II. — I.IFLUBNCE DBS CHÀNGEMERTS BRUSQUES SX LA VITESSE

Principes généraux.

5. Rappel des lois générales du choc des corps qui se. meuvent parallèlement à eux-mêmes.— Nous avons indiqué, dans la Section I, la manière générale dont on doit tenir compte des pertes de travail qui surviennent lors d'un changement brusque quelconque de la vitesse, m^is il est nécessaire de ^lé^elciYippT ilnvamngc ces ^dées, pour être en état de passer Ux applicalions spéciales.

^Dus rappellerons : i° que la durée des chocs, tels qu'en lavent m^^liincs, est généralement négligeable, par

rapport à celle du temps pendant lequel on considère leur mouvement, ce qui tient au peu de compressibilité des corps dont elles sont composées; d'où résulte que les quantités de travail développées pendant le choc par les forces autres que celles de compression, ou de réaction, ou d'inertie, sont négligeables par rapport à celles dues à ces dernières forces, et qu'on n'aura à s'occuper que de celles-ci; 2^ que les pièces qui subissent ce choc étant constituées de façon que les altérations de formes qu'elles éprouvent sont en elles-mêmes fort petites, le système se trouve, après le choc, sensiblement dans les mêmes conditions de liaisons géométriques qu'auparavant; d'où il suit que les vitesses de chacune des parties en contact seront, à chaque instant du choc et après, dans les mêmes rapports qu'auparavant.

Nous ferons ensuite remarquer que la direction suivant laquelle les corps se compriment et réagissent l'un sur l'autre est celle de la normale commune au point de contact de ces corps, de sorte que les forces de compression développées pendant l'acte du choc sont elles-mêmes dirigées suivant cette normale, ainsi que les vitesses perdues et gagnées par les deux corps à chaque instant, par suite de leur action réciproque. De plus, la durée du choc n'étant jamais nulle, bien que très-courte, la pression et la vitesse varient, pendant cette durée, par degrés insensibles, depuis l'instant où la compression a commencé jusqu'à celui où elle finit.

li résulte du principe de l'action égale et contraire à la réaction (n"* 13, Section I) que les forces développées pendant le choc doivent faire équilibre à la résultante des forces d'inertie

(f=^m -7-5 dues au changement de vitesse qu'elles ont produit

au même instant, pont' chaque corps, dans la direction de sa normale commune avec l'autre. Ainsi m et m' étant des éléments de masse de deux corps que, pour la simplicité, nous supposerons sphériques et animés des vitesses parallèles v et i^, on aura, en appelant P la pression exercée à un instant quelconque par l'un des corps sur l'autre,

dt dt

La pression et les forces d'inertie 'w^j qui seront nulles

à r^nstantoù la compression commence,augmentent sans cesse dans les instants suivants, jusqu'à celui qui correspond à la plus grande compression, où ces forces acquièrent leur plus grande valeur et où les vitesses des deux corps sont égales. Passé ce terme, les ressorts moléculaires, en se débandant, tendent à restituer au corps choquant une portion de la vitesse qu'il a perdue et à augmenter encore celle que le corps choqué a gagnée, et, si l'élasticité des corps était parfaite, la somme des forces vives redeviendrait exactement la même qu'avant le choc, tandis que les vitesses v et i'', suivant la normale, seraient altérées, de façon que la perte et le gain absolus de la vitesse seraient doublés pour chaque corps. Il est d'ailleurs évident que cette restitution de la force vive, perdue pendant l'acte du choc, n'aura lieu que pour lescorps élastiques et en proportion de leur élasticité.

Pour les corps entièrement dénués d'élasticité, le choc finit à l'instant d^ la plus grande compression, où les vitesses normales sont devenues égales; or, à cet instant, la force vive perdue à la fois par les deux corps est, selon le principe de Carnot, rigoureusement égale à la somme des forces vives dues aux vitesses perdues ou gagnées, en sorte que la moitié de cette force vive exprime la quantité d'action absorbée pendant l'acte de la compression, et qui désormais doit être retranchée de la quantité d'action fournie par le moteur à la machine.

