S'RÔ
la troisième enfin qui s'écoule entre l'instant où le pilon a été abandonné par une came et celui où il est choqué par une autre et pendant laquelle l'arbre à cames dépense une quantité de travail exprimée par
Par conséquent, en récapitulant toutes ces quantités de travail relatives à un seul choc et supposant qu'il y ait n chocs par révolution de l'arbre à cames et [l révolutions par minute.
▲PPUQUÉB AUX MACHINES. 479
la quaniité de travail qu'il faudra transmettre par seconde à cet arbre sera exprimée par
25. Cas où V arbre à cames est conduit par un engrenage monté sur Varbre de la roue. — Les moulins à pilons et les brocards présentent ordinairement une disposition qui, sans rendre les calculs plus difficiles, les complique un peu. L*arbre à cames, au lieu de porter immédiatement la roue hydraulique, reçoit le mouvement d'un engrenage monté sur celui de cette roue, de sorte que, à chaque choc ou à chaque ralentissement du premier arbre, il se produit, entre les dents de l'engrenage, un nouveau choc, d'où résulte la consommation d'une certaine portion de la force vive dont il faut tenir compte. C'est ce qui est facile en suivant la marche que nous avons déjà adoptée.
En effet, en appelant
X l'effort exercé, à un instant quelconque du choc, sur la dent du pignon ou de la lanterne de l'arbre à cames que nous supposerons vertical ;
r le,rù»])ttjB cercle primitif de cet engrenage;
et <î(iJB|ip|^nt les notations précédentes, il est évident que la quanljp&de travail
:> Xwrrf/,
développée pendant un élément dt de la durée du choc par cet effort,' s'ajoutera à celle qui est due aux forces d'inertie de l'arbre à cames et qui a pour expression (13)
— &)(/&) 2 mr%
et que, pour exprimer qu'à chaque instant la somme de ces quantités de travail est égale à celle qui est développée en sens contraire par la résistance du pilon et par le frottement
48o CODI8 DI kECAHIQDI
sur le tourillon de la roue, on aura l'équation
- MrfMlmr'+ Xurrfi = Pwr' rff H-^ (P -H X) «A, d'où, en divisant par la et iotégrani depuis a^Q jusqu'à
= ir'+fp)fpdl--=(r-^fp)m'ta,^,
en se rappelant les résultats du n° 13.
Nous aurons à établir une équation analogue pour eiprimer qu'à chaque instant les forces d'inertie de l'arbre de la roue hydraulique et des masses qui se meuvent avec lui développent des quantités de travail égales à celles qui sont consommées par les résistances.
Pour cela, nous remarquerons que, dans le cas des roues hydrauliques ordinairement employées pour moteurs de ces usines, l'eau contenue dans les augets ou entre les aubes agit comme une masse excentrique qui, pendant le choc ou le ralentissement du mouvement, agit aussi par son inertie pour s'opposer à la diminution de la vitesse. Si donc oo nomme
Ni la masse de l'eau contenue à un instant quelconque djjis
la roue ; R, la distance de son centre d'inertie à l'axe ; ui la vitesse angulaire de l'arbre de la roue tiydraaliqaê àw
instant quelconque du choc; Imr', le moment d'inertie de cet arbre et di;s parties svmé- ■ iriquemenl disposées autour de son axe; R' le rayon du cercle primitif de l'engrenage conducteur; n et r' les nombres respectifs de dents de l'engrenage et du
pignon ; /' le rapport du frottement à la pression pour les dents en
contact; /,1e rapport du frottement à la pression pour les tourillons de
la roue et leurs coussinets; p' le rayon de ces tourillons.
▲PPUQUfiB AUX MACBIHES.
il est facile de voir que, en raisonnant comme on Ta fait précédemmenty on aura Téqualion d'équilibre
— 0), rfck), (2 mr J -+- N, Rf )
^R' (i-f-/'7r^^'j&).Xrff-f-/.p'(Xrff + N,R.rfa).)«,,
d'où, en divisant par coi et intégrant depuis a>i=i2, la plus grande vitesse angulaire , jusqu'à &)t = a)i9 la plus petite, on
déduit
(û.-ai,)[2mr; -f-(R.-/p')N,R.]
