III. — Applications
Du choc des cames et des pilons.
11. Relation entre l'effort exercé par la came sur le mentonnet pendant le choc et les diverses résistances. — ConsidéroAs un pilon {Jig. iio), qui est choqué par une came à développante de cercle fixée à l'arbre horizontal d'une pièce
(') On pourrait croire qu'en ostiinaiil ainsi la perte de force tîvc due aux frottemunts ({ui s'exercent pendant le choc on n'aurait tenu compte que de cdle qui a lieu avant l'instant de la plus grande compression, mata on ae tromperait, car les quantités de mouvement m (V — u), perdues à œt imtallt^ ioot altérées en raison du frottement, et, en prenant /i(V — u) pour la ritMiareitituée en sens contraire, c'est supposer que la quantité de mouTement également restituée après la plus (grande compression est altérée par ]e frottement d'une quantité proportionnelle h celle dont elle l'a été avant cet instant. H est, en outre, bien évident, d'après cela, que la perte de force vive provenant du frottement sera plus forte pour les corps élastiques que pour les autres, ai sorte que, si les corps en partie élastiques diminuent Ja perte de force vi^-e soas un certain rapport, ils l'augmentent sous un autre; raison de plus pour ne pa$ tenir compte de la force du ressort des corps peu élastiques, tels que ceux qui sont en usaje dans la plupart des tas. Remarquez d'ailleurs que, pour les corps plus ou moins élastiques, le premier choc peut être suivi de plusieurs autres qvi absorbent plus ou moins de force vive; cet effet a lieu, par exemple, sur les tourillons d'une roue soumise à un choc, attendu qu'ils peuvent rejaillir et retomber alternativemont contre les parois de leurs coussinets.
àppuquéi aux machines. 4^3
de rotation; nous supposerons que le point où se fait le choc est sur la perpendiculaire abaissée de Taxe sur la droite primitive ou verticale des points de contact de la came et du
Fig. iio.
mentonnet. A cet instant et pendant toute la durée du choc, le pilon résiste à l'action ou à Teffort P exercé par la came parallèlement à son axe, en vertu de son inertie et avec une ïta&âÊÊàââae k
g dt
dl
enMsignant toujours, comme au n"" 31 (Section III), son poids par Q et appelant dv l'accroissement élémentaire de vitesse qu'il reçoit dans l'élément de temps di.
Cette force cp agit dans la direction de la tige du pilon et à une dislance x du point de contact m de la came et du mentonnet, et la force P tend à appuyer cette tige contre les prisons et à y produire des frottements tout à fait analogues à ceux que nous avons appris à calculer au n"" 31 de la Section III ; à chaque instant du choc, il doit y avoir équilibre entre la pression P de la came sur le mentonnet, la résistance 9 développée
464 COURS DB MÉCANIQUB
par l'inertie du pilon et les diverses résistances passives, forces devant lesquelles le poids Q du pilon est négligeable; nous aurons, en conservant toutes les notations du numéro cité {*),
Dans cette expression, les quantités j: et / sont constantes, attendu qu'il n'y a pas de déplacement sensible pendant toute la durée du cboc; on peut donc poser
l — ifx—ff(l—^X) g en désignant par m' une quantité constante, analogue à une masse, puisqu'elle est le produit de la masse — par un facteur
g numérique*
La relation ci-dessus donne
Vdt = 7 j, :Frm ^ — dv = m! dv.
d'où
/Pdt = -. :a -77777 ; —v = m'f,
en supposant, ainsi qu'il arrive ordinairement, que le pilon parte du repos.
12. Quantité de travail qui doit être développée surl^^tentonnet pendant la durée du choc. — Nous ne connaissons pas la loi de la variation de v en fonction du temps /, et, par conséquent, nous ne pouvons pas obtenir la valeur de P pour chaque instant de la compression ; mais il est facile de calculer la quantité de travail total que cet effort P doit .développer pendant l'acte du choc. En effet, en désignant par dy le chemin
(*) La théorie du cboc des cames et des pilons ou des marteaux est exposée dans l'édition de 1836; nous reproduisons ici la rédaction de l'édition de i836 qui est plus détaillée. — Voir la Note du n» 31, Sect. III. (K.)
parcouru dans l'élément de temps dt par le point m d'application de la force P, nous aurons
P ^r = /-2/^-jgr'(/-2jr) ^ di "^^^
ou, en intégrant, et supposant /— s/constajfit, ainsi qu'il à été dit ci-dessus,
PûÇr= - 7 7- TyTTT \ ^ ♦^=i>nV%
ce que l'on pouvait prévoir a priori, puisque nous savons que la quantité de travail qu'une force doit développer sur une masse m! pour lui imprimer une vitesse fînie v dans sa direction propre est numériquement égale à la moitié de cette force vive.