6. Expressions générales de la vitesse et de la force vive perdues par chaque corps. — Comme, dans la plupart des circonstances, les chocs ont lieu entre corps peu élastiques et qui restituent à la fin de la plus grtpd^ compression une très-faible partie de l'action qui avait ^d^'abord été absorbée par les ressorts moléculaii^es, ce principe, qui a lieu pour un nombre quelconque de çhooft simultanés, sera très-utile toutes les fois que l'on connaîtra a priori la vitesse possédée par les corps, avant et après le choc, ainsi que leur direction. Soient en effet V, v ces vitesses respectives pour une

454 COURS DB MÊCÀlflQUB

masse quelconque M (fig* 109) et u la vitesse perdue; nooimons u\y uv les angles formés par les directions de V et (^ avec

Fig. 109. ♦

la partie de la normale commune au corps M et à celui qui le choque, qui est du côté de V, en sorte que cas m V et V seront essentiellement positifs, on aura pour la vitesse et la force vive perdues par M

u = VcosaV — i'COSiK/, mu^ =: m(\cosu\ — ccos u^Y,

ce qui est évident d'après ce qui précède, ou si Ton observe que la vitesse u n*est autre chose que la résultante de la vitesse Vavant le choc et de la vitesse v après le choc, prise en sens contraire de sa direction; car celle résullanle est la somme des projections des composantes sur sa direction propre.

Lorsque la vitesse après le choc n*est pas immédiatement donnée, le princijj^jg^e Carnot n'est plus d'un grand secours, attendu qu'on /Al éUigé de rechercher directement cette vitesse au mo^pen des.4oll9 ^^ choc, déduites du principe de d'Alemberty ^l^ûsaraejpn en verra bientôt des exemples particuliers. Le cas le plu^général' et en même temps le plus ordinaire, où le thédrèifie de Carnot reçoit son application, est celui où l'un des corps conserve une vitesse que l'on peut considérer comme sensiblement constante avant et après le

APPLIQUÉS Alix MàGHINBS* 4^^

choc, soit parce que sa quantité de mouvement est trèsgrande par rapport à celle de l'autre corps, soit parce que les quantités de mouvement qui lui ont été communiquées ou enlevées par suite du choc ont été immédiatement consommées ou restituées par des puissances ou des résistances étrangères à ce choc. Ce dernier cas se présente ordinairement lorsque des chocs plus ou moins faibles se succèdent à des intervalles égaux, très-rapidement et pour ainsi dire sans discontinuité; on en trouve des exemples dans le choc des fluides contre leurs propres molécules ou contre des corps étrangers, tels que les roues hydrauliques, dont la vitesse demeure sensiblement uniforme par une cause quelconque. Dans ces diverses circonstances, on pourra se borner à prendre, pour la perte de force vive, celle qui est due à la vitesse perdue par le corps dont le mouvement a changé d'une manière notable, en supposant qu'il conserve après le choc la vitesse constante de l'autre.

7. Expression de la force vive perdue par le choc de deux corps dont l'un conserve une vitesse sensiblement constante, — Cette proposition n'étant point évidente a priori et étant très-utile pour les applications, nous croyons nécessaire de la démontrer ici.

Soient m, m! deux masses non élastiques, qui se choquent avec des vitesses dont les composantes v, v*, suivant la normale commune au point de contact, soient dirigées dans le même sens; soient u^ m' les vitesses normales perdues par les deux corps, et enfm w celle qu'ils possèdent en commun suivant la normale, à la fln du choc on aura, comme on sait,

mv -\- m' v' rn'iv — v^)

, , ni(v — v')

la force vive totale perdue sera donc, d'après le principe de Carnot,

mu^ -4- m' u'^ = ' : (v — ç^')»-

Supposons maintenant que, par une cause quelconque, l'accroissement ou la diminution de vitesse éprouvé par la masse m' à la fin du choc soit immédiatement détruit l'instant d'après, en sorte qu'elle reprenne la vitesse ^ au commencement d'un nouveau choc semblable au premier, et ainsi de suite; il en résultera que la vitesse de m! suivant la normale commune au point où s'exerce l'action, quoique variable, oscillera entre les limites v' et w très-resserrées, et qu'on pourra considérer cette vitesse comme sensiblement uniforme et ayant une valeur moyenne &> qui diffère très-peu

de la moyenne arithmétique entre les vitesses limites;

on pourra donc prendre w = 5 surtout si v s écarte beaucoup de / dans l'expression de la perte de force vive trouvée

