IL Ç^ — *1^M

27r J dt iT. dt ~~ 2t: g W'

le poids Q de la vis se joint d'ailleurs ici aux forces d'inertie pour entretenir le mouvement de descente, et la résistance que la vis éprouve dans le sens vertical a pour expression

27r g dt

Nous la représenterons provisoirement, et pour simplifler les formules, par g, et nous aurons à exprimer qu'à chaque instant du percement il doit y avoir équilibre entre cette résistance, les frottements qui en résultent d'une part, et de l'autre entre les forces d'inertie tangentîelles ou de rotation qui tendent à entretenir le mouvement , auquel s'ajoute l'efiFort P, développé par le moteur pendant le percement.

On remarquera d*abord que, la résistance 'g éprouvée par la vis agissant de bas en haut, les filets seront appuyés par leur surface supérieure contre la face inférieure de ceux de l'écrou, et il est facile de voir» en suivant la marche indiquée dans la Section 111» que TefTort /?, tangentiel au cylibdre des filets moyens de rayon r', qu'il faut exercer à chaque instant pour faire descendre la vis, a pour expression

^ ■" * ï^/tanga ~ ^ ^iir'—fh '

Si la vis descend de la quantité élémenuire dh dans l'instant dt, le point d'application de celte force p parcourra le

chemin élémentaire ds = -yy- dh, de sorte qu'elle dévelop-

APPLIQUÉE AUX MACHINES. 5l3

pera, dans Télément du temps, une quantité de travail

' inr'-'fh' A'

dh.

Le mandrin est pressé contre le'bout de la vis, pendant le percément, par un effort exprime par F H "^ "^^' ^^^

donne lieu à un frottement analogue à celui des pivots. En appelant p le rayon de ce pivot et/' le rapport du frottement à la pression pour les surfaces en contact, il est facile de voir que cette résistance développera, en sens contraire du mouvement pendant di, une quantité élémentaire de travail mesurée par

^•^ \ 27: g dt ; h'

Enfm le frottement que nous venons d'évaluer, et qui s'exerce sur la tête du mandrin, tend à le faire tourner et à presser les oreilles dont il est garni dans les coulisses qui les guident; de là résulte un nouveau frottement qui agit dans le même sens que la résistance F et qui, en appelant

f*' le rapport du frottement à la pression pour les coulisses; / la distance moyenne des oreilles à l'axe de rotation,

a pour expression

/■/•("-r.fè-e)!?'

Cette résistance consommera dans l'élément du temps la quantité de travail

\ 21: g dt J 3 l

Mais il est évident qu'à cause de la petitesse ordinaire des quantités/', y et du rapport j on pourra, sans erreur notable, négliger ce dernier frottement, dont la considération ne compliquerait au reste nullement les calculs.

5l4 COURS DB MÊGÀIfIQOB

D'une autre part, l'efforl moteur P développera, dans le même intervalle, une quantité de travail mesurée par

R étant le rayon de l'arc décrit par son point d'appltcaiion ; et les forces d'inertie horizontales ou de rotation développeront dans le même sens la quantité de travail

numériquement égale à la moitié de la variation de la force vive de rotation pendant le même temps.

Nous aurons donc, pour exprimer qu'à chaque instant il y a équilibre entre les différentes forces du système ou qu'elles développent des quantités de travail égales on sens contraire» l'équation

Mdoy Zmr^ -h V as = a -^ — ^77-7 ,, ah

OU, en remplaçant a par sa valeur a = F — -r-— Ot

' ^ ^t: g dt '

'•' \ 7.1: g dt ^J h' '

dh h' qui, en observant que -r = — w, revient a

iT.r'f+h' , \ zn

t7T.r'f+K ^f.\^jf

Ci)

APPLIQUÉS AUX MACHINES. 5l5

OU, en posant, pour simpliGer,

iTzr' ^ fh' ^*^ ' 2.r.v' — II' *•' ^

équation qui, intégrée pour toute la durée du percement, ou depuis a) = (k>' jusqu'à w=&>", correspondant respectivement à A = HetA = H-f-E, nous donnera

{ 1 mr^ -f- A' — — 1 -f / ?ds

(.) ! ' ^ ^^gi j

=:^(^AfFdh-^\'QEy

Dans les balanciers ordinaires, où les hommes agissent sur des tiraudes et impriment au système une grande vitesse de rotation, au commencement de la première période, en bornant là leur action sur la machine, le terme / Vds est nul

pendant la durée du percement, et, dans les balanciers où les hommes agissent à la main sur les bras du levier et prolongent leur effort pendant la seconde période, le travail qu'ils développent pendant cette période est très-faible par rapport à celui qui correspond à la variation de la force vive; on peut

donc presque toujours négliger le terme / P(/<par rapport au

premier. Il en est de même du terme Q£, relatif au travail développé par le poids de la vis et de son équipage, pendant le percement, attendu que £ est toujours très-petit.