Entre cette relation et celle que nous avons obtenue précédemment
(û-M)r«mr;+(r-/p) rXd/l = (r'-H/p)m'a>r',
il est facile d'éliminer / Xdt, et l'on obtiendra, entre les vitesses angulaires Qi, ût)i et o), une relation du premier degré, à laquelle on devra joindre les rapports
Û,R'=ÛR, w,R'=:&)R,
attendu que le déplacement ou les chemins parcourus pendant la compression réciproque des corps sont tellement petits qu'ils n'altèrent pas les rappor|s constants établis entre les vitesses angulaires.
. En déAgnant de plus par Q!^ la vitesse angulaire moyenne de Tarbre deja roue hydraulique et admettant, comme relation suffisamment approchée, que
^, û, + w, iz, = »
on aura un nombre suffisant d'équations pour exprimer les vitesjfes angulaili'es Ht et û>)i avant et après le choc en fonction delà vitesse angulaire moyenne Q\ que l'on déduira de l'observation ou q^i^era donnée a priori.
483 CODRS DB KfiClHIQDI
Par coDséquent, on obtiendra, en fonciion de celte vitesse Q' et des autres quantités connues, la consommation de force vive faîte à chaque choc autour de l'arbre de la roue hydraulique, el la quantité de travail que le moteur doit transmettre à la roue hydraulique aura pour expression
et devra s'ajouter à celles qui sont consommées pendant b levée et ia marcheà vide; on en déduira la quanUté de travail total qui, pour chaque levée de pilon, doit être transmise à
la roue hydraulique, et, en la multipliant par -^i nombre
de levées dans une seconde, on aura l'effet utile que la roue doit produire à chaque seconde.
On choc des camBB et des martaaaOt-
26. Différentes espèces de marteaux employés dam les forges.— On emploie, dans les forges et dans les autres usines métallurgiques, trois espèces de marteaux dont la forme et les proportions dépendentde l'usage auquel on les destine, savoir:
1° Les marteaux à bascule dits martinets {Jig. 1 1 ))• employés
.Fij. MI.
à l'étirage elau platinage des petits fers, aurafQpage des aciers, a la fabrication des armes blanches et de divjÉjUiutUs ; le poids
IPPLIQUes àUI KACHIKE9. 4^'i .
du marteau proprement dit varie, selon l'usage, de 80 à 4o kilogrammes et au-dessous, et sa vitesse de 200 à 400 coups par mioute. I^ came agit sur l'extrémité du manche opposées celle où est fixé le marteau, et l'axe de roution eA entre ces . deux points.
2*^' Les marteaux à soulèvement (Jlg. na), dont la came sou-
lève le apicil& entre le marteau et l'axe de rotation. Unies nOD&e aussi Éh» marteaux, marteaux à l'allemande. Ils sont pai-ticulièi^eot employés à l'affinage du fer par la méthode allemande. Leur poids varie de 3oo à 4oo kilogrammes, et leur vitesse entre 70 et 200 coups par minute.
3" Les mameaux fronleaux {Jig. 1 i3}, ainsi noniQl^jnrce
que la came les saisît par rexlrémiïé du manche au delà du marteau par rapport à l'axe et dans le plan vertical de ce
manche. Ils sont en usage dans les forges où Ton fabrique le fer à la méthode anglaise, et pèsent de 25oo à 4ooo kilogrammes, y compris le manche qui est en fonte. Leur vitesse varie de 6e à loo coups par minute.
A cette classe se rattachent aussi la plupart des marteaux ou pilons employés au feutrage des laines ou à la préparation des chiffons pour la fabrication du papier.
La théorie du mouvement de ces trpj&espèces de marteaux est la même, sauf quelques modificaifôVà apporter aux formules relativement à la position de la came et du manche, que nous indiquerons en temps et lieu. Il arrive ordinairement, dans tous les cas, que le choc de la came contre le manche a lieu dans un plan horizontal passant par l'axe de rotation; nous raisonnerons dans cette supposition et nous distinguerons dans l'action des cames trois périodes : la première correspondant à la durée du choc ou de la compression réciproque de la came et de la partie du manche sur laquelle elle agit; la deuxième, qui commence à l'instant où Qnit le choc et dure jusqu'à celui où la came quitte le manche ; la troisième, qui s'écoule entre le moment où la came a quitté le manche et celui où une autre vient le choquer. Nous allons examiner successivement chacune de cefitrois périodes.