. , ^ , mc^ -4- m V , , Ci-dessus. Or, en mettant pour w sa valeur ;— dans la

relation 2w = w -f- c', on en déduira

2 ( m -f- m' ) &) = me 4- ( 2 m' -f- m ) /, ou, en ajoutant de part et d'autre (2m' -4- m) (/,

, 2 ( m -4- m' ) ( f — vo)

et

mm' . ,,, ^mm' {m-^ m') . ,, . .

Celte dernière expression de la force vive, qui est entîè-

(*) On arrive à un résultat exactement semblable pour les corps qui ne sont pas entièrement privés d'élasticité; car en représentant par n* la fraction de force vive restituée par les ressorts moléculaires après l'instant de la plus grande compression, on trouverait (y/ rcAiVecr^re hydraulique de Bélidor, p. i3i, Note ai de Navier) pour l'expression de la perte de force vive, w étant la vitesse moyenne donnée de m' suivant la normale^ laquelle oscille ici entre le» limites *»' et fv -t- « ( tv — v'),

(i — /ï'")mm'(*'— «^)* , .- kmm'(m-^m*) , ..

quand m' est très-grand par rapport à m, la valeur approchée devient aimida*

JkPFUQOtl àDX MiCBIRBS. 4^7

rement rigoureuse en prenant pour u la moyenne arithmétique entre </ et w, varie exirèmement peu avec m', pourvu seulement que m' ne soit pas au-dessous de m; en effet, si l'on y suppose successivement

m':=m, m':=2m,,., m' ^ oc ,

elle prend les valeurs

donL les extrêmes ne diffèrent entre elles que de 7 de la plus grande d'entre elles, qui est aussi la plus grande de toutes. On pourra donc, sans erreur sensible, prendre m{v — to)' pour la perte de force vive, pourvu seulement que la masse m', qui conserve une vitesse sensiblement uniforme suivant la normale commune aux corps qui se choquent, n'ait pas une valeur plus petite que celle de l'autre corps, ce qui est le cas de presque toutes les applications. D'ailleurs, si les masses m et m' avaient des vitesses contraires, l'expression de la force vive perdue serait m (c + u)' et elle deviendrait simplement m u' ou mv^f si la vitesse v ou u éuit nulle; dans tous les cas, il ne faudra pas oublier que les vitesses f et u sont estimées suivant la vitesse normale commune au point où s'exerce le choc.

8. Moyen général de calculer, dam le cas des machines, la perte de force vive due aux chocs,— Revenons maintenant à la question générale du choc. Nous avons supposé jusqu'à présent que les corps étaient entièrement libres et se mouvaient parallèlement à eux-mêmes avant et après l'instant du choc, de sorte que les molécules respectives étaient animées

ment (i — a') m (v — et)', laquelle Mt enUiremeal rigoureuH loraqu'on tappow m' infini ; mil* si m' ne larpaMa pM beineonp m, on ne pourra prendre cette dernière eipreulou qn'anUnt que n aérait petit. Par exemple, ai n/nn et 0 = 1, OD troni* que U p«rM4e force tIto derienl

458 COURS DE MÊCANIQUB

de vitesses égales et parallèles; or il en est rarement ainsi dans les machines, dont les pièces sont assujetties à des mouvements déterminés. Pour calculer, dans ce cas, la perte de force vive survenue dans le système, il faudra considérer la machine comme décomposée en ses différentes pièces simples et ne s'occuper que de ce qui se passe dans chacune d'elles séparément. On remarquera en effet que, quand un choc survient au point de contact de deux pièces quelconques d'une machine composée, la vitesse et la force vive étant altérées en même temps, il se développe sur chacune d'elles (1 ) et des forces de compression P, P' agissant normalement en ses points de contact avec celle qui la précède et celle qui la suit immédiatement, et des forces motrices 9