46. Équation à employer pour les balanciers à tiraudes. — D'après cette observation, l'équation à appliquer aux balanciers mus par des hommes qui agissent à Taide de tiraudes, pour imprimer une certaine vitesse au système, qu'ils abandonnent ensuite à lui-même, ainsi que cela a lieu, notamment pour celui de l'Arsenal d'Artillerie de Metz, se réduira à

5t6 COUHS DE lltCAllIQDB

d'où l'on tirera

/ Tdh = kc ^ ^ ^ ^^L£Z + ±. QE.

47. jlforfe â suivre pour déterminer le coefficient K par l'expérience. — Lors donc que, par des moyens particuliers, on aura pu déterminer la vitesse angulaire &)^ à la Gn du percement, on déduira de cette équation la valeur du coefQcient constant K, ou de la résistance du métal décodpé, sur Tunité •ide surface de rupture, et Ton pourra vérifier, par la comparaison des diverses valeurs de K correspondant à des valeurs différentes de c et de E, si la loi que nous avons admise précédemment pour la résistance au percement est effectivement celle qui la régit. Cette loi étant une fois vérifiée et la valeur de K étant ainsi déterminée, on pourra en déduire la quantité de travail que nécessite le percement d'une pièce d'une épaisseur donnée, selon un contour connu.

k8. Moyens à employer pour déterminer la vitesse angulaire à la fin du percement. -~ Il est en général assez difficile de déterminer la vitesse angulaire (ù" correspondant à la fin du percement; mais on peut cependant y parvenir dans différents cas, comme nous allons l'indiquer.

Il arrive d'abord quelquefois que le percement ne peut s'effectuer d'un seul coup de balancier, et que par conséquent la vitesse est totalement détruite par une impression ou un découpage partiel de la pièce. Dans ce cas, on fera dans l'équation ci-dessus w" = o, en y mettant pour E la valeur correspondant à la profondeur observée de pénétration. Dans d'autres cas, le percement est complet, mais la vitesse est sensiblement éteinte à la fin : c'est ce qui arrive assez souvent, quand des hommes ont à découper un grand nombre de pièces de même matière et de mêmes dimensions, parce qu'ils acquièrent assez d'habitude pour proportionner leur effort à la résistance à vaincre.

Enfin certains balanciers, et particulièrement celui de l'Ar-

APPLIQUÉE AUX MACHINES. Si*]

senal d'Artillerie de Metz, sont munis de dispositions spéciales qui permettent de déterminer facilement la vitesse (ù'\

49. Disposition particulière du balancier de V À rsenal d' À rtillerie de Metz. — Sur la circonférence décrite par celle des sphères qui est opposée au point d'action des hommes, on a disposé un ressort en spirale, contre lequel elle vient éteindre graduellement sa vitesse. Si l'on suppose que ce ressort soit convenablement proportionné et que son élasticité ne soit pas notablement altérée par ce choc, il développera en se débandant, après sa compression, une quantité de travail égale à celle que le système aura exercée sur lui en le faisant fléchir, et la vitesse de retour qu'il communiquera à la vis sera sensiblement égale à celle avec laquelle elle sera venue le cho* quer; comtne il sera facile d'observer jusqu'à quel point de la circonférence la vis ou le balancier revient dans ce retour, on pourra en déduire la vitesse, qui a été restituée au système, et qui est égale à la vitesse d'arrivée que l'on cherche.

En effet, en appelant tù" la vitesse angulaire de retour cherchée; H'^ la hauteur dont la vis s'est relevée par suite de l'action du ressort et à laquelle correspond une vitesse angulaire nulle, il est facile de voir que, en conservant d'ailleurs les notations précédentes, on aura

\ g ^T^ I -^ ir.r' —fil' II'

d'où l'on déduira (ù".

Cela falVpuisque la vis ou le balancier atteint le ressort avec une vlteite Ipgalaire (ù'^y et qu'à partir de la fin du percement jusqu'à ce moment la vis n'est sollicitée que par son poids et par le frottement des filets contre l'écrou, on aura, en nommant H' la hauteur dont elle descend, depuis la fin du percement jusqu'à l'instant où elle rencontre le ressort, hauteur qui est donnée par l'observation directe,

• (»-' - 0.-) il mr^ + 9., .^\ = QH' /Q ^!l!±^ ": , ' \ g' 47rv 27:r -h/A' /*'

5l8 COURS DE MÉGANIQUB

d'où Ton déduira la vitesse cherchée 6)' correspondant i la On du percement.