27. Après le choCy la came et le manche sont animés de la même vitesse. — A partir de l'instant où la came rencontre le manche, il se développe aux points de contact des efforts de compression réciproques, qui croissent jusqu'au moment où l'impression atteint son maximum. A cette limite, les poiHAs de contact marchent avec la même vitesse; mais au delà la réaction des ressorts moléculaires tend à effacer plus ou moins l'impression et à augmenter la vitesse transmise au marteau en diminuant celle de la came, de sorte que, selon leur degré d'élasticité, les corps devraient se séparer avec des vitesses différentes, ainsi qu'on Ta vu au n"" 10. Mais, d'une part, la répétition et l'intensité des chocs altèrent l'élasticité des points en contact, et de l'autre les dimensions générales du manche et de la came sont telles, qu'ils fléchissent en réalité fort peu, d'où résulte que, à la fm de la plus grande compres- ^
sion, le manche et la came marchent sensiblement avec la même vitesse. C'est ce que confirme l'observation; car, dans aucun des cas de la pratique, il n'est possible d'observer entre ces corps la moindre séparation.
28. Équation d'équilibre autour de l'axe du marteau, — Recherchons les relations qui s'établissent entre les différentes forces qui agissent sur le marteau à un instant quelconque du choc ou de la compression, en examinant d'abord le cas des marteaux à bascule ou martinets. Nommons à cet eiîet
N l'effort de compression exercé par la came sur le manche
du marteau; 0) la vitesse angulaire de l'arbre à cames à l'instant que l'on
considère; f>)' la vitesse angulaire du manche au même instant; R rzr C/, R'=C t les dislances respectives du point de contact
de la came et du mentonnet aux axes C et C de rotation; /' le rapport du frottement à la pression pour les tourillons
de la hurasse; p' le rayon de ces tourillons.
La force N devra faire à chaque instant équilibre aux forces d'inertie des divers éléments matériels du système et aux résistances passives.
Or, si l'on désigne par
m' la masse d'un élément quelconque du marteau; r' sa distance à l'axe de la hurasse;
sa vitesse à l'Instant que l'on considère sera r'cù'; la force d'inertie qui se développe quand la came lui imprime un accroissement de vitesse r'rfw' sera
et le moment de cette force par rapport à l'axe séfa
'^ -dr'
et la vitesse angulaire étant sensiblemenitt ipAàie iKiur tous
486 COOIS DI alCAHIQDK
les points du manche au même inslant, attendu sa rigidité el ses dimensions, on aura, pour la somme des moments pareils,
en déteignant par M'R'^le moment d'inertie Smr'du marteau, y compris son Dunche et toutes les ferrures dont il est garni. Pour trouver la pression exercée sur les tourillons, désignons par «'et/' les coordonnées rectangulaires de l'élément de masse m par rapport à deux axes, l'un horizontal, l'autre vertical, passant par le point C; il est évident que chacune
des forces d'inertie m . - pourra se décomposer en deux
autres, l'une verticale et égale à
l'autre horizontale et égale à
, rfw'
»■■'■ -iT'
et qu'il faudra prendre la somme des composantes de chacun
des deux groupes avec les signes convenables pour avoir les
pressions totales produites verticalement el horizontalement
par les forces d'inërtte. sur les tourillons; mais en désignant
par
X, et ^i tes coordonnées du centre de gravité G du marteau;
l sa distance à l'axe;
a l'auj^le formé par la ligne C'G avec l'horizontale ;
m' \a masse du marteau;
on a d'abord
*îî..,„.f^,
▲PPUQUÉB AUX MACHINES. 4^
La résultante totale des forces d'inertie est donc -^ m'/, et,
en la décomposant verticalement et horizontalement, on aura finalement, pour la pression exercée sur les tourillons à un instant quelconque du chèc, l'expression
i/(N-4- -^m'/cosflj -f-(-^m'/sinaj
- -0,96 (> -+- -j~-m'/cosfl) + 0,4 --77- m'isina,
attendu que, dans tous les cas de pratique, on est sûr a priori que le premier terme du radical est plus grand que le secoml par suite de la petitesse de l'angle a; mais, en outre, il arrive presque toujours que, le choc ayant lieu suivant la ligne CC qui est horizontale, on a a = o, et que la pression sur les tourillons se réduit à
d'après cela, nous avons, pour les martinets ou marteainc i '. bascule, la relation d'équilibre à un instant quelconque da choc