13. Relation entre les forces qui agissent autour de l'arbre A cames pendant le choc. — Si nous examinons maintenant ce qui se passe autour'Se l'arbre à cames et que nous appelions
m un élément de la masse de cet arbre et des pièces de rotation, concentriques à son axe, ordinairement distribuées symétriquement autour de cet axe;
r la distance de cet élément à l'axe C de rotation ;
(ù la vitesse angulaire de l'arbre à un instant quelconque du choc,
la vitesse de l'élément m sera ro), et la force vive de l'arbre aura pour expression
Imr^ représentant la somme des moments d'inertie de toutes lespièce^ui tournent avec l'axe C. La variation de celte force vive daùs l'élément du temps dt de la durée du choc sera
— 2Ci)(/ûj2mr%
attendu que la vitesse décrott pendant le choc.
La quantité de travail élémentaire développée pendant M même temps par la force P est
.^ Pr'o)(//,
eii âfppelant r' le rayon du cercle développé pour tracer la came.
466 COURS DB MÉGANIQUB
Quant au frottement sur les tourillons, il n'est dû qu'à la
force P, attendu que toutes les forces d'inertie m —-rp- des
molécules matérielles m se détruisent deux à deux, puisqu'on les a supposées symétriquement réparties autour de l'axe.
On a donc, pour le travail élémentaire de ce frottement, p étant le rayon des tourillons et/ le rapport du frottement à
la pression^
/,Pp(k)rf/,
et l'équation du principe des forces vives donne
— ck)rf&)2mr*= Vr' (ùdt -h fiVpc*ydt
ou
— d(ùlmr^=:^r'dt -+-/. Ppdt = P(r' -^fxp)dt,
ou, en intégrant depuis le commencement du choc, oùrona, par hypothèse, &> = û et / = o, jusqu'à la valeur &),
(£2-w)2mr^i=(r'H-/.p) APc/r;
mais, d'après ce que nous avons vu plus haut, on a, entre les mêmes limites, c'est-à-dire à la fin du choc.
P dt = m' V z= m! (ùr' z=z -ji — — — cor'.
attendu que, vu le peu d'élasticité de la came et du mentonnet, le pilon marche, après le choc, avec une vitesse sensiblement égale à celle de la came, ainsi que le montre l'observation (').
(*) En réalité le mentonnet et la came ayant éprouvé pendant la durée do choc ou de la compression un mouvement de flexion génécalo^ fis reviennent sur eux-mêmes vers la fîn du choc, et il en résulte que le pilon prend une vit-M tesse un peu plus grande que celle de la came et doit la quitter; mais, d'une '\ part, cet effet est très-peu sensible par suite du peu de flexibilité des parties HP contact et de l'altération que la répétition des chocs produit dans leur élasticité, et de l'autre les frottements qui résultent de ces forces de réaction contra les (guides, prisons, etc., ont promptement détruit cet excès de vitesse. L'observation montre d'ailleurs que le pilon ne quitte pas visiblement la came, ee.qtii prouve que l'on s'éloigne fort peu de la vérité en supposant que les deax*4 marchent avec la même vitesse après le choc.
L*équation ci-dessus revient donc à
(û — (ù)lmr'= /n'a)r'(r'-l-/,p).