ou m ^ dues au changement de vitesse éprouvé par chaque

masse m dans l'élément du temps; d'ailleurs, ces différentes forces, exprimables en des poids, occasionnent, sur les points d'appui fixes ou mobiles, des pressions que nous représenterons, en général, par N et qui donneront lieu à des frottements qu'on peut encore représenter par /N, attendu que les lois du frottement s'étendent au cas où les pressions varient d'intensité pendant le mouvement ( ' ) . Cela posé, il y aura, à chaque instant» équilibre, d'après le principe des vitesses virtuelles, entre les différentes forces P, P', 9, /N prises dans une direction convenable et facile à déterminer dans chaque cas; mais comme le corps ne peut prendre qu'un seul mouvement géométrique, il n'y aura pareillement qu'une seule équation d'équilibre, qu'on obtiendra de la manière déjà souvent indiquée.

En formant, pour les diverses pièces simples de la machine, les équations d'équilibre analogues, qui seront presque toujours linéaires dans les quantités P, P' et 9 et ne contiendront aucun terme indépendant de ces quantités, puisqu'il proviendrait de forces étrangères à l'acte de la percussion et serait par conséquent négligeable ; en observant en outre que

(*) Nouvelles expériences sur le frottement ^ par M. Morin, 3* Mémoire {^Recueil des Mémoires présentés à l'Académie des Sciences par des Savtuits étrangers f t. VI, 1 83 3).

APPLIQUÉE AUX VACHINES* 4%

les équations d'équilibre, relatives aux pièces extrêmes de la machine, ne contiendront qu'une seule force P ou F, puisque ces pièces ne sont soumises qu'à un seul choc, il serait facile de calculer, de proche en proche, les forces de compression inconnues P, P' en fonction des forces motrices ç correspondantes, et même on en déduirait une équation unique entre

toutes les forces cp ou m -^ considérées à un instant quelconque du mouvement, et qui, étant linéaire comme les premières, pourfait être intégrée immédiatement, et donnerait ainsi pour chaque instant du choc la relation qui lie entre elles les vitesses et les quantités de mouvement possédées par les différentes molécules matérielles de toute la machine. Mais comme la question n'est pas de déterminer la valeur des forces P, P' et de la vitesse pour chaque instant du choc, et qu'on ne connaît pas d'ailleurs la loi que suivent les forces motrfces ç, on se contente de considérer ce qui se passe à l'instant de la plus grande compression pour en déduire la vitesse possédée par les différentes masses m et, par suite, la perte de force vive éprouvée par toutes ces masses : or l'équation ci-dessus suffit pour cet objet, en la supposant intégrée depuis l'instant où la compression commence jusqu'à celui où elle finit. £n effet, à ce dernier instant, la vitesse, suivant la normale commune au point de contact de deux pièces quelconques est devenue la même pour ces pièces, en sorte qu'pn peut immédiatement, d'après la constitution géométrique du système et les conditions de la liaison, exprimer la vitesse d'une masse ou d*un point quelconque par celle de l'un d'entre eux choisi arbitrairement; l'équation donnera donc, en supposant que Ton connaisse la vitesse avant le choc, la vitesse du point dont il s'agit après le choc, et par suite celle de tous les autres points de la machine. Ainsi, en retranchant de la force vive qui a lieu avant le choc celle qui a lieu à l'instant de la plus grande compression, on aura l'expression de la force vive perdue.