^K= ^ WW'-hfp' (n -h ^ m'A,
doù
^, •rfo/M'R"-f-fym'/
dt H'~/'p'
29. Observation relative aux marteaux à soulèvement et au marteau frontal. — Pour appliquer ce que nous venons de dire au marteau à soulèvement ou au marteau frontal, il sufOra d'observer que, dans ce cas, la pression N exercée par la came tend à soulever le manche, de sorte que la pression totale sur les tourillons a pour expression
attendu que le centre de gravité est, par rapport à Taxe, du même côté que le point d'application de N,
488 COURS DB HfiCAHIQUB
Dans ce cas, on voit que la pression sur Taxe, produite par le choc, serait nulle, si l'on avait
-/ rfw' ,,
al
L'équation d'équilibre autour de l'axe du marteau devient alors
NR'= ^ M'K" + /y (n'- ^ m'A,
et, pour le cas où le deuxième terme du second membre est nul,
■^ NR'r^^ M'R'%
d'où l'on déduit
ce qui détermine la distance convenable du point de contacta ^è du marteau, pour qu'il n'y ait pas de choc sur les toudte. Le point ainsi déterminé est celui que l'on nomme "^ Irement le centre de percussion, et, dans la pratique,
^«TuiBervation pluiôt que le calcul a conduit les praticiens a faire effectivement agir la came vers ce point. Ainsi, dans un marteau à soulèvement, pesant en tout avec son manche et ses ferrures 6g6 kilogrammes, dont le centre de gravité était à la distance /= i°*,76 de l'axe de la hurasse, et pour lequel on avait trouvé M' =77, la formule précédente donne
R'^i-,62, et, d'après l'observation, on a
Cette légère différence en plus est d'ailleurs motivée sur ce que, dans ces machines assez grossières, l'équilibre ne pouvant être établi d'une manière bien exacte, il vaut mieux que la came choque le manche un peu au delà du centre de percussion, afin que le marteau ne tende pas à basculer du côté de la tète.
▲PPLIQOÉB AUX MACHINES. 4^
30. Conditions d'équilibre autour de l'arbre à cames. — On vient de voir que la seule différence à établir entre les marteaux à soulèvement et les marteaux à bascule consiste en ce que la pression sur Taxe a, dans le premier cas, pour expression
et, dans le second cas,
at
Il suffira donc de se rappeler cette observation pour appliquer aux autres marteaux ce que nous avons déjà dît sur ceux à bascule, dont nous allons continuer la théorie, en recherchant les conditions de Téquilibr^utour de l'arbre à cames.
Chacune des masses élémentaires m située à la distance r de Taxe opposant au changement de vitesse angulaire dcù^ qui se
produit pendant le choc, une résistance m -rr-^ dont le mo-
ment par rapport a Taxe est m . ? la somme de tous les
moments des forces d'inertie des parties matérielles de cet arbre, que nous supposons symétriquement réparties autour de son axe, sera
La pression sur les tourillons de l'arbre à cames n'est due qu'à la seule force N, et nous aurons, pour l'équation qui exprimera que, à chaque instant du choc, les forces d'inertie de l'arbre à cames font équilibre aux forces de compression développées par la came et au frottement qui en résulte, la relation
- ^ MU'== NR 4-/Np := N (U -^/p);
/ désignera le rapport du frottement à la pression pour les
tourillons et leurs coussinets; p le rayon de ces tourillons.
En éliminant la pression inconnue N entre cette équation
490 COURS DE HÉGANIQUB
et celle du n*^ 29, relaiive à l'équilibre autour de Taxe du marteau, on a réquation
Si, pour simplifier les expressions, on observe que et qu'on pose
en observant que cette quantité K ne provient que de données constantes, la relation précédente prendra la forme
at dt
En rintégrant depuis &) = û, ou la plus grande vitesse angulaire de Tarbre à cames, jusqu'à a)=:Ga ou la plus petite, et
dR
depuis w'=o jusqu'à &/= -^5 attendu que le marteau part
du repos et marche après le choc avec une vitesse qui, pour
le point de contact, est la même que celle de la came, elle
donne
(i2-(k))MR»=:KM'R»o).
On remarquera que, pour les marteaux à soulèvement, on parviendrait à la même équation, dans laquelle on aurait
'"^ R / .rp-m7
Tp' V M'R"
APPLIQUÉE AUX MACHINES. -éjg^g
31. Expression des vitesses angulaires avant et après le choc en fonction de la vitesse angulaire moyenne. — De ré-,j. * quaiion ci-dessus on tire, pour Texpression de la vitesse an-' gulaire de l'arbre à cames après le choc en fonction de celle qu'il possédait avant le choc.