14. Expression des vitesses angulaires, avant ^ft après le choc, en fonction de la vitesse angulaire moyenne. — Celle relalion enlre la plus grande vilesse angulaire SL de l'arbre à cames et la plus petite &) ne peut suffire pour les délerminer toutes deux ; mais nous observerons que, le mouvement de cet arbre étant oboftfnuellement entretenu par le moteur,' sa vilesse s*écarte très-]peu, dans la réalité, d'une certaine vitesse moyenne 12% qui se trouve nécessairement comprise enlre û el (ùy et qui différera toujours fort peu, dans la pratique, de la moyenne arithmétique entre ces deux vitesses extrêmes; on peut donc poser approximativement
ce qui nous met à même de délerminer les valeurs de û et de (ù en fonction de cette vitesse moyenne 12', que nous donnera dans chaque cas l'observation du nombre de tours faits dans un temps donné par l'arbre à cames. En effet, ëà Ifosant
on lire de la première équation
el, en faisanl, pour la simplicité des expressions,
il vient
Celte ^expression de la vilesse angulaire après le choc nous montre qu'en effet elle différera très-peu de la vitesse 12 avani le
468 COURS DB MÊGàNIQOB
choc dans tous les cas de la pratique» attendu qu'il arrive toujours que m' est assez petit par rapport à M. En la combinant avec la relation
iz = j
on trouve successivement
û = T7 rrr et û) =
15. Perte de force vive produite par le choc. — Au moyen de ces valeurs, il devient facile de calculer la perte de force vive occasionnée par le choc en fonction de la vitesse moyenne de Tarbre à cames. En effet, la force vive du système avant le choc se réduisait à celle de Tarbre à cames, puisque le pilon était au repos, et elle avait pour expression
Q^lmr^ = Q^Mr-= (M-f-M-^
après le choc, la force vive de Tarbre est «'Mr'»; celle du pilon est cu^m r'% en désignant par m la masse du pilon ; la force vive totale est
La perte ou la différence est donc égale à expression dans laquelle il ne faut pas oublier que
l-2fx-ff'(l-^r) g
Dans les applications numériques, il faudra calculer le moment d'inertie 2mr*=: Mr" de toutes les parties qui tournent autour de Taxe de Tarbre à cames, pour en déduire la valeur de M; mais on verra, dans beaucoup de cas, que l'expression
APPLIQUÉE AUX VACHINBS. 4^9
de la force vive perdue pendant Vacte du choc varie fort peu entre les suppositions extrêmes de M = m et de M = oo .
C'est ce dont il est facile de s'assurer, par exemple, dans le cas des pilons; car, en faisant les suppositions très-défavorables de
/=i",20, jr = o"*,4o> f=o,i5, /'=o,io, j^ = o",5o, on trouve d'abord
puis, si
V=m' Il -h ^\ -f-M = i,oim'-f-M=i,i22/n-+-M.
En substituant ces valeurs dans Texpression générale de la perte de force vive, nous aurons
Si maintenant, dans cette expression, nous faisons successivement M = m et M = 00 , ce qui correspond aux deux cas extrêmes, savoir, celui où la masse de l'arbre à cames rapportée au point de contact serait égale à celle du pilon et celui où la masse de cet arbre pourrait, au contraire, être regardée comme inQnie par rapport à celle du pilon, on trouve, pour les pertes de force vive,
1 ,027 û'>mr'» et i ,224iX'»iiir'%
valeurs qui ne diffèrent entre elles..que 4^ o,o8i ou -^ de la plus forte des deux, et, comme il arrive toujours que M est très-grand par rapport à m, on voit qu'on ne commettra pas d'erreur notable en appréciant la perte de force dans la supposition de M = 00 •
470 COURS Dl VÊGANIQUB
16. Consommation totale de force vive pour chaque choc. — Nous avons vu précédemment que» dans les machines du genre de celles qui nous occupent, la consommation de force vive qui se fait à chaque choc se compose de la force vive perdue pendant l'acte du choc et de celle qui est communiquée à l'outil, et que l'on peut regarder comme l'effet utile. Nous venons de calculer la première, et l'on devra toujours s'attacher a la diminuer dans chaque cas; quant à la seconde, elle est supposée nécessaire au travail de l'outil, et, en ajoutant sa valeur cj'mr'' à la perte que nous venons de calculer, la somme que l'on pourra exprimer en fonction de la vitesse angulaire moyenne Q' de l'arbre à cames nous donnera la consommation totale de la force vive que cet arbre doit faire pour chaque choc ; mais on aura plus facilement l'expression de cette quantité en recherchant immédiatement quelle est la variation de la force vive de l'arbre pour chaque choc.
En effet, û et &> étant, par hypothèse, les vitesses angulaires de l'arbre avant et après le choc, on a, pour la variation de sa force vive pendant toute la durée de la réaction.