Cette méthode suppose, comme on le voit» que le ressort conserve son élasticité et que, pendant sa flexion et son débandement, il ne se développe pas de frottenients ou de résistances capables d*altérer notablement la vitesse de retour; mais il arrive souvent dans la pratique que les choses sont disposées d'une manière moins convenable, et voici comment on devra s'y prendre pour tenir compte des résistances.

On observera d'abord jusqu'à quelle position le ressort renvoie le lavier pendant le travail habituel de la machine, puis, en relevant la vis à diverses hauteurs et Tabandonnant à son poids, on déterminera, par tâtonnements, jusqu'à quelle hauteur il a fallu l'élever pour que le ressort renvoyât le levier à la même distance que pendant le travail. Cela fait, la formule

iotj*'* 1 mr^ -h — -7 — 1 = OH" — /Q ^ — ; jm

dans laquelle on mettra pour H^ la hauteur de relèvement, déterminée comme ci-dessus, donnera la valeur de la vitesse angulaire (o^, avec laquelle le balancier vient i la flnde chaque opération rencontrer le ressort. On procédera ensuite à la recherche de &)'', comme il a été dit plus haut.

50. Appareils qui donnent directement la vitesse à un instant quelconque du mouvement. — 11 existe d'autres moyens plus commodes et plus précis de déterminer, à un instant quelconque de l'une des trois périodes du mouvement du balancier, la vitesse de descente ou la vitesse angulaire dont il est animé. Ils consistent en général dans la combinaison d'un mouvement connu avec le mouvement à déterminer, d'où l'on déduit une courbe qui représente la relation continue entre le temps et l'espace parcouru, et qui, par l'inclinaison de ses tangentes, permet de déterminer pour chaque position la vitesse angulaire. A l'aide de ces appareils, on connaîtra donc la vitesse à la fin de la première période, et l'on pourra déduire, de l'équation qui y est relative, la quantité de travail

Vds imprimée parle moteur à chaque coup du balancier;

AFFLlQOtB *UI mCBINU. Stg

puis, connaissant la vitesse au commencement et à la fin de chaque percement, on conclura, de l'équation relative à cette période, la quantité de travail / Fdh =Kc — consommée par la résistance de la matière, et par suite la valeur de K.

51. Balancier à élamper, à battre les monnaies. — Lorsqu'il s'agit des balanciers à étamper, à battre les monnaies ou à Taire des empreintes [/g-. 1 17 }, la vitesse i la fin de chaque

opération est toujours nulle; mais il faut observer qu'alors la résistance F suit une loi différente. On peut admettre, dans ce cas, qu'elle est proportionnelle à l'aire ou à l'amplitude de l'iropression et à la profondeur e de cette impression, et qu'elle est représentée par F = Kae, et son travail total par

, Kae'

le coerficieni K exprimant alors la résistance par mètre carré de la matière à la compression.

On procédera, d'ailleurs, au reste du calcul comme dans le cas précédent.

5'20 C0DB8 DB XÉGANIOOB APPLIQUÉV ÂOX MACBINB8.

52. Résultait d'expériences. — Nous terminerons ce que nous avons à dire sur les machines à percer et à découper, en rapportant ici succinctement quelques résultats d'expériences obtenues, avec le balancier de l'Arsenal de rArtillerle de Metz, par M. Morin, à l'aide de l'observation de la loi du mouvement vertical de descente de lavis pendant les diverses périodes.

En laissant d*abord descendre la vis sous la seule action de son poids, et déterminant avec un appareil chronométrique à style la vitesse acquise après une hauteur de descente connue, il a trouvé que le rapport du frottement à la pression pour cette vis et son écrou, enduits de suif durci, éiait/=o,io, ainsi que le montrent les expériences directes faites sur le frottement des surfeces planes de même nature dans le même état ; ce qui vériOe la théorie du frottement des vis à filets carrés, développée dans la Section III. En observant ensuite de la même manière la vitesse que cinq hommes, habituellement employés a cette machine, lui imprimaient i chaque coup et à Taide de la formule (i) du n® U, il en a conclu que la quantité de travail développée par chacun d'eux et à chaque coup de balancier était moyennement de 1 5^(^,4.

Enfin, en déterminant la vitesse possédée par la vis avant et après le percement de plaques en fer et en plomb de di* verses épaisseurs et à l'aide de l'équation (3) du n'^iC, il a reconnu que l'hypothèse admise au n*" i^5, sur la loi de la résistance de ces métaux au percement, était vérlGée par l'observation, et que Ton avait moyenn^rnent :

Pour le fer chauffé au rouge brun. ... K = 8206000 kil. Pour le plomb à froid K = 4^49o<)o