9. Procédé plus simple pour arriver au même but, les corps étant toujours censés sans élasticité. — Cette marche n'est

46o COURS DB MÊCAIflQUB

pas celle que Ton suit d'ordinaire; on lui en substitue une autre plus simple , qui dispense de toute intégration et qui conduit aux mêmes résultats , maïs qui paraîtra peut-être moins claire et moins facile à saisir dans les conséquences qu'elle offre relativement aux résistances passives développées pendant le choc. La métiiode dont il s'agit a été employée par Poisson dans son beau Mémoire relatif aux Effets du tir d'un canon sur les différentes parties de son affût. Mémoire qu'on ne peut trop recommander de lire et de méditer à tous ceux qui désirent approfondir la question du choc dans ses applications à la pratique^ et dont les réflexions précédentes pourront peut-être servir à faciliter l'étude en quelques points. L'esprit de celte méthode consiste à considérer les forces de percussion exercées aux points de contact des diverses parties, c'est-à-dire les quantités de mouvement totales développées ou détruites en ces points comme une succession ou une somme de pressions donnant lieu à des frottements mesurés par le produit de ces quantités de mouvement et du coefficient ordinaire du frottement relatif aux substances en contact, puis d'exprimer, d'après le principe de d'Alembert, qu'il y a équilibre, dans chaque pièce simple, entre toutes les quantités de mouvement perdues ou gagnées qui y sont relatives. Ainsi, en représentant par P, P'cpet/N les quantités de mouvement dont il s'agit pour l'une quelconque des pièces ou machines simples du système, on arrivera à des équations entièrement semblables à celles que nous avons envisagées d'abord entre les forces motrices, et qui pourront en être censées les intégrales. Éliminant donc entre elles les forces de percussion P, P' qui sont inconnues, on arrivera à une équation unique entre les quantités de mouvement perdues par les différentes masses m de la machine; d'où l'on déduira, comme précédemment, mais sans intégration, la vitesse à la fin du choc ou de la plus grande compression, au moyen de celle qui avait lieu auparavant, et, par suite, la perte de force vive.

10. Cas où les corps sont parfaitement ou imparfaitement élastiques. — On obtiendra donc, comme on voit, la perte de

force vive à l'instant où elle est la plus grande possible, ce qui convient aux corps entièrement privés d'élasticité (7); dans le cas des corps plus ou moins élastiques, il faudra rechercher la vitesse conservée par chaque corps, à la. On du choc , au moyen de celle qu'il possède à l'instant de la plus grande compression, vitesse que l'on calculera toujours comme on vient de l'indiquer précédemment; or cette recherche ne souffre point de difficulté lorsque l'on connaît le degré d'élasticité, c'est-à-dire la portion de vitesse ihu[^^ qui est restituée, en sens contraire, par les ressorts ICDcAHBîres après l'instant de la plus grande compression. Sir#n«ok

u estk vitesse d'une masse quelconque m à l'instant dont il s'agit;

V sa vitesse avant le choc ;

n la portion de sa vitesse perdue et qui est restituée;

V la vitesse à la fin du choc ou de la compression;

les vitesses Y^ v ei u ayant ici nécessairement la même di^ rection ou étant dirigées suivant la même droite, V— w, /i( V — m) seront l'une la vitesse perdue d'abord, l'autre la vitesse restituée ensuite en sens inverse de V; en sorte que l'on aura

C = M — /l(V — M):^ll(l-f-n)— /iV,

expression dans laquelle il faudra mettre pour u sa valeur

trouvée ci-dessus. La force vive perdue par la masse m et par

toutes ses semblables, à la fin du choc, sera ainsi représentée

par

lmy^-lmv'=zlm\' — lm[u{i -h /i) — /iVp.

Quand les corps seront parfaitement élastiques, on aura

et

2/nV»— 2/nv':^2mV'-2/n(2a — V)' = 42/na(V — tt),

sur quoi il est essentiel d'observer que la perle de force vive ne sera pas nulle dans le cas actuel, attendu que les corps

46a COURS DB MÉCAIflQUB

sont soumis à des résistances passives pendant la durée de l'acte de la percussion ('].

Après ces considérations générales sur la manière d'évaluer la perte de force vive occasionnée par les chocs dans les machines, considérations qui nous paraissent indispensables pour en bien faire saisir l'esprit dans chaque cas particulier, nous allons donner quelques applications qui se présentent dans toutes les machines où l'outil agit sur la matière du travail par uQf^aite de percussions ; tels sont les pilons, les marteadlyMk; nous en verrons d'autres applications par la suite, à l'<Mmbii\de la perte de force vive éprouvée par les fluides, quand la; Wtesse de leurs molécules reçoit un changemeol brusque quelconque.