En substituant dans cette expression pour û et &) leurs valeurs en fonction de la vitesse angulaire moyenne û'
^ aiî'M' 2i2'M
d'où
elle devient
en se rappelant qi|ê
■hf'^)
APPLIQUÉE AUX MACHINES. ^']l
17. Travail consommé par l'arbre à cames pour chaque choc, — Telle est donc la consommation de force vive qui doil êlre faite pour chaque choc par Farbre à cames> et, comme toute variation de force vive correspond à une consommation de travail qui en est numériquement la moitié, la quantité de travail qui est dépensée par l'arbre à chaque choc, pour subvenir aux pertes et pour imprimer au pilon la vitesse cor', a pour valeur
Cette expression, dans laquelle on a
est facile à calculer; mais on peut encore la simplifier, dans, certains cas, en observant que, quand M est très-grand pj rapport à m', elle diffère très-peu de la valeur qui correspqpi^ à la supposition de M = oo . '-? •
En effet, elle revient évidemment à
2 il'' /'»
€t si Ton suppose, comme précédemment,/, = 0,10, -^ = o,io,
Sous cette forme, elle donne, pour la consommation de travail correspondant à chaque choc, dans la supposition de M = oo,
47 2 COURS DB MÉGÀlfIQUE
ei, dans celle de M = lom',
= 0,961 i2'»r"/ii',
ces deux valeurs ne différant entre elles que de o,o5i de la plus faible. On voit que, dans les applications où le rapport de m' à M est toujours moindre que ^9 on pourrait, sans erreur notable, prendre, pour l'expression de la quantité de travail consommée pour chaque choc, la valeur
qui correspond à la supposition de M inOni par rapport à m'.
18. Travail consommé par les chocs en une seconde. — L'expression générale étant facile à calculer, nous continuerons à l'employer; d'après cela, s'il y a n chocs ou levées de : ^pilons par révolution de l'arbre à cames et /x révolutions par ' minute, nous aurons, pour la quantité de travail consommée 4 -par les chocs dans une seconde,
nu. Q/^r'^m' nu Q'^r'^m'
60 2, ni* 3o 2 m'
19. Quantité de travail développée pendant la levée des pilons. — Après avoir ainsi calculé la quantité de travail consommée par seconde pendant le choc des cames contre les pilons, il faut y joindre celle qui doit aussi être développée par l'arbre à cames pour élever ces pilons à la hauteur voulue et vaincre les résistances passives, puis celle qui est consommée par le frottement de l'axe pendant l'intervalle qui s'écoule entre l'instant où une came quitte le mentonnet d*un pilon et celui où une autre came vient le choquer de nouveau.
Pour déterminer la première de ces deux quantités de travail, on se rappellera que nous avons trouvé au n^ 31 de la Section III, pour l'expression de l'effort que la came doit
exercer dans une position quelconque du pilon.
Dans cette relation^ on désigne par
Q le poids du pilon ;
/ la distance des guides;
y la hauteur du point de contact m de la came du mentonnet
au-dessus du guide inférieur; X la distance horizontale du même point m à Taxe de la tige; f Qif les rapports respectifs du frottement à la pression pour
la tige et les prisons, et pour la came et le mentonnet.
D'après cela, la quantité de travail élémentaire développée
dans l'élément du temps dt par la force P dans sa direction
propre sera
Q/rfr
Prfr =-
^-•^f^-ff'(^-^y)
et, pour obtenir la quantité de travail total correspondant à une levée du pilon, il faudrait intégrer cette expression entre les limites relatives à cette levée*
Les cames employées dans les moulins à pilons ont quelquefois et devraient toujours avoir la forme d'une développante de cercle, afin que le bras de levier de la résistance fût constant et que, par suite, les vitesses fussent transmises dans un rapport invariable. Dans ce cas, la quantité x est constante, et, en posant
x = b et 7 -/^ — rFrt = ^y
l'expression du travail élémentaire développé par l'effort P devient
(*) Od néglige ici l'influence de Tépaisseur de la tige du pilon; on admet de plus que les conditions soient telles que, pendant toute la montée du pilon, les contacts avec les guides soient en diagonale. F'oir, à ce sujet, les Notes des n<» 30 et 31, SecUon Ul. (K.)
474 COURS DB MÉCÀmQqB
ou, en iniégrant depuis / = A' correspondant à l'instant où la came commence à pousser le mentonnet jusqu'à ^^ A'^ oii elle le quitte, on trouve, pour le travail total pendant une levée,
?dx= -^ [log(i -f- ah") - Iog(i -h ah')].
Or on a
log( I + ah )=zah \ i- . . . ,,
et, par suite, en nous bornant au second terme de la série»
ce qui suffira toujours, comme noua le verrons tout à Theure, on a
pour l'expression du travail développé par P pendant toute une levée.
20. Faleur moyenne de l'effort exercé par la came sur le mentonnet, — L'effort P étant variable en même temps que^, il est important, pour la suite des calculs, d'avoir sa valeur moyenne, et, puisque le chemin parcouru dans sa direction propre est h"—h\ on aura, pour cette valeur moyenne que nous désignerons par F,
/prfv a(«r a{h"-^in'\
Dans les applications, on remarquera que la quantité -^
est presque toujours négligeable par rapport à l'unité. En effet, si l'on suppose le cas défavorable où
on trouve
« = 0,0283 et — ^^ = o,oi5.
