectivement décrits par les extrémités des axes des croisillons et qui sont perpendiculaires aux axes CL et CN ; concevons la sphère qui contient à la fois ces cercles, et soient, pour une position quelconque du système, À et A', B el B' les projections de celles des extrémités dont il s'agit, qui sont diamétralement opposées entre elles sur les cercles DD', EE'; le grand cercle qui appartient à ces extrémités formera, avec les précédents, le triangle sphérique ABC, dont les côlés AB et AC flxent entièrement la position des extrémités supérieures B et C des croisillons, par rapport à Tintersection C des cercles DD^ EE' ou celle des rayons CA et CB, par rapport à la verticale qui répond au point de rencontre des axes. Or, AC étant considéré comme l'art du grand cercle décrit par l'extrémité B, à partir du point A, BE complément de CB devra être considéré comme l'arc d6«^' crit simultanément par l'extrémité B, à partir de E, ou de la position horizontale du rayon CB, correspondant à la position verticale C du rayon CA.
APPUQUÊB AUX MACHINES. l5l
72. Relation entre les angles décrits par les croisillons, — Nommant donc a et (3 les angles au centre des arcs BE et AC, ces angles seront précisément ceux que décrivent simultanément les rayons CB et CA, aulour des axes CL et CM, auxquels ils sont respectivement perpendiculaires; et, si l'on nomme en outre C l*angle MCL = ACB de ces deux axes, on aura, par le triangle sphérique ABC, dans lequel AB équivaut à un quadrant et BC au complément de B£,
tanga -t- cosCtangP:= o.
On arrive au même résultat en observant que, si Ton porte de B en /?, sur le grand cercle EE', un arc Ba=z BA équivalent au quadrant, l'arc du grand cercle Xa sera perpendiculaire sur Ca = BE = a, de sorte que, si Ton nomme I Tangle ACa, supplément de C, on aura, dans le triangle ACa,
lang a = cosi tang j3.
Or cela démontre que les angles a et j3, décrits simultanément autour des arcs CL et CM, sont précisément ceux que décriraient, à partir de la position verticale en C, deux rayons CA et Ca, dont Tun serait la projection orthogonale de l'autre sur son propre plan de mouvement, propriété remarquée par MM. de Bétancourt et Bréguet, qui Font démontrée dans un Mémoire présenté à l'Institut de France.et l'ont appliquée à leur système de télégraphe.
Diiïérentiant la dernière des relations ci-dessus, elle donnera
da roslfos'a i — sinMros'a rosi
dô cos'P " cosl I — sin'lsin'P
pour le rapport des vitesses de rotation des axes MC et LC, qui est aussi le rapport inverse des forces qui, agissant avec le même bras de levier, se feraient mutuellement équilibre autour de ces axes respectifs.
On voit ici que les valeurs de ce rapport peuvent varier depuis cosl jusqu'à ï» et que l'action sera d'autant plus ré-
l5a COUAS DE MÉCANIQUE
gulière que l'angle I approchera davantage de zéro. D'ailleurs on peut se proposer les questions analogues à celles que nous avons résolues (51 et 57), dans le cas des manivelles.
73, Recherche de l'effort et du travail transmis. — Supposons, par exemple. Taxe CM, qui décrit les angles p, sollicité par une puissance constante F, agissant à l'extrémité du bras de levier R, qui sera, si Ton veut, le rayon d'une roue» od aura : i* pour l'effort variable transmis à l'autre axe
F//p FcosI
iIoL I — sin^cos^a'
2« pour le travail élémentaire de cet effort
FRcosIrfa I — sinUcos'a'
3<* enfin pour le travail total imprimé dans toute l'étendue de l'angle a
r « FRcosIrfg ^ pj^ ^^^ I ^ tanK«\ . J^ I — sinMcos'a \ ^ cosi/'
prenant l'angle a = 271, il est clair que la quantité de travail relative à une révolution entière de l'arbre MC sera F27rR; donc ici Veffort moyen qu'il faudrait appliquer à une roue de rayon R, montée sur cet arbre, a précisément pour valeur F; ou, si l'on veut, R est le bras de levier moyen de la puissance constante F, supposée appliquée à ce même arbre; par conséquent
I — sinUcos'a \ I — sm'Icos'a/
FR«-FRarc(ung=i^)
= F.;:Rr-iL-JLaPc(lang=:'-^\l
L27r 27r \ cosl/J
APPLIQUÉE AUX MACHINES. l53
expriment les écarts respectifs des quantités de travail élémentaires et totales, par rapport à celles que produirait refforl moyen F, pour le même angle a, décrit par l'arbre MC ; ce qui donne, pour la plus grande et la plus petite des valeurs du premier de ces écarts,
FRrfa f-^-iV FRrfa(i-cosI)
\cosl / '
respectivement.
Quant au second de ces écarts, il devient nul à la fois pour
a -^ o, a r- - r, a -~ tt, a i= - tt, a = 27r,
et il atteint ses plus grandes valeurs positives ou négatives dans les quatre positions intermédiaires du système, déterminées par réquation
./[«-arcliang-'-^")]
cosi
lioL I — sin'Icos'a
qui donne
v^i — cosi
cosa — ± —i — 1 tanga — ± i/cosi,
smi ° Y »
et par conséquent, pour les valeurs du maximum de l'écart demandées.
l?2^iï ■ arcftangzrirtv/cosl)
arc
74. Appréciation des plus grands efforts et des irrégularités d'action auxquelles donne lieu le joint universel, ■— Supposant, par exemple»
I r= 45® ou cosI - sinï = - v'2 -- 0,7071,
ce qui a lieu, à peu près, dans le cas de la vis d'Archlmède, on trouvera, pour la mesure du plus grand et du plus petit des
l54 COURS DE HËCâKIQUB
écarts de la quantité de travail élémeniaire sur la moyenne, < du bras de levier et de l'elTort variables par rapport & leur v leur moyenne,
cosl
- cosi = <
ce qui répond, comme on voit, à des variations d'action co sidérables, et prouve que les axes des croisillons peuve éprouver momentanément de très-grands efforts réponda nux arcs
« = 0, a^=Tt, «^ajr.
Mais on ne doit pas conclure, pour cela, que les écarts 1 iravail total ou de la Torce vive qui lui correspond, par rappc à leur valeur moyenne, soient eux-mêmes très-grands : en e Tet. la dernière des formules ci-dessus donne, pour les non brcs qui mesurent cet écart :
+ 0,02744, répondant à l'angle ac=^4(>°3'4o'',
doni la tangente est égale i + y'cosl = 0,8419:
+ o,o2744> répondant à l'angle a = 1 39"56' ao',
snppiémpnl du précédent, et dont la tangente est égale
— icosl -- — 0,8409;
— 0,07 744- répondant à l'angle i8o" + 4o°3'4o"^2ao° 3' 40 -t- 0, 02544" répondant à l'angle 3Go" — 4o"3'4o";=3r9P56'2o
C"s écarts sont, comme on le voit, moindres que ceux qi onl été trouvés [59) pour la manivelle à double effet.