APPLIQUES AUX HACBraBS. 4?^
Dans ce cas, l'effort moyen se réduit à
que Ton aurait obtenu directement en négligeant de prime abord, ainsi qu'on le fait souvent, le terme ajQT'j du dénominateur de P.
21. Pilons de poudreries, — Le cas que nous venons d'examiner n'est pas celui des pilons des moulins à poudre, où les cames en bois ont ordinairement la forme d'un prisme dirigé suivant un rayon et simplement arrondi à son extrémité. La valeur
P= Qi
t-,fx-ff(l-^X)
contient alors deux quantités variables à la fois, et l'intégrale de la quantité de travail élémentaire développée par l'effort P
offrirait des difQcultés de calcul que l'on évite à l'aide des méthodes connues de quadrature.
22. Détermination de l* effort moyen à exercera la circonférence d'une roue de rayon R montée sur l'arbre à cames^ pendant la levée. — Après avoir ainsi. déterminé, selon le cas, la valeur de l'effort moyen à exercer dans le sens vertical pour faire marcher le pilon, on pourra facilement obtenir celle de la puissance S, qui, agissant à une distance R de l'axe, surmonterait toutes les résistances utiles et passives développées autour de l'arbre à cames. En effet, en supposant que S agisse verticalement, et appelant
r' la distance du point de contact m de la came et du men-
tonnet à un instant quelconque de la levée ; B l'angle formé par le rayon cm avec l'horizontale; M le poids de l'arbre à cames; K le nombre de pilons qui sont simultanément en prise, et
dont le poids p' s'ajoute constamment à M pour presser sur
les tourillons.
on aura» pour une portion quelconque de la levée,
SR = Pr' cos9 -+-/'Pr' sinô -f-/.p(M + S -t- Kp'),
et, pour la quantité de travail dcvelopifé dans un déplacement angulaire inQniment petit dO^
SKde = Pr' cos9d9 -+-/'Pr' smOde -h/plM -hS -4- Kp')d9.
En intégrant cette relation pour toute la durée de la levée, on en déduira la quantité de travail et, par suite, l'effort moyen que doit développer la force motrice S.
Or il est facile de voir, à Texamen de la figure, que, en désignant par /• la distance du guide inférieur à Thorizontale de Tarbre et par d la distance de cet arbre à l'axe du pilon,
on a
X = X9-h r'sinO et x = d— r' cosOy
d'où
rfj — r'cosôrfe, dx = r' sinô dO,
et, par suite,
fPr'cos9d6= Ç^dy.
que nous savons calculer par approximation, et
f C?r's\n6de=f' fpdx.
Celte dernière intégrale représente le travail consommé par le frottement de la came sur le mentonnet, et, par conséquent, on peut, sans erreur notable, y remplacer P par sa valeur moyenne constante F, que nous connaissons; mais il faudra avoir soin d'observer, d'après la disposition de la machine, si le glissement a toujours lieu dans le même sens pendant la levée entière. Ainsi, par exemple, s'il arrivait que les cames poussassent le mentonnet partie en dessous, partie en dessus de la ligne des centres, dans la première période, le point de contact glisserait en s' éloignant du centre vers la tige et, dans la deuxième, en s'éloignant de la tige vers le centre, et, comme dans ces deux mouvements le travail du frottement
APPt.I<IOe« AUX HICRIIIBB. 4??
serait toujours consommé en pure perte, il faudrait ajooter celui qui correspond k chacun d'eux, abstraction faite du signe; mais on aura rarement à établir cette distinction, attendu que, quand les pilons marchent en charge, la came ne les rencontre qu'à hauteur de la ligne des centres.
Appelant donc x, le chemin parcouru sur )e mentoonet par le point de contact et que le tracé donnera immédiatement, on aura, pour le travail total du frottement de la came su£i| fuentonnel,
Quant au terme relatif au frottement des tourillons de l'arbre à cames, on obtiendra immédiatement sa valeur en prenant pour 9 l'angle total ff décrit pendant la levée, et, en représentant par S' la valeur moyenne de l'effort variable S, elle sera exprimée par
/,p(M + S'-i-K/)e'; on aura donc
fsRt/e = f Pdy -hfP'x,-i-f,plM -hS' -\- Hp' )0'.
D'une autre part, l'effort moyen S', qui développerait, dans le même intervalle, la même quantité de travail, serait donné par la relation
S'KB'= fsRde.
On tire donc de ces deux relations
